אמצע קטע

מבוא

לאחר שלמדנו לחשב מרחק בין נקודות, נעבור לפעולה בסיסית נוספת: מציאת אמצע הקטע. אמצע הקטע הוא הנקודה שנמצאת בדיוק "באמצע הדרך" בין שני קצותיו, ומחלקת אותו לשני חלקים שווים. נראה שהנוסחה פשוטה במיוחד — ממוצע השיעורים — ונלמד גם את הכיוון ההפוך: בהינתן אמצע וקצה אחד, נמצא את הקצה החסר. כלי זה חיוני לחקירת מקביליות, תיכונים ואלכסונים בהמשך.

מטרות השיעור

למצוא את אמצע הקטע מתוך שיעורי קצותיו בעזרת $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
להבין שאמצע = ממוצע השיעורים (חיבור וחלוקה ב-2)
למצוא קצה חסר של קטע מתוך הקצה השני והאמצע בעזרת השיקוף B = 2M - A
ליישם את הכלי לבדיקת תכונות (אלכסוני מקבילית חוצים זה את זה)

הרעיון המרכזי

נוסחת אמצע הקטע ושחזור קצה

אמצע הקטע שקצותיו $A (x_{1}, y_{1})$ ו- $B (x_{2}, y_{2})$ : $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

האמצע הוא הממוצע: מחברים כל זוג שיעורים ומחלקים ב-2. התוצאה היא נקודה (זוג שיעורים), לא מספר.

שחזור קצה חסר: אם נתונים האמצע M וקצה אחד A, הקצה השני הוא השיקוף של A דרך M: $B = 2 M - A ⟺ x_{B} = 2 x_{M} - x_{A}, y_{B} = 2 y_{M} - y_{A}$

הנוסחה לשחזור נובעת מבידוד $x_{B}$ במשוואת האמצע: מ- $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ מקבלים $x_{A} + x_{B} = 2 x_{M}$ , ולכן $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A}$ (ובדומה ל-y).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אמצע קטע

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו $A(2, 4)$ ו- $B(6, 10)$

M = (\frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + 10}{2}) = (4, 7)

שלב 1 — ממוצע שיעורי ה-x

\frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4

דוגמה 2: אמצע עם שיעורים שליליים

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו $A(-2, 3)$ ו- $B(4, -7)$

M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{3 + ( - 7 )}{2}) = (1, - 2)

שימו לב: 3 + (-7) = -4, ולכן שיעור ה-y שלילי.

שלב 1 — שיעור ה-x של האמצע

\frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1

דוגמה 3: שחזור קצה חסר

$M(3, 5)$ הוא אמצע הקטע AB, ו- $A(1, 2)$ . מצאו את B

B = 2 M - A = (2 \cdot 3 - 1, 2 \cdot 5 - 2) = (5, 8)

הרעיון: האמצע נמצא "באמצע הדרך", ולכן B הוא השיקוף של A דרך M.

שלב 1 — משוואה לשיעור x

3 = \frac{1 + x_B}{2}

, לכן

1 + x_B = 6

ומכאן

x_B = 5

בדיקה מהירה

דוגמה 4: שחזור קצה עם שיעורים שליליים

$M(-1, 2)$ הוא אמצע הקטע AB, ו- $B(3, -4)$ . מצאו את A

A = 2 M - B = (2 \cdot (- 1) - 3, 2 \cdot 2 - (- 4)) = (- 5, 8)

תמיד כדאי לבדוק: חשבו מחדש את האמצע של הקצוות שקיבלתם.

שלב 1 — נוסחת השיקוף

A = 2M - B

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אמצע הקטע שקצותיו $A(-1, -1)$ ו- $B(3, 5)$ הוא הנקודה $(1, 2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו אמצע הקטע שקצותיו $A(2, 4)$ ו- $B(6, 10)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: אלכסוני מקבילית חוצים זה את זה

במקבילית $A(0,0), B(6,2), C(8,8), D(2,6)$ מצאו את נקודת חיתוך האלכסונים

M_{A C} = (4, 4) = M_{B D}

העובדה ששני האמצעים מתלכדים מאשרת מחדש שזו מקבילית.

שלב 1 — תכונה

אלכסוני מקבילית חוצים זה את זה — נקודת החיתוך היא אמצע כל אלכסון

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-2 בחישוב אמצע

טעות: אמצע של (2, 4) ו-(6, 10) הוא (8, 14)

נכון: $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + 10}{2}) = (4, 7)$

למה זה קורה?

מחברים את שיעורי שתי הנקודות ועוצרים שם.

איך מתקנים?

אמצע הוא הממוצע — חיבור ואז חלוקה ב-2. הסכום לבדו נותן נקודה רחוקה הרבה יותר.

טעות נפוצה: מחסרים במקום הנוסחה הנכונה בשחזור קצה

טעות: עבור M(3,5), A(1,2): $x_{B} = 3 - 1 = 2$

נכון: $x_{B} = 2 \cdot 3 - 1 = 5$

למה זה קורה?

מבלבלים בין מציאת אמצע למציאת קצה חסר.

איך מתקנים?

קצה חסר:

x_B = 2 \cdot x_M - x_A (

כפל ב-2 ואז חיסור), ולא

x_M - x_A

טעות נפוצה: טעות סימן בחיבור שיעורים שליליים

טעות: 3 + (-7) = 4, ולכן אמצע ה-y הוא 2

נכון: 3 + (-7) = -4, ולכן אמצע ה-y הוא -2

למה זה קורה?

מתעלמים מהסימן בעת חיבור לממוצע.

איך מתקנים?

כתבו במפורש:

3 + (-7) = -4

. ורק אז חלקו ב-2.

טעות נפוצה: כותבים את האמצע כמספר במקום כנקודה

אמצע (2,4) ו-(6,10) הוא הנקודה (4, 7) — שני שיעורים, לא ערך יחיד.

למה זה קורה?

מבלבלים בין אמצע (נקודה) למרחק (מספר).

איך מתקנים?

אמצע הוא זוג שיעורים (x, y) — נקודה במישור, לא מספר בודד.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

הנקודה $M(3, 5)$ היא אמצע הקטע AB, כאשר $A(1, 2)$ . מצאו את סכום שיעורי הנקודה B (כלומר $x_B + y_B)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

הנקודה $M(-1, 2)$ היא אמצע הקטע AB, כאשר $B(3, -4)$ . מצאו את שיעורי הנקודה A. כתבו את התשובה בצורה (x, y).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

אמצע קטע — ושחזור קצה חסר:

אמצע: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ — ממוצע השיעורים, נקודה.
שחזור קצה: B = 2M - A — שיקוף הקצה הידוע דרך האמצע.

טיפים:

אמצע = חיבור וחלוקה ב-2. אל תשכחו את החלוקה!
בשחזור קצה: קודם כפל ב-2, אחר כך חיסור.
שימו לב לסימנים בחיבור מספרים שליליים.
בדקו את התשובה: חשבו מחדש את האמצע מהקצוות שקיבלתם.

עכשיו יש לכם שני כלים — מרחק ואמצע — שיאפשרו לחקור צורות. בשיעור הבא נעבור לשיפוע ולמשוואת הישר.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת אמצע ושחזור קצה!

אמצע קטע

אמצע קטע

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אמצע קטע

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו A(2,4)A(2, 4)A(2,4) ו-B(6,10)B(6, 10)B(6,10)

דוגמה 2: אמצע עם שיעורים שליליים

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו A(−2,3)A(-2, 3)A(−2,3) ו-B(4,−7)B(4, -7)B(4,−7)

דוגמה 3: שחזור קצה חסר

M(3,5)M(3, 5)M(3,5) הוא אמצע הקטע AB, ו-A(1,2)A(1, 2)A(1,2). מצאו את B

בדיקה מהירה

דוגמה 4: שחזור קצה עם שיעורים שליליים

M(−1,2)M(-1, 2)M(−1,2) הוא אמצע הקטע AB, ו-B(3,−4)B(3, -4)B(3,−4). מצאו את A

דוגמה 5: אלכסוני מקבילית חוצים זה את זה

במקבילית A(0,0),B(6,2),C(8,8),D(2,6)A(0,0), B(6,2), C(8,8), D(2,6)A(0,0),B(6,2),C(8,8),D(2,6) מצאו את נקודת חיתוך האלכסונים

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-2 בחישוב אמצע

טעות נפוצה: מחסרים במקום הנוסחה הנכונה בשחזור קצה

טעות נפוצה: טעות סימן בחיבור שיעורים שליליים

טעות נפוצה: כותבים את האמצע כמספר במקום כנקודה

בדיקה מהירה

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו $A(2, 4)$ ו- $B(6, 10)$

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו $A(-2, 3)$ ו- $B(4, -7)$

$M(3, 5)$ הוא אמצע הקטע AB, ו- $A(1, 2)$ . מצאו את B

$M(-1, 2)$ הוא אמצע הקטע AB, ו- $B(3, -4)$ . מצאו את A

במקבילית $A(0,0), B(6,2), C(8,8), D(2,6)$ מצאו את נקודת חיתוך האלכסונים