ל

ריצופים משוכללים ולא משוכללים

30%
📖שיעור
50 דקות

ריצופים משוכללים ולא משוכללים

בשיעור זה נלמד באמצעות תנאי ה-360∘360^{\circ} סביב קדקוד אילו מצולעים משוכללים מרצפים את המישור (משולש, ריבוע ומשושה בלבד), נראה שכל משולש וכל מרובע מרצפים, וניצור ריצופים חדשים בהשראת אֶשֶר ואלהמברה.

ריצופים משוכללים ולא משוכללים

מבוא

ריצוף של המישור הוא כיסוי שלו בצורות גאומטריות, ללא חורים וללא חפיפות — בדיוק כמו מרצפות על רצפה או אריחים על קיר. בשיעור זה נעסוק בריצוף שבו האריחים נפגשים זה עם זה בקדקודים ובצלעות שלמות. נלמד כלי פשוט ועוצמתי — תנאי ה-360° סביב קדקוד — שיגלה לנו מדוע יש בדיוק שלושה מצולעים משוכללים שמרצפים את המישור, ומדוע דווקא מצולעים "לא מושלמים" כמו טרפז ומקבילית מרצפים גם הם. בדרך נכיר את הריצופים המפורסמים של ארמון אלהמברה בספרד וציורי אֶשֶר.

מטרות השיעור

  • להבין את תנאי הריצוף: הזוויות סביב כל קדקוד משלימות
  • לקבוע אילו מצולעים משוכללים מרצפים את המישור ומדוע — משולש, ריבוע ומשושה בלבד
  • להכיר אילו מצולעים לא משוכללים מרצפים: כל משולש וכל מרובע (מלבן, מעוין, מקבילית, טרפז)
  • ליצור ריצופים חדשים מצורות בסיס, בהקשר אמנותי (אֶשֶר, אלהמברה)

הרעיון המרכזי

תנאי הריצוף — 360∘360^{\circ} סביב קדקוד

סביב כל נקודה במישור יש סיבוב מלא של . כדי שמצולעים יכסו את המישור בלי חורים ובלי חפיפה, הזוויות הנפגשות בכל קדקוד חייבות להסתכם בדיוק ל-.

עבור מצולע משוכלל יחיד שזוויתו , התנאי הוא ש- יהיה מספר שלם — מספר האריחים שנפגשים בכל קדקוד.

בדיקה מהירה

בריצוף שבו האריחים נפגשים בקדקודיהם, מה חייב להיות סכום הזוויות של האריחים שנפגשים סביב כל קדקוד?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

אילו מצולעים משוכללים מרצפים?

נבדוק לכל מצולע משוכלל אם זוויתו מחלקת את 360° ללא שארית:

מצולע משוכללזווית פנימית זוויתמרצף?
משולש שווה צלעות60°6כן ✓
ריבוע90°4כן ✓
מחומש משוכלל108°3.33...לא ✗
משושה משוכלל120°3כן ✓
מתומן משוכלל135°2.67...לא ✗

מסקנה: רק שלושה מצולעים משוכללים מרצפים את המישור לבדם — המשולש שווה הצלעות, הריבוע והמשושה המשוכלל.

בדיקה מהירה

איזה מבין המצולעים המשוכללים הבאים אינו יכול לרצף את המישור לבדו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

אילו מצולעים לא משוכללים מרצפים?

דווקא מצולעים לא משוכללים מרצפים בקלות:

  • כל משולש (גם לא שווה צלעות): שני עותקים זהים יוצרים מקבילית, והמקביליות מכסות את המישור.
  • כל מרובע (מלבן, מעוין, מקבילית, טרפז): סכום ארבע זוויותיו הוא , ולכן ארבעת הזוויות השונות נפגשות יחד בקדקוד אחד ומשלימות בדיוק סיבוב מלא.

לכן מלבן, מעוין, מקבילית וטרפז — כולם מרצפים את המישור.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בדיקת ריצוף של ריבוע

האם ריבוע מרצף את המישור?

1

שלב 1 — זווית הריבוע

כל זווית בריבוע היא 90∘90^{\circ}.
תשובה מספרית

מרצפים רצפה באריחים בצורת משולש שווה צלעות. כמה אריחים נפגשים סביב כל קדקוד בריצוף?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מדוע מחומש משוכלל אינו מרצף

האם מחומש משוכלל מרצף את המישור?

לכן אי אפשר לסגור קדקוד במחומשים משוכללים בלבד.

1

שלב 1 — זווית המחומש המשוכלל

180⋅5−25=5405=108∘180 \cdot \frac{5-2}{5} = \frac{540}{5} = 108^{\circ}

דוגמה 3: ריצוף במשושים משוכללים

כמה משושים משוכללים נפגשים בכל קדקוד?

1

שלב 1 — זווית המשושה

180⋅6−26=7206=120∘180 \cdot \frac{6-2}{6} = \frac{720}{6} = 120^{\circ}
בדיקה מהירה

מדוע משושה משוכלל מרצף את המישור?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מדוע כל מרובע מרצף

הסבירו מדוע אפשר לרצף את המישור בעזרת טרפז כלשהו

ארבע הזוויות של מרובע אחד = סיבוב מלא סביב קדקוד.

1

שלב 1 — סכום זוויות הטרפז

טרפז הוא מרובע, וסכום זוויותיו 180⋅(4−2)=360∘180 \cdot (4-2) = 360^{\circ}.

דוגמה 5: יצירת ריצוף בשיטת אֶשֶר

כיצד יוצרים אריח חדש מריבוע שעדיין מרצף?

זו השיטה שבה השתמש האמן ההולנדי אֶשֶר כדי להפוך ריבועים ומשושים לציפורים ולדגים מרצפים. ריצופים דומים מעטרים את ארמון אלהמברה בספרד.

1

שלב 1 — מתחילים מאריח שמרצף

לוקחים ריבוע — צורה שאנו יודעים שמרצפת.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל מצולע משוכלל מרצף

טעות: מחומש משוכלל מרצף את המישור

נכון: — לא שלם, ולכן אינו מרצף

למה זה קורה?

מניחים שאם צורה 'יפה וסימטרית' היא בהכרח מרצפת.

איך מתקנים?

רק מצולע משוכלל שזוויתו מחלקת את 360∘360^{\circ} ללא שארית מרצף — כלומר משולש (60∘)(60^{\circ}), ריבוע (90∘)(90^{\circ}) ומשושה (120∘)(120^{\circ}) בלבד. מחומש משוכלל (108∘)(108^{\circ}) אינו מרצף.

טעות נפוצה: בודקים חלוקה ב-180∘180^{\circ} במקום ב-360∘360^{\circ}

טעות: משושה מרצף כי 180 / 120 ...

נכון: התנאי הוא — סביב קדקוד יש 360°

למה זה קורה?

מבלבלים בין סכום הזוויות במשולש (180∘)(180^{\circ}) לסיבוב סביב קדקוד (360∘)(360^{\circ}).

איך מתקנים?

סביב קדקוד יש סיבוב מלא של 360∘360^{\circ}. הזווית חייבת לחלק את 360, לא את 180.

טעות נפוצה: חושבים שמצולע לא משוכלל אינו יכול לרצף

טעות: טרפז לא יכול לרצף כי הוא לא סימטרי

נכון: סכום זוויות הטרפז — ארבעה טרפזים סוגרים קדקוד

למה זה קורה?

מקשרים ריצוף עם סדירות וסימטריה מושלמת.

איך מתקנים?

כל משולש וכל מרובע (מלבן, מעוין, מקבילית, טרפז) מרצפים את המישור — דווקא בזכות סכום הזוויות שלהם.

טעות נפוצה: חושבים שמשושה לא מרצף בגלל ריבוי צלעות

טעות: למשושה יותר מדי צלעות, אז הוא לא מרצף

נכון: — שלושה משושים בכל קדקוד

למה זה קורה?

מניחים שככל שיש יותר צלעות קשה יותר לרצף.

איך מתקנים?

המשושה המשוכלל דווקא מרצף: זוויתו 120∘120^{\circ}, ו-360120=3\frac{360}{120} = 3 בדיוק. שלושה משושים סוגרים כל קדקוד.

סיכום

מה למדנו?

תנאי הריצוף: הזוויות סביב כל קדקוד משלימות .

מצולעים משוכללים שמרצפים (זווית שמחלקת את 360°):

  • משולש שווה צלעות — 60° (×6)
  • ריבוע — 90° (×4)
  • משושה משוכלל — 120° (×3)

מחומש משוכלל (108°) ומתומן (135°) אינם מרצפים.

מצולעים לא משוכללים שמרצפים: כל משולש, וכל מרובע — מלבן, מעוין, מקבילית וטרפז (סכום הזוויות 360°).

יצירת ריצופים: גוזרים צורה מצלע ומדביקים אותה לצלע הנגדית — האריח החדש ממשיך לרצף, כפי שעשה אֶשֶר.

בשיעור הבא נחשב את שטח הריצוף ואת עלותו בש"ח!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על קביעת ריצופים ונימוקם באמצעות תנאי ה-360°.

חזרה ליחידה: ריצופים
תרגול