ממוצע משוקלל

מבוא

לא תמיד כל הנתונים 'שווים'. בציון קורס, מבחן מסכם עשוי להיחשב הרבה יותר מבוחן קצר; בסקר, קבוצה גדולה משפיעה יותר מקבוצה קטנה. הממוצע המשוקלל נותן לכל ערך את ה'משקל' המגיע לו.

מטרות השיעור

להבין מהו משקל ומדוע צריך ממוצע משוקלל
לחשב ממוצע משוקלל ממשקלים באחוזים וממשקלים שהם מספר נתונים
להבחין בין ממוצע משוקלל לממוצע פשוט
למצוא נתון חסר בהינתן הממוצע, באמצעות שינוי נושא הנוסחה

הרעיון המרכזי

נוסחת הממוצע המשוקלל

לכל ערך $x_{i}$ יש משקל $w_{i}$ . הממוצע המשוקלל הוא:

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} w _{1} + x _{2} w _{2} + \dots + x _{n} w _{n}}{w _{1} + w _{2} + \dots + w _{n}}

שתי צורות נפוצות למשקלים:

אחוזים: המשקלים מסתכמים ל-100% = 1, ואז המכנה הוא 1 (אין צורך לחלק שוב).
מספר נתונים (שכיחות): המשקל הוא כמה פעמים מופיע הערך, והמכנה הוא סך כל הנתונים.

שינוי נושא הנוסחה: כשהממוצע נתון ונעלם אחד הערכים, כופלים את שני האגפים בסכום המשקלים ומבודדים את הנעלם.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע משוקלל באחוזים

מבחן 60%, עבודה 40%. ציון מבחן 90, ציון עבודה 80. מהו הציון הסופי?

\overset{x}{ˉ} = 0.6 \cdot 90 + 0.4 \cdot 80 = 54 + 32 = 86

המשקלים מסתכמים ל-1, ולכן אין צורך לחלק שוב.

שלב 1 — ממירים אחוזים לשברים

60\% = 0.6 , 40\% = 0.4

דוגמה 2: משקלים שהם מספר נתונים

בכיתה 3 תלמידים קיבלו 70 ו-7 תלמידים קיבלו 90. מהו ממוצע הכיתה?

\overset{x}{ˉ} = \frac{70 \cdot 3 + 90 \cdot 7}{3 + 7} = \frac{840}{10} = 84

שלב 1 — מכפילים ערך בשכיחות

70 \cdot 3 = 210 , 90 \cdot 7 = 630

דוגמה 3: מציאת נתון חסר בממוצע פשוט

שני ציונים ידועים 80 ו-75, וציון שלישי חסר. הממוצע הוא 80. מצאו את הציון החסר.

\frac{80 + 75 + x}{3} = 80 \Rightarrow 155 + x = 240 \Rightarrow x = 85

שלב 1 — כותבים משוואה

(80 + 75 + x) \div 3 = 80

דוגמה 4: נתון חסר עם משקלים (שינוי נושא הנוסחה)

מבחן 75%, פרויקט 25%. הציון הסופי 85, ציון הפרויקט 70. מצאו את ציון המבחן.

0.75 x + 0.25 \cdot 70 = 85 \Rightarrow 0.75 x = 67.5 \Rightarrow x = 90

בדיקה: $0.75 \cdot 90 + 0.25 \cdot 70 = 67.5 + 17.5 = 85$ ✓

שלב 1 — כותבים משוואה

0.75 \cdot x + 0.25 \cdot 70 = 85

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

במקצוע מתמטיקה הציון הסופי מורכב ממבחן במשקל 60% ומעבודת בית במשקל 40%. תום קיבל 90 במבחן ו-80 בעבודת הבית. מהו ציונו הסופי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

לדנה שלושה ציונים: 80, 75 וציון נוסף שאינו ידוע. ממוצע שלושת הציונים הוא 80. מהו הציון החסר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

ציון הקורס מחושב ממבחן מסכם במשקל 75% ומפרויקט במשקל 25%. ציון הקורס הסופי של רון הוא 85, וציונו בפרויקט הוא 70. מהו ציונו במבחן המסכם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתעלמים מהמשקלים ומחשבים ממוצע פשוט

טעות: $\frac{90 + 80}{2} = 85$ .

נכון: $0.6 \cdot 90 + 0.4 \cdot 80 = 86$ .

למה זה קורה?

תלמידים מחברים את הציונים ומחלקים במספרם, בלי להתחשב במשקל של כל רכיב.

איך מתקנים?

הכפילו כל ערך במשקלו לפני החיבור. ממוצע פשוט נכון רק כשכל המשקלים שווים.

טעות נפוצה: מחלקים במספר הערכים במקום בסכום המשקלים

עבור משקלים 1, 1, 1, 3 המכנה הוא 1+1+1+3=6, ולא 4.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין מספר הרכיבים לסכום המשקלים.

איך מתקנים?

המכנה הוא תמיד סכום המשקלים. כשהמשקלים הם שכיחויות — סך כל הנתונים.

טעות נפוצה: לא מבצעים שינוי נושא הנוסחה במציאת נתון חסר

מ- $\frac{80 + 75 + x}{3} = 80$ כופלים ב-3 ומקבלים x=85 — לא מנחשים.

למה זה קורה?

מנסים 'להציב' את הממוצע או לנחש, במקום לבודד את הנעלם בעזרת כללי המשוואות.

איך מתקנים?

כפלו את שני האגפים בסכום המשקלים, ואז בודדו את הנעלם על ידי חיסור וחלוקה.

טעות נפוצה: שוכחים שמשקלים באחוזים מסתכמים ל-1

$0.6 \cdot 90 + 0.4 \cdot 80 = 86$ — זה הציון הסופי, לא לחלק ב-2.

למה זה קורה?

לאחר חישוב

0.6 \cdot 90 + 0.4 \cdot 80

מחלקים שוב במספר כלשהו.

איך מתקנים?

כשהמשקלים מסתכמים ל-

100\% = 1

, סכום המכפלות הוא כבר הממוצע — אין חלוקה נוספת.

סיכום

מה למדנו?

ממוצע משוקלל:

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} w _{1} + x _{2} w _{2} + \dots}{w _{1} + w _{2} + \dots}

משקלים באחוזים מסתכמים ל-1 → סכום המכפלות הוא הממוצע.
משקלים שהם שכיחויות → מחלקים בסך כל הנתונים.
ממוצע פשוט הוא מקרה פרטי שבו כל המשקלים שווים.

מציאת נתון חסר: כותבים משוואה, כופלים בסכום המשקלים, ומבודדים את הנעלם (שינוי נושא הנוסחה).

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לשקלל נתונים ולמצוא ערך חסר מתוך הממוצע.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ממוצע משוקלל ועל מציאת נתון חסר!