היקף מצולעים ומעגל

מבוא

ההיקף הוא אחד המושגים הגאומטריים השימושיים ביותר בחיי היום-יום. כשאנחנו מותחים גדר סביב גינה, תופרים סרט סביב דגל, מתקינים מסגרת אלומיניום לחלון או מחשבים כמה פנלים דרושים לחדר — אנחנו למעשה מחשבים היקף. בשיעור זה נלמד לעבור מתיאור מילולי של מצב, דרך שרטוט, אל חישוב מספרי מדויק.

מטרות השיעור

להבין שהיקף הוא סכום אורכי הצלעות של צורה, ושיחידותיו הן יחידות אורך
לחשב היקף של משולש, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע וטרפז תוך שימוש בתכונות הצורות
לחשב היקף מעגל בעזרת הנוסחאות $P = 2 π r$ ו- $P = π d$
לפתור בעיות מילוליות הכוללות עלויות בשקלים והמרת יחידות (ס"מ ↔ מ')

הרעיון המרכזי

היקף של מצולעים

ההיקף של כל מצולע הוא סכום אורכי כל צלעותיו. כשמכירים את תכונות הצורה אפשר לקצר את החישוב:

ריבוע (צלע a): P = 4a
מעוין (צלע a, כל הצלעות שוות): P = 4a
מלבן (צלעות a, b): P = 2(a+b)
מקבילית (צלעות סמוכות a, b): P = 2(a+b)
משולש שווה-צלעות (צלע a): P = 3a
משולש שווה-שוקיים (שוק a, בסיס b): P = 2a + b
טרפז: סכום שני הבסיסים ושתי השוקיים

בדיקה מהירה

בחצר בית הספר יש ארגז חול בצורת ריבוע שאורך צלעו 12 מטר. כמה מטרים של גדר דרושים כדי להקיף אותו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

היקף המעגל

היקף המעגל פרופורציוני לקוטר שלו. היחס הקבוע נקרא $π$ (פאי), וערכו בקירוב $π \approx 3.14159$ .

P = π d = 2 π r

כאשר d הוא הקוטר ו-r הרדיוס. זכרו ש-d = 2r, ולכן שתי הנוסחאות שקולות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גדר סביב מגרש מלבני

כמה גדר דרושה למגרש מלבני 25 מ' על 18 מ'?

P = 2 (25 + 18) = 86 m

שלב 1 — מזהים את הצורה

מגרש מלבני, אורך

a = 25

מ', רוחב

b = 18

מ'.

תשובה מספרית

מתקינים פנלים (לוחות עץ קישוטיים) לאורך הקירות של חדר מלבני שמידותיו 4 מטר על 3 מטר. מניחים פנלים לאורך כל ההיקף, אך משאירים פתח לדלת ברוחב 1 מטר ללא פנל. מהו אורך הפנלים הדרוש, במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: סרט סביב מגן דוד בדגל

מגן דוד מורכב משני משולשים שווי-צלעות שאורך צלעם 12 ס״מ. מהו אורך הסרט סביב המתאר?

P = 12 \cdot \frac{12}{3} = 12 \cdot 4 = 48 cm

שלב 1 — מבינים את הצורה

מגן דוד הוא כוכב בעל שש קודקודים. המתאר החיצוני מורכב מ-12 קטעים קטנים שווים.

דוגמה 3: היקף מעגל מתוך הקוטר

מסביב לבריכה עגולה שקוטרה 10 מ' מניחים שביל. מהו אורך השביל?

P = π d = 10 π \approx 31.42 m

שלב 1 — נתון הקוטר

d = 10

מ'.

תשובה מספרית

סביב שולחן עגול שרדיוסו 7 מטר רוצים למתוח שרשרת נורות לאורך כל ההיקף. מהו אורך השרשרת הדרושה, במטרים? עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה העשרונית (קחו $\pi ≈ 3.14159)$ .

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: היקף טרפז עם עלות בשקלים

ערוגה בצורת טרפז: בסיסים 9 מ' ו-5 מ', שוקיים 4 מ' כל אחת. מחיר גדר 25 ₪ למטר. כמה תעלה הגדר?

P = 9 + 5 + 4 + 4 = 22 m, 22 \cdot 25 = 550 ₪

שלב 1 — סוכמים את הצלעות

P = 9 + 5 + 4 + 4 = 22

מ'.

תשובה מספרית

עירייה רוצה להניח גדר נמוכה סביב כיכר עירונית עגולה שקוטרה 8 מטר. מחיר הגדר הוא 120 ₪ למטר. כמה תעלה הגדר, בשקלים? עגלו לשני מקומות אחרי הנקודה העשרונית (קחו $\pi ≈ 3.14159)$ .

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: המרת יחידות לפני חישוב

ריבוע שאורך צלעו 150 ס״מ — מהו ההיקף במטרים?

150 cm = 1.5 m, P = 4 \cdot 1.5 = 6 m

שלב 1 — ממירים ס״מ למטרים

150 ס״מ

= 1.5

מ' (מחלקים ב-100).

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין היקף לשטח

טעות: למלבן 12 על 4 מטר, ההיקף הוא 48.

נכון: $P = 2 (12 + 4) = 32 m$ (48 הוא השטח).

למה זה קורה?

תלמידים מכפילים אורך ברוחב (חישוב שטח) כשהם מתבקשים למצוא היקף, או מצרפים יחידות שטח.

איך מתקנים?

היקף = סכום אורכי הצלעות, ביחידות אורך (מ', ס״מ). שטח = מ״ר. למלבן

12 \times 4:

היקף

2(12+4)=32

מ', אבל שטח 48 מ״ר.

טעות נפוצה: מבלבלים בין רדיוס לקוטר בהיקף המעגל

מעגל שרדיוסו 5: $P = 2 π \cdot 5 = 10 π$ .

אותו מעגל, קוטרו 10: $P = π \cdot 10 = 10 π$ — אותה תוצאה!

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את הקוטר בנוסחה

2\pi r

, או את הרדיוס בנוסחה

\pi d

איך מתקנים?

זכרו ש-

d = 2r

. אם נתון הרדיוס:

P = 2\pi r

. אם נתון הקוטר:

P = \pi d

. שתי הנוסחאות נותנות אותה תוצאה.

טעות נפוצה: סופרים פחות צלעות מהמספר האמיתי

מעוין שצלעו 10: $P = 4 \cdot 10 = 40$ , ולא $2 \cdot 10 = 20$ .

למה זה קורה?

במעוין או בריבוע תלמידים מחברים רק שתי צלעות, או במקבילית שוכחים שיש שני זוגות צלעות.

איך מתקנים?

במעוין ובריבוע יש ארבע צלעות שוות, לכן

P = 4a

. במקבילית יש שני זוגות נגדיים שווים, לכן

P = 2(a+b)

טעות נפוצה: מחברים אורכים ביחידות שונות

טעות: 150 ס"מ + 2 מ' = 152.

נכון: 150 ס"מ = 1.5 מ', ולכן $1.5 + 2 = 3.5 m$ .

למה זה קורה?

תלמידים מחברים ס״מ עם מטרים בלי המרה, ומקבלים תוצאה שגויה.

איך מתקנים?

לפני החיבור ממירים הכול לאותה יחידה. 1 מ

' = 100

ס״מ. למשל 150 ס״מ

+ 2

' = 1.5

' + 2

' = 3.5

מ'.

סיכום

מה למדנו?

היקף מצולעים — סכום אורכי הצלעות:

ריבוע ומעוין: P = 4a
מלבן ומקבילית: P = 2(a+b)
משולש שווה-שוקיים: P = 2a + b
טרפז: סכום שני הבסיסים והשוקיים

היקף מעגל: $P = π d = 2 π r$

טיפים:

בדקו שכל הנתונים באותה יחידה לפני החיבור
היקף ביחידות אורך, שטח ביחידות מ"ר — אל תתבלבלו!
בבעיות עם עלות: קודם מחשבים היקף, ואז מכפילים במחיר למטר

עכשיו אתם מוכנים לחשב היקפים בכל מצב מחיי היום-יום!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב היקף של מצולעים ומעגל בהקשרים אמיתיים.