מעבר בין ייצוגים

מבוא

לאותם נתונים יש כמה "פרצופים": אפשר להציג אותם כרשימה גולמית, לארגן בטבלת שכיחויות, או להמחיש בדיאגרמת עמודות או בדיאגרמת עיגול. כל ייצוג מדגיש משהו אחר — וחלק מהמיומנות הסטטיסטית היא לדעת לעבור ביניהם וגם לבחור את המתאים ביותר למטרה. בשיעור זה נחבר את כל מה שלמדנו: ניקח נתונים מהקשרים ישראליים (תוצאות ספורט, סקרי דעת קהל, מדד המחירים) ונתרגם אותם מייצוג לייצוג.

מטרות השיעור

לעבור בין רשימה ↔ טבלת שכיחויות ↔ דיאגרמת עמודות / עיגול ובחזרה
לחשב את הזווית של פרוסה בדיאגרמת עיגול
לתרגם טבלה רב-משתנית לדיאגרמת עמודות כפולה ולקרוא ממנה
לבחור את הייצוג המתאים ביותר לנתונים נתונים, ולנמק

הרעיון המרכזי

הקשר בין הייצוגים

רשימה → טבלה: סופרים כל ערך (שכיחות).
טבלה → דיאגרמת עמודות: גובה כל עמודה = שכיחות הערך.
דיאגרמת עמודות → טבלה: קוראים את גובה כל עמודה כשכיחות.
טבלה → דיאגרמת עיגול: מחשבים שכיחות יחסית, וממירים לזווית.

הזווית בדיאגרמת עיגול

העיגול כולו הוא $36 0^{\circ}$ ומייצג 100% מהנתונים. הזווית המרכזית של כל פרוסה: $זווית = f_{יחסית} \times 36 0^{\circ} = \frac{f}{n} \times 36 0^{\circ}$

שימו לב: לאחוז מכפילים ב-100; לזווית מכפילים ב-360.

איזה ייצוג לבחור?

חלקים מתוך שלם אחד → דיאגרמת עיגול.
השוואת גדלים בין קטגוריות → דיאגרמת עמודות.
השוואת שתי קבוצות / שתי שנים → דיאגרמת עמודות כפולה.
שינוי רציף לאורך זמן → גרף קו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מדיאגרמת עמודות לטבלה

עמודות תוצאות כדורגל: ניצחון 8, תיקו 5, הפסד 7

מעבר מדיאגרמת עמודות לטבלה הוא פשוט קריאת גובה כל עמודה.

שלב 1 — גובה עמודה = שכיחות

ניצחון → 8, תיקו → 5, הפסד → 7.

תשובה מספרית

דיאגרמת עמודות מתארת את תוצאות משחקי הכדורגל של קבוצה בעונה. גובה העמודות: ניצחון — 8, תיקו — 5, הפסד — 7. אם בונים מהדיאגרמה טבלת שכיחויות, כמה משחקים שיחקה הקבוצה בסך הכול?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מטבלה לדיאגרמת עיגול (זוויות)

הציגו את תוצאות 20 המשחקים בדיאגרמת עיגול

0.4 \times 360 + 0.25 \times 360 + 0.35 \times 360 = 36 0^{\circ}

סכום הזוויות תמיד 360°.

שלב 1 — שכיחות יחסית

ניצחון

\frac{8}{20} = 40\%

, תיקו

\frac{5}{20} = 25\%

, הפסד

\frac{7}{20} = 35\%

תשובה מספרית

בדיאגרמת עיגול, השכיחות היחסית של סעיף 'דיור' היא 25%. מהי מידת הזווית המרכזית (במעלות) של הפרוסה המתאימה לסעיף 'דיור'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

תוצאות 20 משחקי כדורגל מוצגות בטבלת שכיחויות: ניצחון — 8, תיקו — 5, הפסד — 7. רוצים להציגן בדיאגרמת עיגול. מהי הזווית המרכזית (במעלות) של הפרוסה 'הפסד'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מדיאגרמת עיגול לטבלה

עיגול מחולק ל-10 חלקים שווים: תקין 5 חלקים, אין מענה 2, מקולקל 2, תפוס 1 — בנו טבלת שכיחות יחסית (מתוך 500 חיוגים)

ספירת חלקים שווים בעיגול → המרה לאחוזים → ואם נתון גודל המדגם, גם לשכיחויות.

שלב 1 — כל חלק $= 10\%$

10 חלקים שווים מחלקים את 100% → כל חלק 10%.

תשובה מספרית

סקר תגובות במוקד טלפוני מוצג בדיאגרמת עיגול המחולקת ל-10 חלקים שווים. השכיחות היחסית של 'אין מענה' היא 20%. בכמה חלקים (מתוך 10) יש לצבוע את הפרוסה של 'אין מענה'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: דיאגרמת עמודות כפולה

ענף ספורט מועדף — בנים מול בנות. כדורגל: בנים 12, בנות 6. כדורסל: בנים 8, בנות 9.

בדיאגרמת עמודות כפולה כל קטגוריה מקבלת שתי עמודות צמודות, אחת לכל קבוצה. תמיד מתחילים מקריאת המקרא.

שלב 1 — קוראים את המקרא

עמודה כהה = בנים, בהירה = בנות.

דוגמה 5: בחירת הייצוג המתאים

באיזה ייצוג נשתמש כדי להשוות את משקולות מדד המחירים בין 2009 ל-2011?

ההתאמה בין סוג השאלה לסוג הייצוג היא לב המיומנות הזו.

שלב 1 — מה רוצים להראות?

השוואה בין שתי שנים עבור אותן קטגוריות.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מכפילים ב-100 במקום ב-360 לחישוב זווית

טעות: $0.25 \times 100 = 2 5^{\circ}$

נכון: $0.25 \times 360 = 9 0^{\circ}$

למה זה קורה?

מבלבלים בין המרה לאחוז

( \times 100)

להמרה לזווית

( \times 360)

איך מתקנים?

זווית בדיאגרמת עיגול = שכיחות יחסית

\times 360^{\circ}

. עבור

25\%: 0.25 \cdot 360 = 90^{\circ}

, ולא

25^{\circ}

טעות נפוצה: בוחרים דיאגרמת עיגול להשוואה או לשינוי בזמן

השוואת 2009 מול 2011 → עמודות כפולה, לא עיגול.

למה זה קורה?

חושבים שדיאגרמת עיגול מתאימה לכל סוג נתונים.

איך מתקנים?

דיאגרמת עיגול מתאימה לחלקים מתוך שלם אחד. להשוואה בין קבוצות או לאורך זמן — דיאגרמת עמודות (לרוב כפולה).

טעות נפוצה: מבלבלים בין הסדרות בדיאגרמת עמודות כפולה

כהה = בנים, בהיר = בנות → בכדורגל בנים 12, בנות 6.

למה זה קורה?

לא קוראים את המקרא ומשייכים ערך לקבוצה הלא נכונה.

איך מתקנים?

תמיד מתחילים מהמקרא: איזה צבע/עמודה שייך לכל קבוצה. רק אז קוראים ערכים.

טעות נפוצה: סופרים חלקים שווים בעיגול בלי להמיר לאחוז

2 חלקים מתוך 10 → $\frac{2}{10} = 20%$

למה זה קורה?

חושבים שמספר החלקים הוא השכיחות היחסית.

איך מתקנים?

אם העיגול מחולק ל-10 חלקים שווים, כל חלק הוא 10%. 2 חלקים

= 20\%

, ולא 2%.

טעות נפוצה: חושבים שגובה עמודה הוא שכיחות יחסית

עמודת 'ניצחון' בגובה 8 → שכיחות 8; שכיחות יחסית = 8/20 = 40%.

למה זה קורה?

מערבבים בין דיאגרמת עמודות רגילה (שכיחות) לבין אחוזים.

איך מתקנים?

בדיאגרמת עמודות גובה העמודה הוא בדרך כלל השכיחות (מספר מוחלט). לשכיחות יחסית צריך לחלק בגודל המדגם.

סיכום

מה למדנו?

אותם נתונים — ייצוגים רבים, וצריך לדעת לעבור ביניהם ולבחור נכון.

רשימה ↔ טבלה: ספירת שכיחויות.
טבלה ↔ דיאגרמת עמודות: גובה עמודה = שכיחות.
טבלה ↔ דיאגרמת עיגול: זווית פרוסה $= f_{יחסית} \times 36 0^{\circ}$ (סכום 360°).
טבלה רב-משתנית → עמודות כפולה: עמודה לכל קבוצה; קוראים את המקרא.
בחירת ייצוג: עיגול לחלקים-משלם, עמודות להשוואה, עמודות כפולה לשתי קבוצות/שנים, גרף קו לשינוי בזמן.

עכשיו אתם יודעים לארגן נתונים, לחשב שכיחויות יחסיות ולנוע בחופשיות בין כל הייצוגים הסטטיסטיים — הבסיס לכל ניתוח נתונים מתקדם.