סכום זוויות במצולע

מבוא

לפני שנלמד לרצף רצפות וקירות באריחים, עלינו להבין את הזוויות של הצורות עצמן. כשמניחים אריחים סביב נקודה אחת, הזוויות שלהם חייבות להשלים בדיוק סיבוב מלא של 360°. לכן השאלה "כמה גדולה כל זווית במצולע?" היא המפתח לכל נושא הריצופים. בשיעור זה נכיר את מושג המצולע, נלמד את הנוסחה לסכום הזוויות הפנימיות, ונחשב את הזווית הבודדת במצולע משוכלל.

מטרות השיעור

להכיר את מושג המצולע ולהבחין בין מצולע משוכלל למצולע לא משוכלל
לחשב את סכום הזוויות הפנימיות של מצולע לפי 180(n-2) מעלות
לחשב את מידת הזווית הפנימית של מצולע משוכלל לפי $\frac{180 ( n - 2 )}{n}$
למצוא את מספר הצלעות של מצולע כאשר נתון סכום הזוויות שלו

הרעיון המרכזי

מצולע, משוכלל ולא משוכלל

מצולע הוא צורה סגורה במישור שכל צלעותיה קטעים ישרים (למשל משולש, מרובע, מחומש).

מצולע משוכלל הוא מצולע שבו כל הצלעות שוות זו לזו וגם כל הזוויות שוות זו לזו. דוגמאות: משולש שווה צלעות, ריבוע, משושה משוכלל.

מצולע לא משוכלל הוא מצולע שאצלו לא מתקיימים שני התנאים יחד. למשל, מלבן (שאינו ריבוע) שווה זוויות אך לא שווה צלעות, ומעוין (שאינו ריבוע) שווה צלעות אך לא שווה זוויות — שניהם אינם משוכללים.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: מעוין שאיננו ריבוע הוא מצולע משוכלל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סכום הזוויות הפנימיות

אפשר לחלק כל מצולע בעל n צלעות, מקדקוד אחד שלו, ל-(n-2) משולשים. מאחר שסכום הזוויות בכל משולש הוא 180°, מתקבל:

סכום הזוויות הפנימיות = 180 (n - 2)

הסכום תלוי רק במספר הצלעות, ולכן הוא זהה למצולע משוכלל ולא משוכלל בעלי אותו מספר צלעות.

מצולע	n	סכום הזוויות
משולש	3	180°
מרובע	4	360°
מחומש	5	540°
משושה	6	720°
מתומן	8	1080°

בדיקה מהירה

מהי הנוסחה לחישוב סכום הזוויות הפנימיות של מצולע בעל n צלעות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הזווית הפנימית של מצולע משוכלל

במצולע משוכלל כל הזוויות שוות, ולכן כדי למצוא זווית בודדת מחלקים את הסכום במספר הצלעות:

זווית פנימית = \frac{180 ( n - 2 )}{n}

לדוגמה, במשושה משוכלל: $\frac{180 \cdot 4}{6} = 12 0^{\circ}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום הזוויות של מחומש

מהו סכום הזוויות הפנימיות של מחומש?

180 (5 - 2) = 180 \cdot 3 = 54 0^{\circ}

שלב 1 — מזהים את מספר הצלעות

במחומש

n = 5

דוגמה 2: הזווית הפנימית של משושה משוכלל

אריח בצורת משושה משוכלל — מה גודל כל זווית?

\frac{180 ( 6 - 2 )}{6} = \frac{720}{6} = 12 0^{\circ}

שלב 1 — סכום הזוויות

180 \cdot (6 - 2) = 180 \cdot 4 = 720^{\circ}

תשובה מספרית

אריח רצפה בצורת משושה משוכלל $(6$ צלעות שוות וזוויות שוות). מהי מידת כל זווית פנימית באריח, במעלות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: הזווית הפנימית של מחומש משוכלל

מה גודל הזווית הפנימית במחומש משוכלל?

\frac{180 ( 5 - 2 )}{5} = \frac{540}{5} = 10 8^{\circ}

שימו לב: 108° אינו מחלק את 360° באופן שלם — נחזור לעובדה החשובה הזו בשיעור הריצופים.

שלב 1 — סכום הזוויות

180 \cdot (5 - 2) = 540^{\circ}

בדיקה מהירה

מהי מידת הזווית הפנימית של מחומש משוכלל $(5$ צלעות שוות וזוויות שוות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת מספר הצלעות מתוך סכום הזוויות

סכום הזוויות של מצולע הוא $1080^{\circ}$ . כמה צלעות יש לו?

180 (n - 2) = 1080 \Rightarrow n - 2 = 6 \Rightarrow n = 8

שלב 1 — כותבים משוואה

180 \cdot (n - 2) = 1080

דוגמה 5: הזווית הפנימית של מצולע משוכלל בעל 12 צלעות

מה גודל הזווית במצולע משוכלל בעל 12 צלעות?

\frac{180 ( 12 - 2 )}{12} = \frac{1800}{12} = 15 0^{\circ}

שלב 1 — סכום הזוויות

180 \cdot (12 - 2) = 180 \cdot 10 = 1800^{\circ}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שסכום הזוויות תמיד $360^{\circ}$

טעות: סכום הזוויות במחומש הוא 360°

נכון: $180 (5 - 2) = 54 0^{\circ}$

למה זה קורה?

התלמידים זוכרים את המרובע

(360^{\circ})

ומכלילים אותו לכל מצולע.

איך מתקנים?

הסכום הוא

180(n-2)

וגדל עם מספר הצלעות. רק במרובע

(n=4)

מתקבל

360^{\circ}

טעות נפוצה: מבלבלים בין סכום הזוויות לזווית בודדת

טעות: הזווית במשושה משוכלל היא 720°

נכון: $\frac{720}{6} = 12 0^{\circ}$ לכל זווית

למה זה קורה?

לא מבדילים בין הסכום הכולל למידת זווית אחת.

איך מתקנים?

כדי למצוא זווית בודדת במצולע משוכלל, חלקו את הסכום במספר הצלעות n.

טעות נפוצה: חושבים שכל מצולע שווה צלעות הוא משוכלל

מעוין: כל הצלעות שוות, אבל הזוויות לא — לא משוכלל

ריבוע: כל הצלעות שוות וגם כל הזוויות 90° — משוכלל

למה זה קורה?

התלמידים מתמקדים בצלעות ומתעלמים מהזוויות.

איך מתקנים?

מצולע משוכלל חייב להיות גם שווה צלעות וגם שווה זוויות. מעוין שווה צלעות אך זוויותיו אינן שוות, ולכן אינו משוכלל.

טעות נפוצה: מציבים n במקום $(n-2)$

טעות: סכום הזוויות במשושה הוא $180 \cdot 6 = 108 0^{\circ}$

נכון: $180 (6 - 2) = 72 0^{\circ}$

למה זה קורה?

שוכחים להחסיר 2 ממספר הצלעות.

איך מתקנים?

הנוסחה היא

180(n-2)

, לא

180 \cdot n

. במשושה:

180 \cdot 4 = 720^{\circ}

, ולא

180 \cdot 6 = 1080^{\circ}

סיכום

מה למדנו?

מצולע משוכלל: כל הצלעות שוות וגם כל הזוויות שוות.

סכום הזוויות הפנימיות: 180(n-2) — תלוי רק במספר הצלעות.

זווית פנימית במצולע משוכלל: $\frac{180 ( n - 2 )}{n}$ .

זוויות חשובות לזכור:

משולש שווה צלעות: 60°
ריבוע: 90°
מחומש משוכלל: 108°
משושה משוכלל: 120°

בשיעור הבא נשתמש בדיוק בזוויות האלו כדי לקבוע אילו מצולעים מרצפים את המישור!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב סכום הזוויות והזווית הפנימית במצולעים.

סכום זוויות במצולע

סכום זוויות במצולע

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום הזוויות של מחומש

מהו סכום הזוויות הפנימיות של מחומש?

דוגמה 2: הזווית הפנימית של משושה משוכלל

אריח בצורת משושה משוכלל — מה גודל כל זווית?

דוגמה 3: הזווית הפנימית של מחומש משוכלל

מה גודל הזווית הפנימית במחומש משוכלל?

דוגמה 4: מציאת מספר הצלעות מתוך סכום הזוויות

סכום הזוויות של מצולע הוא 1080∘1080^{\circ}1080∘. כמה צלעות יש לו?

דוגמה 5: הזווית הפנימית של מצולע משוכלל בעל 12 צלעות

מה גודל הזווית במצולע משוכלל בעל 12 צלעות?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שסכום הזוויות תמיד 360∘360^{\circ}360∘

טעות נפוצה: מבלבלים בין סכום הזוויות לזווית בודדת

טעות נפוצה: חושבים שכל מצולע שווה צלעות הוא משוכלל

טעות נפוצה: מציבים n במקום (n−2)(n-2)(n−2)

סיכום

תרגול נוסף

סכום הזוויות של מצולע הוא $1080^{\circ}$ . כמה צלעות יש לו?

טעות נפוצה: חושבים שסכום הזוויות תמיד $360^{\circ}$

טעות נפוצה: מציבים n במקום $(n-2)$