מאורע משלים ואיחוד מאורעות זרים

מבוא

לאחר שלמדנו לחשב הסתברות של מאורע בודד, נכיר שני כלים שמקצרים ומפשטים חישובים: כלל המשלים — לחישוב ההסתברות שמאורע לא יקרה, וכלל החיבור למאורעות זרים — לחישוב ההסתברות שאחד מבין כמה מאורעות יקרה. שני הכלים שימושיים מאוד בהקשרים חברתיים: סקרים, הגרלות וחלוקת תפקידים.

מטרות השיעור

להבין מהו מאורע משלים ולחשב את הסתברותו: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
להבין מהם מאורעות זרים (ללא תוצאה משותפת)
לחשב הסתברות של איחוד מאורעות זרים: $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
לדעת מתי מותר להשתמש בכלל החיבור — ומתי לא

הרעיון המרכזי

שני כללי יסוד

מאורע משלים $\overset{ˉ}{A}$ — אוסף כל התוצאות שאינן ב-A. מאחר שמאורע ומשלימו מכסים יחד את כל מרחב המדגם וזרים זה לזה: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$

מאורעות זרים — שני מאורעות שאין להם אף תוצאה משותפת (לא ייתכן ששניהם יקרו יחד).

כלל החיבור (למאורעות זרים בלבד): $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

אזהרה חשובה: הכלל הזה תקף רק כשהמאורעות זרים. אם יש להם תוצאה משותפת — אסור פשוט לחבר, כי נספור את התוצאה המשותפת פעמיים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל המשלים בהגרלה

ההסתברות לזכות בהגרלה היא 0.04. מהי ההסתברות לא לזכות?

P (\overline{זכייה}) = 1 - 0.04 = 0.96

שלב 1 — מזהים את המאורע המשלים

'לא לזכות' הוא המשלים של 'לזכות'.

דוגמה 2: כלל המשלים במבחן

ההסתברות שתלמיד אקראי נכשל היא 0.15. מהי ההסתברות שעבר?

P (עבר) = 1 - 0.15 = 0.85

שלב 1 — מזהים משלים

כל תלמיד או עבר או נכשל — אין אפשרות שלישית. 'עבר' הוא המשלים של 'נכשל'.

דוגמה 3: איחוד מאורעות זרים בסקר

בסקר יעד הטיול $(50$ מצביעים): כינרת 15, אילת 20, ירושלים 10, גולן 5. מה ההסתברות לכינרת או גולן?

P (כינרת \cup גולן) = \frac{15}{50} + \frac{5}{50} = \frac{20}{50} = 0.4

שלב 1 — בודקים זרות

כל תלמיד בחר יעד אחד בלבד, ולכן 'כינרת' ו'גולן' זרים.

דוגמה 4: כלל החיבור בקוביה

מטילים קובייה הוגנת. מהי ההסתברות לקבל 2 או 5?

P (2 \cup 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

שלב 1 — מרחב המדגם

{1,2,3,4,5,6} — שש תוצאות שוות-סיכוי.

בדיקה מהירה

מאורע A הוא 'התלמיד שנבחר אוהב כדורגל', וההסתברות שלו היא P(A). מהי ההסתברות של המאורע המשלים 'התלמיד שנבחר אינו אוהב כדורגל'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בהגרלת מועצת התלמידים ההסתברות לזכות בפרס היא 0.04. מהי ההסתברות לא לזכות בפרס? כתבו כשבר עשרוני.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בסקר על יעד הטיול הצביעו 50 תלמידים: 15 לכינרת, 20 לאילת, 10 לירושלים ו-5 לגולן. בוחרים טופס אחד באקראי. מהי ההסתברות שמסומן בו 'כינרת' או 'גולן'? (כל תלמיד בחר יעד אחד.) כתבו כשבר עשרוני.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שילוב שני הכללים

בכניסה מחלקים צמיד בצבע אקראי: כחול בהסתברות 0.3, ירוק בהסתברות 0.25. מה ההסתברות לצבע אחר?

P (צבע אחר) = 1 - (0.3 + 0.25) = 0.45

שלב 1 — מחברים את הזרים

כל אחד מקבל צבע אחד, אז 'כחול' ו'ירוק' זרים: P(כחול או ירוק)

= 0.3 + 0.25 = 0.55

דוגמה 6: מתי הכלל לא תקף

בכיתה יש תלמידים בחוג מדעים, בחוג אומנות, וגם תלמידים בשני החוגים. מותר לחבר P(מדעים) $+ P($ אומנות)?

כשהמאורעות אינם זרים, כלל החיבור הפשוט P(A) + P(B) סופר תוצאות משותפות פעמיים.

שלב 1 — בודקים זרות

יש תלמידים החברים בשני החוגים — לכן המאורעות אינם זרים.

בדיקה מהירה

מטילים קובייה הוגנת אחת (פאות 1 עד 6). מהי ההסתברות לקבל 2 או 5?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

בכיתה חלק מהתלמידים חברים בחוג מדעים וחלק בחוג אומנות, ויש תלמידים החברים בשני החוגים יחד. בוחרים תלמיד אקראי. האם מותר לחשב את ההסתברות 'חבר במדעים או באומנות' פשוט על ידי חיבור P(מדעים) $+ P($ אומנות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים ב-1 במקום לחסר מ-1

טעות: $P (\overset{ˉ}{A}) = \frac{1}{0.04} = 25$ (ערך בלתי אפשרי!)

נכון: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - 0.04 = 0.96$

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים ש'1 קשור למשלים' אך מבצעים חלוקה במקום חיסור.

איך מתקנים?

כלל המשלים הוא

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

— חיסור, לא חלוקה.

טעות נפוצה: מחברים הסתברויות של מאורעות שאינם זרים

תלמיד שחבר בשני חוגים נספר פעמיים אם פשוט מחברים — לכן לא-זרים דורשים זהירות.

למה זה קורה?

מיישמים את כלל החיבור גם כשיש למאורעות תוצאה משותפת.

איך מתקנים?

כלל החיבור

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

תקף רק למאורעות זרים. תמיד בדקו תחילה אם קיימת תוצאה השייכת לשני המאורעות.

טעות נפוצה: מניחים שכל שני מאורעות זרים

בדקו: האם ייתכן ששני המאורעות יקרו יחד? אם כן — הם אינם זרים.

למה זה קורה?

לא בודקים אם יש תוצאה משותפת לפני שמחברים.

איך מתקנים?

מאורעות זרים = אין אף תוצאה ששייכת לשניהם. 'נולד בקיץ' ו'נולד בחורף' זרים; 'אוהב כדורגל' ו'אוהב כדורסל' אינם בהכרח זרים.

טעות נפוצה: זיהוי שגוי של המאורע המשלים

אם המאורע הוא 'ציון נמוך מ-56' (נכשל), המשלים הוא 'ציון 56 ומעלה' (עבר) — כל שאר התלמידים.

למה זה קורה?

לא כוללים במשלים את כל התוצאות שמחוץ למאורע, או כוללים בו חלק מתוצאות המאורע.

איך מתקנים?

המשלים כולל בדיוק את כל התוצאות במרחב המדגם שאינן במאורע — לא פחות ולא יותר.

סיכום

מה למדנו?

כלל המשלים: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$

כלל החיבור (למאורעות זרים בלבד): $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

זכרו:

מאורע ומשלימו משלימים יחד ל-1
בודקים זרות לפני שמחברים — אין תוצאה משותפת
אם המאורעות אינם זרים, חיבור פשוט סופר תוצאות פעמיים
אפשר לשלב: קודם לחבר זרים, ואז להשלים ל-1

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לחשב הסתברות של מאורע משלים ושל איחוד מאורעות זרים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על כלל המשלים וכלל החיבור למאורעות זרים!

מאורע משלים ואיחוד מאורעות זרים

מאורע משלים ואיחוד מאורעות זרים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל המשלים בהגרלה

ההסתברות לזכות בהגרלה היא 0.04. מהי ההסתברות לא לזכות?

דוגמה 2: כלל המשלים במבחן

ההסתברות שתלמיד אקראי נכשל היא 0.15. מהי ההסתברות שעבר?

דוגמה 3: איחוד מאורעות זרים בסקר

בסקר יעד הטיול (50(50(50 מצביעים): כינרת 15, אילת 20, ירושלים 10, גולן 5. מה ההסתברות לכינרת או גולן?

דוגמה 4: כלל החיבור בקוביה

מטילים קובייה הוגנת. מהי ההסתברות לקבל 2 או 5?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: שילוב שני הכללים

בכניסה מחלקים צמיד בצבע אקראי: כחול בהסתברות 0.3, ירוק בהסתברות 0.25. מה ההסתברות לצבע אחר?

דוגמה 6: מתי הכלל לא תקף

בכיתה יש תלמידים בחוג מדעים, בחוג אומנות, וגם תלמידים בשני החוגים. מותר לחבר P(מדעים)+P(+ P(+P(אומנות)?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים ב-1 במקום לחסר מ-1

טעות נפוצה: מחברים הסתברויות של מאורעות שאינם זרים

טעות נפוצה: מניחים שכל שני מאורעות זרים

טעות נפוצה: זיהוי שגוי של המאורע המשלים

סיכום

תרגול נוסף

בסקר יעד הטיול $(50$ מצביעים): כינרת 15, אילת 20, ירושלים 10, גולן 5. מה ההסתברות לכינרת או גולן?

בכיתה יש תלמידים בחוג מדעים, בחוג אומנות, וגם תלמידים בשני החוגים. מותר לחבר P(מדעים) $+ P($ אומנות)?