מציאת ממד חסר מתוך ההיקף

מבוא

עד כה חישבנו היקף מתוך הממדים. עכשיו נלך בכיוון ההפוך: נתון לנו ההיקף (או אפילו רק העלות של הגדר), ועלינו למצוא ממד חסר — אורך צלע או רדיוס. הכלי המרכזי הוא משוואה ממעלה ראשונה: נכתוב את נוסחת ההיקף, נציב את מה שידוע, ונבודד את הנעלם.

מטרות השיעור

לבנות משוואה מתוך נוסחת ההיקף ולפתור אותה למציאת ממד חסר
לבודד רדיוס מתוך היקף מעגל: $r = \frac{P}{2 π}$
לבטא צלע אחת באמצעות אחרת ולפתור משוואה בנעלם אחד
לחלץ את ההיקף מתוך נתון עקיף (כמו עלות גדר) לפני מציאת הממד

הרעיון המרכזי

הכיוון ההפוך — מהיקף לממד

כותבים את נוסחת ההיקף המתאימה לצורה.
מציבים את ההיקף הנתון ואת הממדים הידועים.
מבודדים את הנעלם בעזרת פעולות הופכיות (חיסור, חלוקה).

דוגמאות לבידוד:

מלבן: $P = 2 (a + b) \Rightarrow b = \frac{P}{2} - a$
ריבוע: $P = 4 a \Rightarrow a = \frac{P}{4}$
מעגל: $P = 2 π r \Rightarrow r = \frac{P}{2 π}$

כשצלע מבוטאת באמצעות אחרת

אם נאמר ש"הצלע הארוכה גדולה ב-k מהקצרה", מסמנים את הקצרה ב-x ואת הארוכה ב-x+k, ובונים משוואה אחת בנעלם אחד. כך גם עבור "גדולה פי m" — הארוכה היא $m \cdot x$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צלע חסרה במלבן

היקף מלבן 30 מ', צלע אחת 11 מ'. מהי הצלע הסמוכה?

30 = 2 (11 + b) \Rightarrow 15 = 11 + b \Rightarrow b = 4 m

שלב 1 — נוסחה

P = 2(a+b)

, כאשר

a = 11

תשובה מספרית

היקף של מגרש מלבני הוא 36 מטר. אחת מצלעותיו באורך 10 מטר. מהו אורך הצלע הסמוכה, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: רדיוס מתוך היקף מעגל

היקף מעגל 31.42 מ'. מהו הרדיוס?

r = \frac{P}{2 π} = \frac{31.42}{2 π} \approx 5 m

שלב 1 — נוסחה

P = 2\pi r

דוגמה 3: שוק במשולש שווה-שוקיים

היקף משולש שווה-שוקיים 32 מ', בסיס 12 מ'. מהי השוק?

32 = 2 a + 12 \Rightarrow 2 a = 20 \Rightarrow a = 10 m

שלב 1 — נוסחה

P = 2a + b

, כאשר a שוק ו-

b = 12

בסיס.

תשובה מספרית

גמלון (החלק המשולש בחזית גג) הוא משולש שווה-שוקיים. היקפו 36 מטר והבסיס שלו 10 מטר. מהו אורך כל אחת מהשוקיים, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: צלע אחת מבוטאת באמצעות השנייה

מלבן: הצלע הארוכה גדולה ב-4 מ' מהקצרה, ההיקף 36 מ'. מהן הצלעות?

4 x + 8 = 36 \Rightarrow x = 7, x + 4 = 11 m

שלב 1 — מסמנים

קצרה

= x

, ארוכה

= x + 4

תשובה מספרית

מגרש משחקים מלבני: הצלע הארוכה גדולה ב-12 מטר מהצלע הקצרה. מסביב למגרש יש גדר באורך כולל של 60 מטר. מהו אורך הצלע הקצרה, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מהעלות אל הממד

גדר ריבועית עלתה 800 ₪ במחיר 20 ₪ למטר. מהי הצלע?

P = \frac{800}{20} = 40, a = \frac{40}{4} = 10 m

שלב 1 — היקף מהעלות

P = 800 \div 20 = 40

מ'.

תשובה מספרית

סביב כיכר עירונית עגולה בנו גדר במחיר 120 ₪ למטר. סך הכול שולמו 3015.93 ₪ עבור הגדר. מהו רדיוס הכיכר, במטרים? עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה (קחו $\pi ≈ 3.14159)$ .

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים את היקף המלבן ב-2 ומפסיקים

טעות: 36 ÷ 2 = 18, אז הצלע החסרה 18.

נכון: $\frac{36}{2} - 10 = 18 - 10 = 8 m$ .

למה זה קורה?

תלמידים מקבלים את

a+b

ושוכחים להחסיר את הצלע הידועה כדי לקבל את החסרה.

איך מתקנים?

P = 2(a+b)

. אחרי שמחלקים ב-2 ומקבלים

a+b

, מחסירים את הצלע הידועה. למשל:

36=2(10+b) ⟸ 18=10+b ⟸ b=8

טעות נפוצה: מחלקים ב $\pi$ במקום ב- $2\pi$ כשמחפשים רדיוס

היקף 25.13: $r = \frac{25.13}{2 π} \approx 4$ , אבל $\frac{25.13}{π} \approx 8$ זה הקוטר!

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין הנוסחה לקוטר לבין הנוסחה לרדיוס.

איך מתקנים?

P = 2\pi r ⟸ r = \frac{P}{2\pi }

. אם תחלקו ב-

\pi

בלבד תקבלו את הקוטר d, לא את הרדיוס.

טעות נפוצה: מציבים מספר במקום לבטא ב-x

ארוכה פי 2 מקצרה x, היקף 48: $2 (x + 2 x) = 48 \Rightarrow 6 x = 48 \Rightarrow x = 8$ .

למה זה קורה?

כשנאמר 'הצלע הארוכה גדולה פי 2 מהקצרה', תלמידים מנחשים ערכים במקום לבנות משוואה.

איך מתקנים?

סמנו את הקצרה ב-x ואת הארוכה כביטוי ב-

x (x+k

או

m \cdot x)

, ובנו משוואה אחת בנעלם אחד.

טעות נפוצה: שוכחים לחלץ את ההיקף מהעלות

עלות 1200 ₪ ב-25 ₪/מ': $P = \frac{1200}{25} = 48 m$ , וממשיכים משם.

למה זה קורה?

כשנתונה עלות גדר, תלמידים מנסים למצוא ממד ישירות מהעלות.

איך מתקנים?

קודם מחשבים את אורך הגדר: היקף = עלות ÷ מחיר למטר. רק אז פותרים למציאת הממד.

סיכום

מה למדנו?

הכיוון ההפוך — מהיקף לממד:

כותבים את נוסחת ההיקף המתאימה
מציבים את הנתונים ובונים משוואה ממעלה ראשונה
מבודדים את הנעלם בעזרת פעולות הופכיות

נוסחאות בידוד שימושיות:

מלבן: $b = \frac{P}{2} - a$
ריבוע: $a = \frac{P}{4}$
מעגל: $r = \frac{P}{2 π}$

טיפים:

אם נתונה עלות — חלצו תחילה את ההיקף (עלות ÷ מחיר למטר)
אם צלע מבוטאת באמצעות אחרת — סמנו ב-x ובנו משוואה אחת
בדקו את התשובה: הציבו חזרה בנוסחה וודאו שמתקבל ההיקף הנתון

מצוין! עכשיו אתם יודעים לעבוד בשני הכיוונים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת ממד חסר מתוך ההיקף.

מציאת ממד חסר מתוך ההיקף

מציאת ממד חסר מתוך ההיקף

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צלע חסרה במלבן

היקף מלבן 30 מ', צלע אחת 11 מ'. מהי הצלע הסמוכה?

דוגמה 2: רדיוס מתוך היקף מעגל

היקף מעגל 31.42 מ'. מהו הרדיוס?

דוגמה 3: שוק במשולש שווה-שוקיים

היקף משולש שווה-שוקיים 32 מ', בסיס 12 מ'. מהי השוק?

דוגמה 4: צלע אחת מבוטאת באמצעות השנייה

מלבן: הצלע הארוכה גדולה ב-4 מ' מהקצרה, ההיקף 36 מ'. מהן הצלעות?

דוגמה 5: מהעלות אל הממד

גדר ריבועית עלתה 800 ₪ במחיר 20 ₪ למטר. מהי הצלע?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים את היקף המלבן ב-2 ומפסיקים

טעות נפוצה: מחלקים בπ\piπ במקום ב-2π2\pi2π כשמחפשים רדיוס

טעות נפוצה: מציבים מספר במקום לבטא ב-x

טעות נפוצה: שוכחים לחלץ את ההיקף מהעלות

סיכום

תרגול נוסף

טעות נפוצה: מחלקים ב $\pi$ במקום ב- $2\pi$ כשמחפשים רדיוס