שיפוע ומשוואת הישר

מבוא

הישר הוא הצורה הבסיסית ביותר בהנדסה האנליטית, וכל ישר נקבע באופן מלא על ידי כיוון ומיקום. הכיוון נמדד באמצעות השיפוע — מספר שאומר עד כמה הישר "מטפס" או "יורד". בשיעור זה נבין את השיפוע משתי זוויות מבט: כיחס בין השתנות ה-y להשתנות ה-x, וכטנגנס הזווית שהישר יוצר עם ציר ה-x. לאחר מכן נכיר את שתי הצורות לכתיבת משוואת הישר — המפורשת והסתומה — ואת המקרים המיוחדים של ישרים המקבילים לצירים.

מטרות השיעור

להבין את השיפוע כיחס $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
להבין את השיפוע כטנגנס הזווית החדה שהישר יוצר עם ציר ה-x, בצירוף סימן (חיובי לפונקציה עולה, שלילי ליורדת)
לכתוב משוואת ישר בצורה מפורשת y = mx + b ובצורה סתומה Ax + By + C = 0, ולעבור ביניהן
לזהות ישרים מאונכים לצירים: אופקי y = c (שיפוע 0) ואנכי x = c (שיפוע לא מוגדר)

הרעיון המרכזי

שיפוע ושתי צורות המשוואה

שיפוע דרך שתי נקודות $A (x_{1}, y_{1})$ ו- $B (x_{2}, y_{2})$ : $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

השיפוע כטנגנס: אם $α$ היא הזווית החדה בין הישר לציר ה-x, אז $m = + tan α$ כאשר הישר עולה, ו- $m = - tan α$ כאשר הישר יורד.

צורה מפורשת: y = mx + b — כאן m הוא השיפוע ו-b נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

צורה סתומה: Ax + By + C = 0 — מאספים את כל האיברים לאגף אחד.

ישרים מאונכים לצירים:

ישר אופקי (מקביל לציר ה-x): y = c, שיפוע m = 0.
ישר אנכי (מקביל לציר ה-y): x = c, שיפוע לא מוגדר ( $Δ x = 0$ , אי-אפשר לחלק באפס).

מדוע השיפוע שווה לטנגנס הזווית?

נסתכל על משולש ישר זווית שנוצר מ"מדרגה" של הישר: הניצב האופקי הוא $Δ x$ והניצב האנכי הוא $Δ y$ . הזווית $α$ שבין הישר לאופק מקיימת לפי הגדרת הטנגנס במשולש ישר זווית: $tan α = \frac{ניצב מול}{ניצב ליד} = \frac{∣Δ y ∣}{∣Δ x ∣}$ . זהו בדיוק גודל השיפוע. הסימן נקבע לפי הכיוון: אם הישר עולה, $Δ y$ ו- $Δ x$ מאותו סימן והשיפוע חיובי; אם יורד — השיפוע שלילי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע משתי נקודות

חשבו את שיפוע הישר העובר דרך $A(1, 2)$ ו- $B(4, 8)$

m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

שיפוע חיובי — הישר עולה.

שלב 1 — הפרש ה-y (מונה)

\Delta y = 8 - 2 = 6

דוגמה 2: שיפוע שלילי עם שיעורים שליליים

חשבו את שיפוע הישר העובר דרך $A(-2, 5)$ ו- $B(3, -5)$

m = \frac{- 5 - 5}{3 - ( - 2 )} = \frac{- 10}{5} = - 2

שיפוע שלילי — הישר יורד.

שלב 1 — הפרש ה-y

\Delta y = -5 - 5 = -10

דוגמה 3: מצורה סתומה לצורה מפורשת

הביאו את $2x - y + 3 = 0$ לצורה מפורשת

2 x - y + 3 = 0 ⟹ y = 2 x + 3

הסכנה הנפוצה: לשכוח להפוך את הסימנים בכפל ב-(-1).

שלב 1 — מבודדים את האיבר עם y

-y = -2x - 3

בדיקה מהירה

מהו שיפוע הישר שמשוואתו $y = -5 ($ ישר אופקי, מקביל לציר ה-x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: השיפוע כטנגנס הזווית

ישר עולה יוצר זווית של $45^{\circ}$ עם ציר ה-x. מהו שיפועו?

m = + tan 4 5^{\circ} = 1

עבור פונקציה יורדת באותה זווית היה מתקבל m = -1.

שלב 1 — גודל השיפוע

|m| = \tan (45^{\circ}) = 1

תשובה מספרית

חשבו את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות $A(1, 2)$ ו- $B(4, 8)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: ישרים מאונכים לצירים

קבעו את השיפוע של הישר $y = -5$ ושל הישר $x = 4$

ישר אופקי (y = c) בעל שיפוע 0; ישר אנכי (x = c) בעל שיפוע לא מוגדר. אל תבלבלו ביניהם!

שלב 1 — הישר $y = -5 ($ אופקי)

ה-y קבוע

, \Delta y = 0

, לכן

m = \frac{0}{\Delta x} = 0

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים בין המונה למכנה בנוסחת השיפוע

טעות: $m = \frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$

נכון: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

למה זה קורה?

לא זוכרים מי מודד מה: השתנות אנכית או אופקית.

איך מתקנים?

שיפוע = השתנות אנכית חלקי אופקית

= \frac{\Delta y}{\Delta x}

. ה-y תמיד במונה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין ישר אופקי לישר אנכי

y = -5 שיפועו 0, אבל x = 4 שיפועו לא מוגדר.

למה זה קורה?

חושבים ששניהם 'מקבילים לציר' ולכן בעלי אותו שיפוע.

איך מתקנים?

אופקי

y = c:

שיפוע 0 (ה-y לא משתנה). אנכי

x = c:

שיפוע לא מוגדר

(\Delta x = 0)

טעות נפוצה: מתעלמים מהסימן של השיפוע

ישר יורד בזווית 45° שיפועו m = -1, ולא +1.

למה זה קורה?

מחשבים

\tan

של הזווית בלי לשים לב אם הישר עולה או יורד.

איך מתקנים?

גודל השיפוע

= \tan (

הזווית החדה), אבל הסימן נקבע לפי הכיוון: + לעולה, − ליורד.

טעות נפוצה: שוכחים להפוך סימנים במעבר לצורה מפורשת

טעות: מ-2x - y + 3 = 0 מקבלים y = -2x - 3

נכון: y = 2x + 3

למה זה קורה?

כשמבודדים את y ומכפילים ב-

(-1)

, לא משנים את כל הסימנים.

איך מתקנים?

כפל ב-

(-1)

הופך כל איבר: מ-

-y = -2x - 3

מקבלים

y = 2x + 3

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ישר העולה (פונקציה עולה) ויוצר זווית חדה של $45^{\circ}$ עם ציר ה-x הוא בעל שיפוע 1.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

ישר יוצר זווית חדה של $60^{\circ}$ עם ציר ה-x ומייצג פונקציה יורדת. מהו שיפועו? (נתון: $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3})$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

שיפוע ומשוואת הישר:

שיפוע: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ — ה-y במונה. חיובי = עולה, שלילי = יורד.
שיפוע כטנגנס: גודל $= tan (הזווית החדה)$ , סימן לפי הכיוון.
צורה מפורשת: y = mx + b. צורה סתומה: Ax + By + C = 0.
ישרים מאונכים לצירים: אופקי y = c (שיפוע 0), אנכי x = c (שיפוע לא מוגדר).

טיפים:

ה-y תמיד במונה של נוסחת השיפוע.
אל תבלבלו: שיפוע 0 (אופקי) ≠ שיפוע לא מוגדר (אנכי).
במעבר בין הצורות, היזהרו בהיפוך סימנים.

בשיעור הבא נשתמש בשיפוע כדי לקבוע מצבים הדדיים בין ישרים, ולמצוא משוואות ונקודות חיתוך.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב שיפוע ועל מעבר בין צורות המשוואה!

שיפוע ומשוואת הישר

שיפוע ומשוואת הישר

מבוא

הרעיון המרכזי

מדוע השיפוע שווה לטנגנס הזווית?

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע משתי נקודות

חשבו את שיפוע הישר העובר דרך A(1,2)A(1, 2)A(1,2) ו-B(4,8)B(4, 8)B(4,8)

דוגמה 2: שיפוע שלילי עם שיעורים שליליים

חשבו את שיפוע הישר העובר דרך A(−2,5)A(-2, 5)A(−2,5) ו-B(3,−5)B(3, -5)B(3,−5)

דוגמה 3: מצורה סתומה לצורה מפורשת

הביאו את 2x−y+3=02x - y + 3 = 02x−y+3=0 לצורה מפורשת

בדיקה מהירה

דוגמה 4: השיפוע כטנגנס הזווית

ישר עולה יוצר זווית של 45∘45^{\circ}45∘ עם ציר ה-x. מהו שיפועו?

דוגמה 5: ישרים מאונכים לצירים

קבעו את השיפוע של הישר y=−5y = -5y=−5 ושל הישר x=4x = 4x=4

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים בין המונה למכנה בנוסחת השיפוע

טעות נפוצה: מבלבלים בין ישר אופקי לישר אנכי

טעות נפוצה: מתעלמים מהסימן של השיפוע

טעות נפוצה: שוכחים להפוך סימנים במעבר לצורה מפורשת

בדיקה מהירה

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את שיפוע הישר העובר דרך $A(1, 2)$ ו- $B(4, 8)$

חשבו את שיפוע הישר העובר דרך $A(-2, 5)$ ו- $B(3, -5)$

הביאו את $2x - y + 3 = 0$ לצורה מפורשת

ישר עולה יוצר זווית של $45^{\circ}$ עם ציר ה-x. מהו שיפועו?

קבעו את השיפוע של הישר $y = -5$ ושל הישר $x = 4$