טבלאות שכיחויות

מבוא

כשאוספים נתונים על תופעה — כמה ילדים יש בכל משפחה ביישוב, מהו המקצוע המדעי האהוב על תלמידי הכיתה, או היכן מתנדבים תלמידי בית הספר — מקבלים בהתחלה רשימה ארוכה של נתונים גולמיים. רשימה כזו קשה לקריאה ולהבנה. טבלת שכיחויות מארגנת את אותו מידע בצורה תמציתית: לכל ערך אפשרי של המשתנה רושמים כמה פעמים הוא הופיע. בשיעור זה נלמד לקרוא טבלאות כאלה, לבנות אותן מרשימה, ולהבחין בין שני סוגי משתנים.

מטרות השיעור

להבין מהם משתנה, ערך המשתנה ושכיחות
לקרוא מידע מתוך טבלת שכיחויות עבור משתנה כמותי ועבור משתנה איכותי
לבנות טבלת שכיחויות מתוך רשימת נתונים גולמית
להבחין בין משתנה כמותי (מספרי) למשתנה איכותי (קטגורי)
לחשב את גודל המדגם כסכום השכיחויות

הרעיון המרכזי

הגדרות יסוד

משתנה — התכונה שאנחנו מודדים או סופרים (למשל: מספר הילדים במשפחה, מקצוע אהוב).

ערך המשתנה — אחת התוצאות האפשריות (למשל: 3 ילדים, או "פיזיקה").

שכיחות — מספר הפעמים שבו מופיע ערך מסוים בנתונים. נסמן אותה לרוב באות f (frequency).

גודל המדגם n — מספר כל הפריטים שנבדקו. הוא שווה לסכום כל השכיחויות: $n = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{k}$

משתנה כמותי מול משתנה איכותי

משתנה כמותי — ערכיו הם מספרים עם סדר וגודל אמיתיים, וניתן לבצע עליהם פעולות חשבון (למשל מספר הילדים, גובה, ציון). מספר הילדים הוא משתנה כמותי בדיד (ערכים שלמים בלבד).

משתנה איכותי — ערכיו הם קטגוריות (שמות, תכונות) ללא סדר מספרי טבעי (למשל מקצוע אהוב, צבע עיניים, מקום התנדבות).

שימו לב: גם עבור משתנה איכותי השכיחות היא מספר — אבל זה לא הופך את המשתנה עצמו לכמותי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת טבלה של משתנה כמותי

מספר הילדים במשפחה — כמה משפחות וכמה ילדים?

n = 4+8+12+6+2 = 32 משפחות

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 2 = 90$ ילדים

שלב 1 — מזהים את הטבלה

ערך המשתנה (מספר הילדים): 1, 2, 3, 4, 5. השכיחות (מספר המשפחות): 4, 8, 12, 6, 2.

תשובה מספרית

בטבלת השכיחויות הבאה מתואר מספר הילדים במשפחה ביישוב מסוים. ערך המשתנה (מספר הילדים): 1, 2, 3, 4, 5. השכיחות (מספר המשפחות): 4, 8, 12, 6, 2. כמה משפחות יש ביישוב בסך הכול?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שאלות "פחות מ-" ו"יותר מ-"

לכמה משפחות יש פחות מ-3 ילדים, ולכמה יותר מ-2?

שימו לב למילים המדויקות: "פחות מ-3" לא כולל את 3, אבל "3 או יותר" כן כולל אותו.

שלב 1 — 'פחות מ-3'

כולל את הערכים 1 ו-2 בלבד (לא

3): 4 + 8 = 12

משפחות.

דוגמה 3: קריאת טבלה של משתנה איכותי

מקצוע מדעי אהוב — משתנה כמותי או איכותי?

אי אפשר לחשב "ממוצע מקצוע" — זו עדות לכך שהמשתנה איכותי.

שלב 1 — הטבלה

ביולוגיה — 12, כימיה — 7, פיזיקה — 9, מדעי המחשב — 14.

בדיקה מהירה

בסקר נשאלו תלמידי כיתה י' מהו המקצוע המדעי האהוב עליהם. התקבלה טבלת שכיחויות: ביולוגיה — 12, כימיה — 7, פיזיקה — 9, מדעי המחשב — 14. איזה מהמשפטים נכון לגבי המשתנה 'מקצוע מדעי אהוב'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

בטבלת מספר הילדים במשפחה (מספר הילדים: 1, 2, 3, 4, 5; מספר המשפחות: 4, 8, 12, 6, 2) נטען: 'מספר הילדים במשפחה' הוא משתנה כמותי. נכון או לא נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: בניית טבלה מרשימה גולמית

בנו טבלת שכיחויות מהרשימה: 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 1

הכלל החשוב: סכום השכיחויות בטבלה חייב להיות שווה למספר הפריטים ברשימה המקורית. זו בדיקה שמונעת ספירה כפולה או דילוג.

שלב 1 — מזהים את הערכים האפשריים

הערכים שמופיעים: 0, 1, 2, 3, 4.

תשובה מספרית

מורה רשמה כמה אחים ואחיות יש לכל אחד מ-20 תלמידים בכיתה. זוהי הרשימה הגולמית: 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 1. אם בונים מהרשימה טבלת שכיחויות, מהי השכיחות של הערך '1 אח/אחות' (כלומר לכמה תלמידים יש בדיוק אח או אחות אחד)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: השלמת שכיחות חסרה

טבלה חסרה: 1→6, 2→11, 3→x, 4→13, 5→5, וסך הכול 50

כשנתון גודל המדגם הכולל, אפשר תמיד לחשב שכיחות חסרה אחת על ידי חיסור.

שלב 1 — סוכמים את הידועות

6 + 11 + 13 + 5 = 35

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין ערך המשתנה לבין השכיחות

בטבלה: מספר הילדים = 3 → שכיחות = 12.

המשמעות: 12 משפחות שבכל אחת מהן 3 ילדים.

למה זה קורה?

בטבלה מופיעות שתי שורות של מספרים, וקל להחליף ביניהן.

איך מתקנים?

ערך המשתנה הוא מה שנמדד (מספר הילדים); השכיחות היא כמה פעמים הוא הופיע (מספר המשפחות). בטבלת הילדים, '12' הוא מספר משפחות — לא מספר ילדים.

טעות נפוצה: מחשבים את גודל המדגם כסכום ערכי המשתנה

טעות: 1+2+3+4+5 = 15

נכון: n = 4+8+12+6+2 = 32

למה זה קורה?

מסכמים את השורה הראשונה

(1+2+3+4+5)

במקום את שורת השכיחויות.

איך מתקנים?

גודל המדגם = סכום השכיחויות. כאן

n = 4+8+12+6+2 = 32

, ולא

1+2+3+4+5 = 15

טעות נפוצה: ספירה כפולה או דילוג בבנייה מרשימה

תמיד מסיימים בבדיקה: $f_{1} + f_{2} + \dots + f_{k} = n$

למה זה קורה?

עוברים על רשימה ארוכה בעין ומאבדים את המקום.

איך מתקנים?

סמנו כל פריט תוך כדי ספירה, ובסוף ודאו שסכום השכיחויות שווה לאורך הרשימה. אם לא — נספרתם פעמיים או דילגתם.

טעות נפוצה: מתייחסים למשתנה איכותי כאל כמותי

אין משמעות ל"ממוצע מקצוע אהוב". זהו משתנה איכותי.

למה זה קורה?

השכיחויות הן מספרים, אז נדמה שאפשר 'לחשב ממוצע'.

איך מתקנים?

המשתנה עצמו (מקצוע, צבע, מקום) הוא קטגוריה ללא סדר מספרי. השכיחות תמיד מספרית, אך אי אפשר לחשב ממוצע של קטגוריות.

טעות נפוצה: שוכחים ערך בעל שכיחות 0

ערך שלא הופיע אינו 'נעלם' — אם הוא חלק מהטווח, שכיחותו היא 0.

למה זה קורה?

ערך שלא הופיע ברשימה פשוט נשמט מהטבלה.

איך מתקנים?

אם ההקשר מחייב טווח ערכים רציף (למשל 0 עד 5), רשמו גם ערך עם שכיחות 0 כדי שהטבלה תהיה שלמה.

סיכום

מה למדנו?

טבלת שכיחויות מארגנת נתונים גולמיים לפי ערך המשתנה והשכיחות שלו.

שכיחות = כמה פעמים מופיע ערך מסוים.
גודל המדגם $n = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{k}$ — סכום השכיחויות.
בנייה מרשימה: סופרים כל ערך, ובודקים שסכום השכיחויות = אורך הרשימה.
משתנה כמותי — ערכים מספריים עם סדר; משתנה איכותי — קטגוריות מילוליות.
השכיחות תמיד מספרית — גם עבור משתנה איכותי.

ארגון הנתונים בטבלה הוא הצעד הראשון לכל ניתוח סטטיסטי. בשיעור הבא נלמד להפוך שכיחויות לשכיחויות יחסיות באחוזים ובשברים.