מאורע דו-שלבי בעזרת טבלה

מבוא

במצבים רבים התוצאה נקבעת בשני שלבים: מטילים שתי קוביות, מסובבים שני גלגלי הגרלה, או בוחרים שני קלפים. במצבים כאלה התוצאה היא זוג סדור — תוצאה אחת לכל שלב. בשיעור זה נלמד לארגן את כל התוצאות האפשריות בטבלה דו-ממדית, ומתוכה לחשב הסתברויות בקלות ובלי לשכוח אף תוצאה.

מטרות השיעור

להבין שמצב דו-שלבי מתואר באמצעות זוגות סדורים (הסדר חשוב)
לבנות טבלה דו-ממדית של כל מרחב המדגם
לחשב את גודל מרחב המדגם כמכפלה של מספרי האפשרויות בכל שלב
לחשב הסתברות של מאורע על ידי ספירת התאים המתאימים בטבלה וחלוקה בכלל

הרעיון המרכזי

מצב דו-שלבי וטבלה דו-ממדית

זוג סדור (a, b) — תוצאת השלב הראשון היא a והשני b. הסדר חשוב: (2,5) שונה מ-(5,2).

גודל מרחב המדגם = מספר אפשרויות בשלב א כפול מספר אפשרויות בשלב ב. לשתי קוביות: $6 \times 6 = 36$

חישוב הסתברות: סופרים בטבלה את התאים שבהם המאורע מתרחש (תוצאות רצויות), ומחלקים בגודל מרחב המדגם.

טבלת הסכומים של שתי קוביות (השורה = הקוביה הראשונה, העמודה = השנייה):

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

בטבלה 36 תאים — אלו כל התוצאות האפשריות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גודל מרחב המדגם

מטילים שתי קוביות הוגנות. כמה תוצאות אפשריות?

6 \times 6 = 36

שימו לב: מכפלה, לא סכום (6+6=12 שגוי).

שלב 1 — שלב ראשון

לקוביה הראשונה 6 תוצאות.

דוגמה 2: הסתברות שהסכום הוא 7

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שהסכום יהיה 7?

P (סכום = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.167

7 הוא הסכום השכיח ביותר!

שלב 1 — מאתרים בטבלה

התאים שבהם הסכום 7 הם האלכסון:

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

דוגמה 3: שימוש בכלל המשלים בטבלה

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שהסכום שונה מ-7?

P (סכום \neq = 7) = 1 - \frac{6}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \approx 0.833

שלב 1 — מזהים משלים

'שונה מ-7' הוא המשלים של 'שווה ל-7'.

דוגמה 4: מספרים שווים וזוגיים

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות ששתיהן יראו מספרים שווים וזוגיים?

P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx 0.083

שלב 1 — זוגות שווים

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)

— האלכסון הראשי.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מטילים שתי קוביות משחק הוגנות (אחת אחרי השנייה). כמה תוצאות אפשריות יש במרחב המדגם (כמה זוגות סדורים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נועה מסובבת גלגל הסתברות המחולק ל-3 חלקים שווים $(1, 2, 3)$ , ואחר כך מסובבת גלגל שני המחולק ל-2 חלקים שווים $(1, 2)$ . כמה זוגות סדורים יש במרחב המדגם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מטילים שתי קוביות הוגנות. בעזרת טבלה דו-ממדית, מהי ההסתברות שסכום המספרים בשתי הקוביות יהיה 7? כתבו כשבר עשרוני (עד שלוש ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: לפחות אחת מראה 6

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שלפחות אחת תראה 6?

P = \frac{6 + 6 - 1}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.306

שלב 1 — שורת ה-6

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

— 6 תוצאות.

דוגמה 6: משחק שני גלגלים — האם הוגן?

גלגל נועה $(-2, 1, 3)$ , גלגל מיכל $(-1, 4)$ . מכפלה חיובית = נועה, שלילית = מיכל. האם הוגן?

P (נועה) = \frac{3}{6} = 0.5, P (מיכל) = \frac{3}{6} = 0.5

זכרו: מינוס כפול מינוס = פלוס!

שלב 1 — מרחב המדגם

3 \times 2 = 6

זוגות סדורים.

בדיקה מהירה

מטילים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות ששתי הקוביות יראו מספרים שווים זה לזה, וגם זוגיים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נועה ומיכל משחקות בשני גלגלים. גלגל נועה מחולק ל-3 חלקים שווים עם המספרים $(-2, 1, 3)$ , וגלגל מיכל ל-2 חלקים שווים עם המספרים $(-1, 4)$ . מכפילים את שני המספרים שהתקבלו. אם המכפלה חיובית נועה מנצחת, ואם שלילית מיכל מנצחת. האם המשחק הוגן (סיכוי שווה לשתיהן)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים במקום לכפול את גודל מרחב המדגם

טעות: 6 + 6 = 12 תוצאות

נכון: $6 \times 6 = 36$ תוצאות

למה זה קורה?

תלמידים סופרים

6+6=12

תוצאות לשתי קוביות במקום

6 \times 6=36

איך מתקנים?

לכל תוצאה של השלב הראשון יש את כל אפשרויות השלב השני, ולכן מכפילים:

6 \times 6 = 36

טעות נפוצה: סופרים $(2,5)$ ו- $(5,2)$ כתוצאה אחת

$(2, 5) \neq = (5, 2)$ — שתי תוצאות נפרדות.

למה זה קורה?

מתעלמים מכך שבזוג סדור הסדר חשוב.

איך מתקנים?

(2,5)

ו-

(5,2)

הן שתי תוצאות שונות במרחב המדגם. זו הסיבה שיש 36 תוצאות ולא 21.

טעות נפוצה: שוכחים תוצאות באלכסון

לדוגמה, התוצאה (6,6) שייכת גם לשורת ה-6 וגם לעמודת ה-6 — אל תספרו אותה פעמיים, אך גם אל תשכחו אותה.

למה זה קורה?

בעת ספירת מאורע מדלגים על תאים, ובמיוחד על אלכסון התוצאות השוות.

איך מתקנים?

עברו על הטבלה בשיטתיות, שורה אחר שורה, וסמנו כל תא רצוי. בדקו את האלכסון

(1,1),(2,2),\ldots,(6,6)

טעות נפוצה: בלבול בין סכום, מכפלה והפרש

המאורע 'סכום 7' מתאים לתאים שבהם a+b=7, ולא $a \cdot b = 7$ .

למה זה קורה?

קוראים 'סכום

= 7'

ומסמנים בטעות תאים לפי מכפלה או הפרש.

איך מתקנים?

קראו היטב מה המאורע מבקש. עבור 'סכום' מסמנים תאים שבהם השורה ועמודה מסתכמות לערך הנתון; עבור 'מכפלה' או 'הפרש' — בהתאם.

סיכום

מה למדנו?

מצב דו-שלבי:

כל תוצאה היא זוג סדור (a,b) — הסדר חשוב
גודל מרחב המדגם = מכפלה של מספרי האפשרויות בכל שלב
מארגנים את התוצאות בטבלה דו-ממדית

חישוב הסתברות: $P (A) = \frac{מספר התאים הרצויים}{מספר כל התאים}$

זכרו:

שתי קוביות → 36 תוצאות
אפשר לשלב את כלל המשלים (למשל P(סכום≠7) = 1 − P(סכום=7))
ספרו בשיטתיות ואל תשכחו תוצאות, במיוחד באלכסון

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לתאר מצב דו-שלבי בטבלה ולחשב ממנה הסתברויות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מאורעות דו-שלביים וחישוב הסתברויות מטבלה!

מאורע דו-שלבי בעזרת טבלה

מאורע דו-שלבי בעזרת טבלה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גודל מרחב המדגם

מטילים שתי קוביות הוגנות. כמה תוצאות אפשריות?

דוגמה 2: הסתברות שהסכום הוא 7

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שהסכום יהיה 7?

דוגמה 3: שימוש בכלל המשלים בטבלה

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שהסכום שונה מ-7?

דוגמה 4: מספרים שווים וזוגיים

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות ששתיהן יראו מספרים שווים וזוגיים?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: לפחות אחת מראה 6

מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שלפחות אחת תראה 6?

דוגמה 6: משחק שני גלגלים — האם הוגן?

גלגל נועה (−2,1,3)(-2, 1, 3)(−2,1,3), גלגל מיכל (−1,4)(-1, 4)(−1,4). מכפלה חיובית = נועה, שלילית = מיכל. האם הוגן?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים במקום לכפול את גודל מרחב המדגם

טעות נפוצה: סופרים (2,5)(2,5)(2,5) ו-(5,2)(5,2)(5,2) כתוצאה אחת

טעות נפוצה: שוכחים תוצאות באלכסון

טעות נפוצה: בלבול בין סכום, מכפלה והפרש

סיכום

תרגול נוסף

גלגל נועה $(-2, 1, 3)$ , גלגל מיכל $(-1, 4)$ . מכפלה חיובית = נועה, שלילית = מיכל. האם הוגן?

טעות נפוצה: סופרים $(2,5)$ ו- $(5,2)$ כתוצאה אחת