פירוק לגורמים

מבוא

פירוק לגורמים הוא הפעולה ההפוכה לפתיחת סוגריים: במקום להכפיל גורמים ולקבל סכום, אנחנו לוקחים סכום וכותבים אותו כמכפלה. זוהי אחת הטכניקות החשובות ביותר באלגברה, והיא הבסיס לפתרון משוואות, לצמצום שברים אלגבריים ולחקירת פונקציות בחשבון דיפרנציאלי.

מטרות השיעור

להוציא גורם משותף מתוך ביטוי אלגברי
לפרק לפי נוסחאות הכפל המקוצר: הפרש ריבועים $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ וטרינום ריבוע שלם $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
לפרק את הטרינום הריבועי $x^{2} + b x + c$ למכפלת שני גורמים
לשלב את השיטות לפירוק מלא של ביטוי

הרעיון המרכזי

שלוש שיטות פירוק עיקריות

1. הוצאת גורם משותף — מזהים את הגורם המשותף הגדול ביותר לכל האיברים ומוציאים אותו מחוץ לסוגריים: ab + ac = a(b + c)

2. נוסחאות הכפל המקוצר:

הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
טרינום ריבוע שלם: $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ וגם $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$

3. פירוק הטרינום הריבועי $x^{2} + b x + c$ — מחפשים שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b.

כלל זהב: תמיד מתחילים מהוצאת גורם משותף, ורק אחר כך ממשיכים לנוסחאות.

שימו לב: סכום ריבועים

הפרש ריבועים $a^{2} - b^{2}$ ניתן לפירוק, אבל סכום ריבועים $a^{2} + b^{2}$ אינו ניתן לפירוק מעל המספרים הממשיים. אל תכתבו $x^{2} + 9 = (x + 3) (x - 3)$ — זו טעות נפוצה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוצאת גורם משותף

פרקו לגורמים: $6x + 9$

שלב 1 — מזהים גורם משותף

המחלק המשותף הגדול ביותר של 6 ושל 9 הוא 3

דוגמה 2: הפרש ריבועים

פרקו לגורמים: $x^{2} - 16$

x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)

שלב 1 — מזהים הפרש ריבועים

16 = 4^{2}

, לכן

x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2}

דוגמה 3: טרינום ריבוע שלם

פרקו לגורמים: $x^{2} + 6x + 9$

x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}

שלב 1 — בודקים אם זה ריבוע שלם

האיבר הראשון

x^{2}

והאחרון

9 = 3^{2}

הם ריבועים

דוגמה 4: פירוק הטרינום הריבועי

פרקו לגורמים: $x^{2} - 7x + 12$

x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)

שלב 1 — קובעים סימנים

המכפלה

+12

חיובית והסכום

-7

שלילי ⇐ שני המספרים שליליים

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים על ידי הוצאת גורם משותף: $6x + 9$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים: $x^{2} - 16$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: פירוק מלא (גורם משותף + נוסחה)

פרקו פירוק מלא: $2x^{2} - 8$

2 x^{2} - 8 = 2 (x - 2) (x + 2)

שימו לב: אילו דילגנו על הוצאת הגורם המשותף, היינו מפספסים פירוק מלא.

שלב 1 — מוציאים גורם משותף

2x^{2} - 8 = 2(x^{2} - 4)

דוגמה 6: טרינום עם סימנים מנוגדים

פרקו לגורמים: $x^{2} - 5x - 6$

x^{2} - 5 x - 6 = (x - 6) (x + 1)

שלב 1 — קובעים סימנים

המכפלה

-6

שלילית ⇐ הסימנים מנוגדים (אחד חיובי ואחד שלילי)

בדיקה מהירה

פרקו לגורמים את הטרינום: $x^{2} - 5x - 6$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מפרקים סכום ריבועים

טעות: $x^{2} + 9 = (x + 3) (x - 3)$

נכון: $x^{2} + 9$ אינו ניתן לפירוק (בדיקה: $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ , לא $x^{2} + 9$ ).

למה זה קורה?

תלמידים מיישמים את נוסחת הפרש הריבועים גם על סכום ריבועים.

איך מתקנים?

רק הפרש ריבועים מתפרק:

a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)

. סכום ריבועים

a^{2} + b^{2}

אינו ניתן לפירוק מעל הממשיים.

תשובה קצרה

פרקו לגורמים פירוק מלא: $2x^{2} - 8. ($ רמז: הוציאו תחילה גורם משותף)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: הוצאת גורם משותף חלקית

טעות: 6x + 9 = 3(2x + 9)

נכון: 6x + 9 = 3(2x + 3) (גם 9 מתחלק ב-3!)

למה זה קורה?

שוכחים לחלק את כל האיברים בגורם, ובמיוחד את האיבר החופשי.

איך מתקנים?

כל איבר חייב להתחלק בגורם המשותף. בדקו תמיד בפתיחת סוגריים.

טעות נפוצה: בחירת מספרים שגויים בפירוק הטרינום

טעות: $x^{2} - 5 x - 6 = (x - 2) (x - 3)$ (כי (-2)(-3)=+6, לא -6)

נכון: $x^{2} - 5 x - 6 = (x - 6) (x + 1)$

למה זה קורה?

בוחרים מספרים שמכפלתם נכונה אך סכומם אינו תואם את מקדם x, או מתבלבלים בסימנים.

איך מתקנים?

המספרים חייבים לקיים גם את המכפלה (c) וגם את הסכום (b). כשהמכפלה שלילית — הסימנים מנוגדים.

טעות נפוצה: בלבול בין טרינום ריבוע שלם לבין מקרה כללי

$x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ כי $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$

אבל $x^{2} + 5 x + 9$ אינו ריבוע שלם, כי $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x \neq = 5 x$ .

למה זה קורה?

מניחים שכל טרינום הוא ריבוע שלם, או מחמיצים את הבדיקה של האיבר האמצעי.

איך מתקנים?

טרינום הוא ריבוע שלם רק אם האיבר האמצעי שווה ל-2ab בדיוק. אחרת מפרקים בשיטת הטרינום הכללית.

טעות נפוצה: לא בודקים פירוק מלא

$2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4)$ — לא לעצור כאן!

המשך: $2 (x^{2} - 4) = 2 (x - 2) (x + 2)$

למה זה קורה?

עוצרים אחרי שלב אחד ומחמיצים פירוק נוסף.

איך מתקנים?

אחרי כל פירוק שאלו: האם אפשר להמשיך לפרק? למשל אחרי הוצאת גורם משותף בדקו אם נותר הפרש ריבועים.

סיכום

מה למדנו?

שלוש שיטות פירוק:

גורם משותף: ab + ac = a(b+c) — תמיד מתחילים מכאן.
הפרש ריבועים: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
טרינום ריבוע שלם: $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
טרינום ריבועי כללי: $x^{2} + b x + c$ — שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b.

טיפים:

תמיד הוציאו גורם משותף ראשון, ופרקו פירוק מלא.
סכום ריבועים אינו ניתן לפירוק מעל הממשיים.
בדקו כל פירוק בפתיחת סוגריים.

כל הכבוד! עכשיו יש לכם את הכלים לפרק ביטויים אלגבריים לגורמים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פירוק לגורמים בכל השיטות!

פירוק לגורמים

פירוק לגורמים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוצאת גורם משותף

פרקו לגורמים: 6x+96x + 96x+9

דוגמה 2: הפרש ריבועים

פרקו לגורמים: x2−16x^{2} - 16x2−16

דוגמה 3: טרינום ריבוע שלם

פרקו לגורמים: x2+6x+9x^{2} + 6x + 9x2+6x+9

דוגמה 4: פירוק הטרינום הריבועי

פרקו לגורמים: x2−7x+12x^{2} - 7x + 12x2−7x+12

בדיקה מהירה

דוגמה 5: פירוק מלא (גורם משותף + נוסחה)

פרקו פירוק מלא: 2x2−82x^{2} - 82x2−8

דוגמה 6: טרינום עם סימנים מנוגדים

פרקו לגורמים: x2−5x−6x^{2} - 5x - 6x2−5x−6

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מפרקים סכום ריבועים

טעות נפוצה: הוצאת גורם משותף חלקית

טעות נפוצה: בחירת מספרים שגויים בפירוק הטרינום

טעות נפוצה: בלבול בין טרינום ריבוע שלם לבין מקרה כללי

טעות נפוצה: לא בודקים פירוק מלא

סיכום

תרגול נוסף

פרקו לגורמים: $6x + 9$

פרקו לגורמים: $x^{2} - 16$

פרקו לגורמים: $x^{2} + 6x + 9$

פרקו לגורמים: $x^{2} - 7x + 12$

פרקו פירוק מלא: $2x^{2} - 8$

פרקו לגורמים: $x^{2} - 5x - 6$