השוואת גרפים ודיאגרמות
מבוא
הרבה החלטות בחיים הן השוואה: איזו תוכנית סלולר משתלמת? איזה מאגר יתרוקן קודם? כשמציירים שני גרפים באותה מערכת צירים, אפשר לקרוא מהם מיד מי גדול ממי, היכן הם נפגשים, ומה משמעות המפגש. בשיעור זה נלמד להשוות גרפים ולהסיק מסקנות לקבלת החלטות.
מטרות השיעור
- להבין את משמעות נקודת החיתוך של שני גרפים בהקשר נתון
- לזהות תחומים שבהם גרף אחד נמצא מעל השני, ולהסביר את המשמעות
- להבדיל בין נקודת ההתחלה (ערך על ציר ה-y) לבין קצב השינוי (שיפוע)
- להשתמש בהשוואה לקבלת החלטה ובדיקת כדאיות
הרעיון המרכזי
נקודת החיתוך
נקודת החיתוך של שני גרפים היא הנקודה שבה הם נמצאים באותו מקום — אותו x ואותו y. בהקשר של עלויות: זהו ה-x שבו שני המצבים שווים.
לפני נקודת החיתוך גרף אחד נמצא מעל השני, ואחריה היחס מתהפך.
מעל / מתחת ומשמעותם
- גרף הנמצא מעל השני בתחום מסוים = הערך שלו גדול יותר באותו תחום (יקר יותר, גבוה יותר וכו').
- כדי למצוא את נקודת החיתוך אלגברית, משווים את שתי הנוסחאות ופותרים משוואה.
- נקודת ההתחלה (ערך ב-x = 0) וקצב השינוי (השיפוע) הם שני מאפיינים נפרדים.
לאורך השיעור נשתמש בשתי דוגמאות:
תוכניות סלולר: תוכנית א' — 30 + 0.5m ש״ח; תוכנית ב' — 60 + 0.2m ש״ח (כאשר m = מספר דקות).
מאגרי מים: מאגר א' — 80 - 5t אחוז; מאגר ב' — 20 + 5t אחוז (כאשר t = מספר חודשים).
דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: משמעות נקודת החיתוך
מה משמעות נקודת החיתוך של גרפי התוכניות?
נקודת החיתוך אינה 'הבחירה הטובה' — היא נקודת השוויון. ההכרעה תלויה בתחום שמסביבה.
שלב 1 — קוראים את הנקודה
שני גרפים מתארים את העלות החודשית (בש"ח) של שתי תוכניות סלולר כפונקציה של מספר דקות השיחה. נקודת החיתוך של שני הגרפים היא . מה משמעות נקודת החיתוך בהקשר זה?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 2: השוואה בנקודה נתונה
עבור 50 דקות, איזו תוכנית זולה יותר?
50 דקות נמצאות מתחת לנקודת החיתוך (100), ולכן גרף א' נמצא מתחת — זול יותר.
שלב 1 — תוכנית א'
תוכנית סלולר א' עולה 30 ש"ח קבוע ועוד 0.5 ש"ח לכל דקת שיחה. מהי העלות החודשית בש"ח עבור 50 דקות שיחה בתוכנית א'?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 3: מציאת נקודת החיתוך אלגברית
בכמה דקות העלות של שתי התוכניות שווה?
שלב 1 — משווים נוסחאות
תוכנית א': 30 ש"ח ועוד 0.5 ש"ח לדקה. תוכנית ב': 60 ש"ח ועוד 0.2 ש"ח לדקה. בכמה דקות שיחה בחודש העלות של שתי התוכניות שווה (נקודת החיתוך)?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
דוגמה 4: חיתוך של שני מאגרים
כעבור כמה חודשים יהיו שני המאגרים באותו אחוז מילוי?
מאגר א' יורד ומאגר ב' עולה — הם מתקרבים ונפגשים בדיוק באמצע, ב-50%.
שלב 1 — משווים
מפלס מאגר א' (באחוז) נתון על ידי 80 פחות 5 לכל חודש שעובר, ומפלס מאגר ב' נתון על ידי 20 ועוד 5 לכל חודש. כעבור כמה חודשים יהיו שני המאגרים באותו אחוז מילוי?
כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
טעויות נפוצות
טעות נפוצה: חושבים שנקודת החיתוך היא תמיד 'הכי טובה'
ב-100 דקות שתי התוכניות שוות (80 ש״ח). מתחת — א' זולה; מעל — ב' זולה.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: קובעים מי 'גדול' באופן כללי
ל-50 דקות א' זולה, אך ל-200 דקות דווקא ב' זולה — היחס התהפך ב-100.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מבלבלים בין נקודת ההתחלה לקצב השינוי
תוכנית ב' מתחילה ב-60 (גבוה) אך השיפוע שלה 0.2 (מתון) — בסוף היא משתלמת.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
טעות נפוצה: מחפשים מקסימום במקום מפגש
פותרים 80 - 5t = 20 + 5t — לא מחפשים מתי כל מאגר מתרוקן.
למה זה קורה?
איך מתקנים?
סיכום
מה למדנו?
השוואת גרפים:
- נקודת החיתוך = אותו x ואותו y לשני הגרפים — נקודת השוויון.
- מוצאים אותה אלגברית על ידי השוואת הנוסחאות: 30 + 0.5m = 60 + 0.2m.
- גרף מעל השני = ערך גדול יותר באותו תחום; היחס מתהפך בנקודת החיתוך.
- נקודת ההתחלה (ב-x=0) שונה מקצב השינוי (שיפוע).
- ההשוואה משמשת לקבלת החלטות ובדיקת כדאיות.
עכשיו אתם יודעים להשוות גרפים ולהסיק מהם מסקנות מעשיות!
תרגול נוסף
עברו לתרגול כדי להתאמן על השוואת גרפים והסקת מסקנות!