חישוב מחדש ואיחוד קבוצות

מבוא

נתונים משתנים: תלמיד נבחן במבחן נוסף, מדידה שגויה מוסרת, או שתי כיתות מתאחדות לטיול משותף. בכל מקרה כזה צריך לחשב מחדש את מדדי המרכז. הסוד הוא לעבוד עם הסכום של הנתונים ולא עם הממוצע עצמו.

מטרות השיעור

לחשב מחדש את הממוצע לאחר הוספה או הסרה של נתון
להבין מתי שינוי בנתון משנה את החציון ומתי לא
לחשב ממוצע משוקלל באיחוד שתי קבוצות או יותר
לפתור בעיה הפוכה: למצוא ממוצע של קבוצה אחת בהינתן הממוצע המאוחד

הרעיון המרכזי

עובדים עם הסכום

המפתח: סכום הנתונים = ממוצע × מספר הנתונים.

הוספת / הסרת נתון:

משחזרים את הסכום: $S = \overset{x}{ˉ} \cdot n$ .
מוסיפים או מחסרים את הנתון מהסכום.
מחלקים במספר הנתונים החדש.

איחוד קבוצות (ממוצע משוקלל): לקבוצה ראשונה $n_{1}$ נתונים בממוצע $\overset{x}{ˉ}_{1}$ , ולשנייה $n_{2}$ בממוצע $\overset{x}{ˉ}_{2}$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}}$

תכונת הממוצע: הוספת ערך השווה לממוצע אינה משנה אותו; ערך גדול ממנו מעלה, וקטן ממנו מוריד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע חדש לאחר הוספת נתון

ממוצע 4 מבחנים הוא 80. במבחן חמישי קיבל התלמיד 90. מהו הממוצע החדש?

\overset{x}{ˉ}_{new} = \frac{80 \cdot 4 + 90}{5} = \frac{410}{5} = 82

לא מחברים 90 ישירות לממוצע — עובדים עם הסכום!

שלב 1 — משחזרים את הסכום

80 \cdot 4 = 320

דוגמה 2: ממוצע חדש לאחר הסרת נתון

ממוצע 5 מדידות הוא 70. מסירים מדידה שגויה שערכה 90. מהו הממוצע של 4 הנותרות?

\overset{x}{ˉ}_{new} = \frac{70 \cdot 5 - 90}{4} = \frac{260}{4} = 65

הסרת ערך הגדול מהממוצע הורידה את הממוצע.

שלב 1 — משחזרים את הסכום

70 \cdot 5 = 350

דוגמה 3: איחוד שתי קבוצות (ממוצע משוקלל)

מחלקה א': 20 עובדים בשכר ממוצע 8000 ש״ח. מחלקה ב': 30 עובדים בשכר ממוצע 10000 ש״ח. מהו השכר הממוצע המאוחד?

\overset{x}{ˉ} = \frac{20 \cdot 8000 + 30 \cdot 10000}{20 + 30} = \frac{460000}{50} = 9200

הממוצע קרוב יותר ל-10000, כי מחלקה ב' גדולה יותר.

שלב 1 — סך השכר בכל מחלקה

20 \cdot 8000 = 160000 , 30 \cdot 10000 = 300000

דוגמה 4: בעיה הפוכה — מציאת ממוצע של קבוצה

ביישוב תמר 250 משפחות, ממוצע 1.5 מכוניות. ביישוב תפוז 300 משפחות. הממוצע המאוחד 1.68. מהו הממוצע בתפוז?

\overset{x}{ˉ}_{תפוז} = \frac{550 \cdot 1.68 - 250 \cdot 1.5}{300} = \frac{549}{300} = 1.83

שלב 1 — סך המכוניות המאוחד

550 \cdot 1.68 = 924

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

הציון הממוצע של תלמיד ב-4 מבחנים הוא 80. התלמיד נבחן במבחן חמישי וקיבל 90. מהו ממוצע ציוניו ב-5 המבחנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במחלקה א' עובדים 20 עובדים ששכרם הממוצע 8000 ש"ח. במחלקה ב' עובדים 30 עובדים ששכרם הממוצע 10000 ש"ח. מהו השכר הממוצע של כל 50 העובדים יחד, בש"ח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

ביישוב תמר גרות 250 משפחות, ובו מספר המכוניות הממוצע למשפחה הוא 1.5. ביישוב תפוז גרות 300 משפחות. לאחר איחוד שני היישובים התברר שהממוצע המאוחד הוא 1.68 מכוניות למשפחה. מהו מספר המכוניות הממוצע למשפחה ביישוב תפוז?

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים נתון חדש ישירות לממוצע

טעות: $\frac{80 + 90}{2} = 85$ .

נכון: $\frac{80 \cdot 4 + 90}{5} = 82$ .

למה זה קורה?

תלמידים עושים

(80 + 90) \div 2

במקום לעבוד עם הסכום של כל הנתונים.

איך מתקנים?

שחזרו תחילה את הסכום (ממוצע × מספר נתונים), הוסיפו, וחלקו במספר החדש.

טעות נפוצה: ממוצע פשוט באיחוד קבוצות

טעות: $\frac{8000 + 10000}{2} = 9000$ .

נכון: $\frac{20 \cdot 8000 + 30 \cdot 10000}{50} = 9200$ .

למה זה קורה?

מחשבים את הממוצע של שני הממוצעים ומתעלמים מגודל הקבוצות.

איך מתקנים?

שקללו כל ממוצע במספר הנתונים בקבוצתו, וחלקו בסך כל הנתונים.

טעות נפוצה: מניחים שכל שינוי משנה את החציון

הוספת שני ציונים של 80 לכיתה שממוצעה 80 משאירה את הממוצע 80 ללא שינוי.

למה זה קורה?

חושבים שהוספה או שינוי תמיד משפיעים על החציון.

איך מתקנים?

הוספת ערך השווה לממוצע אינה משנה את הממוצע, ולעיתים שינוי אינו עובר את האמצע — והחציון נשאר.

טעות נפוצה: בבעיה הפוכה לא עובדים עם הסכומים

\overset{x}{ˉ}_{2} = \frac{( n _{1} + n _{2} ) x ˉ - n _{1} x ˉ _{1}}{n _{2}}

למה זה קורה?

מנסים לחלץ ממוצע של קבוצה ישירות מהממוצע המאוחד.

איך מתקנים?

חשבו סך מאוחד פחות סך הקבוצה הידועה, וחלקו בגודל הקבוצה החסרה.

סיכום

מה למדנו?

הכלל המרכזי: עובדים עם הסכום, $S = \overset{x}{ˉ} \cdot n$ .

הוספה / הסרה: משחזרים סכום → מוסיפים/מחסרים → מחלקים במספר החדש.
איחוד קבוצות: $\overset{x}{ˉ} = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ — ממוצע משוקלל לפי הגדלים.
בעיה הפוכה: סך מאוחד פחות סך הקבוצה הידועה, חלקי גודל הקבוצה החסרה.
תכונה: ערך השווה לממוצע לא משנה אותו; גדול ממנו מעלה, קטן ממנו מוריד.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לחשב מחדש מדדים ולאחד קבוצות בצורה נכונה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב מחדש ואיחוד קבוצות!