הסתברות לפי לפלאס

מבוא

בחיי היום-יום אנחנו פוגשים מצבים רבים שבהם התוצאה אינה ודאית: מי יזכה בהגרלת מועצת התלמידים? איזה יעד ייבחר לטיול השנתי? כשבוחרים תלמיד באקראי — מה הסיכוי שתיבחר בת? הסתברות היא כלי מתמטי שמודד עד כמה סביר שמאורע יתרחש, באמצעות מספר אחד בין 0 ל-1.

מטרות השיעור

להבין שההסתברות מודדת את הסיכוי להתרחשות של מאורע, ושהיא מספר בתחום $0 \leq P \leq 1$
להכיר את המושגים מרחב מדגם, מאורע, מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי
לחשב הסתברות לפי הגדרת לפלאס: $P (A) = \frac{מספר התוצאות הרצויות}{מספר כל התוצאות האפשריות}$
ליישם את ההגדרה במצבים חברתיים: הגרלות, סקרים, בחירה אקראית

הרעיון המרכזי

הגדרות יסוד

מרחב מדגם — אוסף כל התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי. נסמן את מספר התוצאות בו ב-n.

מאורע — קבוצת תוצאות מתוך מרחב המדגם שמעניינות אותנו (התוצאות ה"רצויות").

הגדרת לפלאס (תקפה כשכל התוצאות שוות-סיכוי): $P (A) = \frac{מספר התוצאות הרצויות}{מספר כל התוצאות האפשריות}$

תכונות חשובות:

לכל מאורע $0 \leq P (A) \leq 1$
מאורע ודאי — תמיד מתרחש, ולכן P = 1
מאורע בלתי אפשרי — לעולם אינו מתרחש, ולכן P = 0

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בחירת תלמיד אקראי

בכיתה 30 תלמידים, מתוכם 18 בנות. מהי ההסתברות שתיבחר בת?

P (בת) = \frac{18}{30} = 0.6

שלב 1 — מזהים את מרחב המדגם

כל התלמידים בכיתה שווי-סיכוי להיבחר. מספר כל התוצאות:

n = 30

דוגמה 2: הגרלת פרסים

נמכרו 200 כרטיסי הגרלה זהים, ו-8 מהם זוכים. מהי ההסתברות לזכות?

P (זכייה) = \frac{8}{200} = 0.04

שלב 1 — מרחב המדגם

כל הכרטיסים שווי-סיכוי

. n = 200

דוגמה 3: מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

בקופסה 5 כדורים אדומים בלבד. מהי ההסתברות לשלוף אדום? ומהי ההסתברות לשלוף כחול?

P (אדום) = \frac{5}{5} = 1, P (כחול) = \frac{0}{5} = 0

שלב 1 — מרחב המדגם

5 כדורים, כולם אדומים

. n = 5

דוגמה 4: חישוב בהקשר של חיסונים

בשכבה 90 תלמידים. בכיתות חוסנו 20, 28 ו-25 תלמידים. בוחרים תלמיד/ה באקראי — מה ההסתברות שחוסן/ה?

P (מחוסן) = \frac{20 + 28 + 25}{90} = \frac{73}{90} \approx 0.81

שלב 1 — סופרים את המחוסנים

20 + 28 + 25 = 73

מחוסנים.

בדיקה מהירה

לפי הגדרת ההסתברות של לפלאס, כיצד מחשבים את ההסתברות של מאורע (כשכל התוצאות שוות-סיכוי)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בכיתה ז'3 לומדים 30 תלמידים, מתוכם 18 בנות. בוחרים באקראי תלמיד/ה אחד/ת מהכיתה. מהי ההסתברות שתיבחר בת? כתבו כשבר עשרוני.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

בקופסה יש 5 כדורים אדומים בלבד. שולפים כדור אחד. נכון או לא נכון: ההסתברות לשלוף כדור אדום היא 1 (מאורע ודאי).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מציאת מספר התוצאות מתוך הסתברות נתונה

בכרטיס הגרלה 3 חלונות עם פרס, והסיכוי לזכות צריך להיות 0.2. כמה חלונות בכרטיס?

\frac{3}{n} = 0.2 \Rightarrow n = \frac{3}{0.2} = 15

שלב 1 — מגדירים נעלם

נסמן ב-n את מספר החלונות בכרטיס.

דוגמה 6: השוואת סיכויים לקבלת החלטה

בקבוצת כדורסל 12 שחקנים ובמקהלה 18 חברים. בכל קבוצה נבחר אחד לפרס. עבור מי הסיכוי של פרט גבוה יותר?

\frac{1}{12} \approx 0.083 > \frac{1}{18} \approx 0.056

שלב 1 — הסתברות בכדורסל

כל שחקן שווה-סיכוי:

P = \frac{1}{12} ≈ 0.083

בדיקה מהירה

בעקבות התפרצות שפעת חוסנו בבית הספר 'כלניות' תלמידי שכבה ב': בכיתה ב1 חוסנו 20 ילדים, בכיתה ב2 חוסנו 28 ילדים ובכיתה ב3 חוסנו 25 ילדים. בסך הכול בשכבה 90 תלמידים. בוחרים באקראי תלמיד/ה מהשכבה. מהי ההסתברות שהוא/היא חוסן/ה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בכרטיס הגרלה יש כמה חלונות גירוד זהים, ובחלקם מצויר פרס. מותר לגרד חלון אחד. רוצים שההסתברות לזכות בפרס תהיה בדיוק 0.2, וידוע שיש בכרטיס 3 חלונות עם פרס. כמה חלונות גירוד צריכים להיות בכרטיס?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים ברצוי הלא-רצוי במקום בכלל

טעות: אם בכיתה 18 בנות ו-12 בנים, ‎ $P (בת) = \frac{18}{12}$ ‎ (גדול מ-1!)

נכון: $P (בת) = \frac{18}{30} = 0.6$

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין 'יחס סיכויים' (odds) להסתברות, וכותבים רצוי חלקי לא-רצוי.

איך מתקנים?

המכנה בהגדרת לפלאס הוא תמיד גודל מרחב המדגם כולו — כל התוצאות, רצויות ולא-רצויות יחד.

טעות נפוצה: הסתברות גדולה מ-1 או שלילית

טעות: $P = \frac{90}{73} \approx 1.23$

נכון: $P = \frac{73}{90} \approx 0.81$

למה זה קורה?

טעות בחישוב או הפיכה בין המונה למכנה מובילה לערך מחוץ לתחום.

איך מתקנים?

כל הסתברות חייבת לקיים

0 \le P \le 1

. אם קיבלתם ערך גדול מ-1 — בדקו את החלוקה; ודאי שהמונה אינו גדול מהמכנה.

טעות נפוצה: בלבול בין מאורע ודאי לבלתי אפשרי

חמישה כדורים אדומים בלבד:

$P (אדום) = 1$ (ודאי), ‎ $P (כחול) = 0$ ‎ (בלתי אפשרי)

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים ש'0 ו-1 מיוחדים' אך מתבלבלים מי מהם מציין מה.

איך מתקנים?

מאורע ודאי תמיד קורה ולכן

P = 1

. מאורע בלתי אפשרי לעולם לא קורה ולכן

P = 0

טעות נפוצה: ספירת תוצאות שאינן שוות-סיכוי

בהגרלה הוגנת כל הכרטיסים זהים, ולכן מותר לספור אותם כתוצאות שוות-סיכוי.

למה זה קורה?

מיישמים את נוסחת לפלאס גם כשהתוצאות אינן בעלות אותו סיכוי.

איך מתקנים?

הגדרת לפלאס תקפה רק כשכל תוצאות מרחב המדגם שוות-סיכוי. ודאו זאת לפני החישוב (כרטיסים זהים, בחירה אקראית הוגנת וכד').

סיכום

מה למדנו?

הגדרת לפלאס: $P (A) = \frac{מספר התוצאות הרצויות}{מספר כל התוצאות האפשריות}$

מושגים:

מרחב מדגם — כל התוצאות האפשריות
מאורע — התוצאות הרצויות
מאורע ודאי: P = 1 ; מאורע בלתי אפשרי: P = 0

זכרו:

כל הסתברות נמצאת בתחום $0 \leq P \leq 1$
ההגדרה תקפה רק כשהתוצאות שוות-סיכוי
אפשר להפוך את הנוסחה כדי למצוא נעלם (כמה חלונות? כמה כרטיסים?)

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לתרגם מצב חברתי למודל הסתברותי ולחשב הסתברויות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב הסתברויות לפי לפלאס בהקשרים חברתיים!