טבלאות שכיחות יחסית

מבוא

נניח שבכיתה אחת 8 מתוך 20 תלמידים אוהבים מתמטיקה, ובכיתה אחרת 12 מתוך 40. באיזו כיתה האהבה למתמטיקה נפוצה יותר? אי אפשר להשוות לפי השכיחות בלבד (8 מול 12), כי גודל הכיתות שונה. צריך מדד שמתחשב בגודל המדגם — וזו בדיוק השכיחות היחסית: החלק של כל ערך מתוך השלם. בשיעור זה נלמד לבטא אותה כשבר ובאחוזים, בהקשרים אותנטיים כמו מדד המחירים לצרכן של הלמ"ס וסקרי דעת קהל.

מטרות השיעור

להבין מהי שכיחות יחסית ולמה היא נחוצה להשוואות הוגנות
לחשב שכיחות יחסית כשבר, כשבר עשרוני ובאחוזים
לוודא שסכום השכיחויות היחסיות הוא 1 (כלומר 100%)
לשחזר שכיחות מתוך אחוז וגודל מדגם נתון
להבין ולחשב שכיחות מצטברת

הרעיון המרכזי

הגדרת השכיחות היחסית

שכיחות יחסית של ערך = השכיחות שלו חלקי גודל המדגם: $f_{יחסית} = \frac{f}{n}$

אפשר לכתוב אותה כשבר, כשבר עשרוני, או באחוזים (כופלים ב-100): $\frac{f}{n} \times 100%$

שלושה כללים שימושיים

1. הסכום הוא 1 (100%): $\frac{f _{1}}{n} + \frac{f _{2}}{n} + \dots = \frac{f _{1} + f _{2} + \dots}{n} = \frac{n}{n} = 1$

2. שחזור שכיחות מאחוז (פעולה הפוכה — מכפילים): $f = \frac{אחוז}{100} \times n$

3. שכיחות מצטברת — סכום השכיחויות (או היחסיות) של כל הערכים עד ערך נתון ועד בכלל.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שכיחות יחסית כאחוז וכשבר

500 חיוגים למוקד: 250 תקינים, 100 ללא מענה, 125 קו מקולקל, 25 תפוס

\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{10 + 4 + 5 + 1}{20} = \frac{20}{20} = 1

שלב 1 — תקין

\frac{250}{500} = 0.5 = 50\% = \frac{1}{2}

תשובה מספרית

משפחת כהן ספרה במשך חודש 500 חיוגים למוקד שירות. ב-250 חיוגים נוצרה שיחה תקינה, ב-100 לא הייתה תשובה, ב-125 הקו היה מקולקל וב-25 הקו היה תפוס. מהי השכיחות היחסית (באחוזים) של החיוגים שבהם נוצרה שיחה תקינה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חישוב שכיחות יחסית של ספירה

ביישוב 'מרום' 120 מתנדבים; 30 בחברה להגנת הטבע — מהי השכיחות היחסית?

\frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 25%

שלב 1 — הנוסחה

שכיחות יחסית = שכיחות / גודל המדגם.

תשובה מספרית

ביישוב 'מרום' 120 תלמידים מתנדבים. 30 מהם מתנדבים בחברה להגנת הטבע. מהי השכיחות היחסית (באחוזים) של המתנדבים בחברה להגנת הטבע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שחזור שכיחות מתוך אחוז

באותו יישוב $(120$ מתנדבים), 'צער בעלי חיים' מהווה 15% — כמה מתנדבים?

f = 0.15 \times 120 = 18

שימו לב: כאן מכפילים ב-120 (ולא מחלקים) — זו הפעולה ההפוכה לחישוב שכיחות יחסית.

שלב 1 — מזהים שזו פעולה הפוכה

נתון אחוז וגודל מדגם, מחפשים שכיחות — לכן מכפילים.

תשובה מספרית

באותו יישוב 'מרום $' (120$ מתנדבים), השכיחות היחסית של המתנדבים ב'צער בעלי חיים' היא 15%. כמה תלמידים מתנדבים ב'צער בעלי חיים'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: ממשקל במדד לסכום בש"ח

משקל 'מזון' במדד הוא 16%. משפחה הוציאה 13,000 ₪ — כמה על מזון?

0.16 \times 13, 000 = 2, 080 ₪

כך משקולות המדד של הלמ"ס מתורגמות להוצאה כספית קונקרטית של משק בית.

שלב 1 — המשקל היחסי הוא שכיחות יחסית

16% מההוצאה הכוללת.

דוגמה 5: שכיחות מצטברת

שימוש בתחבורה ציבורית בשבוע: 0→20%, 1→35%, 2→25%, 3→15%, 4→5%. מהי השכיחות המצטברת של 'פעמיים או פחות'?

שכיחות מצטברת תמיד עולה ככל שמתקדמים בערכים, ומגיעה ל-100% בערך האחרון.

שלב 1 — מהם הערכים הרלוונטיים

'פעמיים או פחות

' = 0, 1, 2

תשובה מספרית

בסקר נשאלו תושבים כמה פעמים בשבוע הם משתמשים בתחבורה ציבורית. השכיחויות היחסיות: 0 פעמים — 20%, פעם אחת — 35%, פעמיים — 25%, שלוש פעמים — 15%, ארבע פעמים — 5%. מהי השכיחות היחסית המצטברת (באחוזים) של התושבים שמשתמשים בתחבורה ציבורית פעמיים בשבוע או פחות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק בגודל המדגם

טעות: שכיחות יחסית = 30

נכון: $\frac{30}{120} = 25%$

למה זה קורה?

רושמים את השכיחות עצמה כאילו היא השכיחות היחסית.

איך מתקנים?

שכיחות יחסית = שכיחות

/ n

. עבור 30 מתנדבים מתוך 120, השכיחות היחסית היא

\frac{30}{120} = 25\%

, ולא 30.

טעות נפוצה: הסכום לא יוצא 100%

$25% + 15% + 10% + 10% + 40% = 100%$ ✓

למה זה קורה?

עיגול שגוי, או חלוקה בגודל מדגם לא נכון.

איך מתקנים?

תמיד בדקו שסכום כל השכיחויות היחסיות הוא בדיוק 100% (או 1). אם לא — חזרו ובדקו את החלוקות.

טעות נפוצה: מבלבלים בין שכיחות יחסית למצטברת

מצטבר 'עד 2': $20% + 35% + 25% = 80%$ (ולא 25% בלבד)

למה זה קורה?

חושבים שהשכיחות המצטברת מתייחסת לערך בודד.

איך מתקנים?

שכיחות מצטברת = סכום עד ערך נתון ועד בכלל. 'פעמיים או פחות' מצטבר את 0, 1 ו-2 — לא רק את 2.

טעות נפוצה: מחברים במקום להכפיל בשחזור שכיחות

נכון: $0.15 \times 120 = 18$

למה זה קורה?

מתבלבלים בין החישוב הישיר להפוך.

איך מתקנים?

כדי לשחזר שכיחות מאחוז וכמות כוללת מכפילים: 15% מתוך

120 = 0.15 \cdot 120 = 18

. לא מחברים ולא מחלקים.

טעות נפוצה: מבלבלים בין אחוז לשבר עשרוני בהכפלה

טעות: $16 \times 13, 000$

נכון: $0.16 \times 13, 000 = 2, 080$

למה זה קורה?

מכפילים ב-16 במקום ב-0.16.

איך מתקנים?

ממירים אחוז לשבר עשרוני לפני ההכפלה:

16\% = 0.16

. לכן ההוצאה

= 0.16 \cdot 13{,}000 = 2{,}080 ₪

סיכום

מה למדנו?

שכיחות יחסית היא החלק של ערך מהשלם — מדד שמאפשר השוואות הוגנות בין מדגמים בגדלים שונים.

$f_{יחסית} = \frac{f}{n}$ — כשבר, כשבר עשרוני או באחוזים.
סכום כל השכיחויות היחסיות = 100% (תמיד בודקים!).
שחזור שכיחות: $f = \frac{אחוז}{100} \times n$ — מכפילים.
שכיחות מצטברת: סכום עד ערך נתון ועד בכלל; עולה עד 100%.

שכיחויות יחסיות הן הבסיס לדיאגרמת עיגול, שבה כל "פרוסה" מייצגת אחוז. בשיעור הבא נלמד לעבור בין כל הייצוגים — טבלאות, דיאגרמות עמודות ודיאגרמות עיגול.

טבלאות שכיחות יחסית

טבלאות שכיחות יחסית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שכיחות יחסית כאחוז וכשבר

500 חיוגים למוקד: 250 תקינים, 100 ללא מענה, 125 קו מקולקל, 25 תפוס

דוגמה 2: חישוב שכיחות יחסית של ספירה

ביישוב 'מרום' 120 מתנדבים; 30 בחברה להגנת הטבע — מהי השכיחות היחסית?

דוגמה 3: שחזור שכיחות מתוך אחוז

באותו יישוב (120(120(120 מתנדבים), 'צער בעלי חיים' מהווה 15% — כמה מתנדבים?

דוגמה 4: ממשקל במדד לסכום בש"ח

משקל 'מזון' במדד הוא 16%. משפחה הוציאה 13,000 ₪ — כמה על מזון?

דוגמה 5: שכיחות מצטברת

שימוש בתחבורה ציבורית בשבוע: 0→20%, 1→35%, 2→25%, 3→15%, 4→5%. מהי השכיחות המצטברת של 'פעמיים או פחות'?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק בגודל המדגם

טעות נפוצה: הסכום לא יוצא 100%

טעות נפוצה: מבלבלים בין שכיחות יחסית למצטברת

טעות נפוצה: מחברים במקום להכפיל בשחזור שכיחות

טעות נפוצה: מבלבלים בין אחוז לשבר עשרוני בהכפלה

סיכום

באותו יישוב $(120$ מתנדבים), 'צער בעלי חיים' מהווה 15% — כמה מתנדבים?