הנגזרת: הגדרה וכללי גזירה

מבוא

עד עכשיו תיארנו פונקציות בעזרת ערכים וגרפים. עכשיו נשאל שאלה חדשה: כמה מהר הפונקציה משתנה בכל נקודה? בפונקציה קווית קצב השינוי קבוע — לכל צעד שווה ב-x מתקבל אותו שינוי ב-y. אבל ברוב הפונקציות הקצב משתנה מנקודה לנקודה, והכלי שמודד את הקצב הרגעי הזה נקרא הנגזרת. הנגזרת היא אבן היסוד של החשבון הדיפרנציאלי, והיא מה שיאפשר לנו בהמשך למצוא משיקים, נקודות קיצון ולחקור פונקציות.

מטרות השיעור

להבחין בין קצב שינוי אחיד (קווי) לקצב שינוי משתנה
להגדיר את הנגזרת בנקודה כגבול של מנת ההפרשים $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ ולפרש אותה כשיפוע המשיק
לגזור חזקה לפי הכלל $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$
ליישם את כללי הגזירה: סכום והפרש, כפל בקבוע, מכפלה ופונקציה מורכבת (שני שלבים)

הרעיון המרכזי

קצב שינוי ממוצע מול קצב שינוי רגעי

קצב שינוי ממוצע בין שתי נקודות הוא שיפוע המיתר המחבר אותן: $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$

קצב שינוי רגעי בנקודה הוא הגבול של קצב השינוי הממוצע כאשר הנקודות מתקרבות זו לזו — זוהי הנגזרת: $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

מבחינה גאומטרית, הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לגרף בנקודה זו.

כללי הגזירה

נגזרת החזקה: $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$ (עבור k טבעי), נגזרת קבוע (c)' = 0, ונגזרת (x)' = 1.
כפל בקבוע: $[c \cdot f (x)]^{'} = c \cdot f^{'} (x)$
סכום והפרש: $[f (x) \pm g (x)]^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$
מכפלה: $[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$
פונקציה מורכבת (שני שלבים): $[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת לפי ההגדרה

חשבו לפי ההגדרה את $f′(2)$ עבור $f(x) = x^{2} + 1$

f^{'} (2) = lim_{h \to 0} \frac{( 2 + h ) ^{2} + 1 - 5}{h} = lim_{h \to 0} (4 + h) = 4

שלב 1 — כותבים את מנת ההפרשים

f′(2) = lim(h→0) [f(2+h) - f(2)] / h

דוגמה 2: נגזרת החזקה וסכום/הפרש

גזרו: $f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 4x - 7$

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 4

שלב 1 — גוזרים $x^{3}$

(x^{3})′ = 3x^{2}

דוגמה 3: כלל המכפלה

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 1)(x - 3)$

[uv]^{'} = u^{'} v + u v^{'} = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) = 3 x^{2} - 6 x + 1

שלב 1 — מסמנים

u = x^{2} + 1, v = x - 3

דוגמה 4: כלל הפונקציה המורכבת

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 3)^{5}$

[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) = 5 (x^{2} + 3)^{4} \cdot 2 x = 10 x (x^{2} + 3)^{4}

שלב 1 — מזהים פונקציה חיצונית ופנימית

חיצונית:

u^{5}

, פנימית:

u = x^{2} + 3

בדיקה מהירה

לאיזו מהפונקציות הבאות יש קצב שינוי אחיד (קבוע)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{3}$ . חשבו את $f′(2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הנגזרת של $f(x) = 5x^{3}$ היא $f′(x) = 15x^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שילוב מכפלה ופונקציה מורכבת

גזרו: $f(x) = x^{2}(x - 1)^{3}$

f^{'} (x) = x (x - 1)^{2} (5 x - 2)

שלב 1 — כלל המכפלה

u = x^{2} (u′ = 2x), v = (x - 1)^{3}

בדיקה מהירה

גזרו את $f(x) = x^{2}(x - 1)^{3} ($ שילוב של כלל המכפלה וכלל הפונקציה המורכבת) וכתבו את f′(x) בצורה מפורקת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: נגזרת של מכפלה כמכפלת הנגזרות

טעות: $[(x^{2} + 1) (x - 3)]^{'} = 2 x \cdot 1 = 2 x$

נכון: $[(x^{2} + 1) (x - 3)]^{'} = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) = 3 x^{2} - 6 x + 1$

למה זה קורה?

תלמידים מניחים ש-

[f \cdot g]′ = f′ \cdot g′

בדומה לכלל הסכום.

איך מתקנים?

כלל המכפלה הוא

[f \cdot g]′ = f′ \cdot g + f \cdot g′

— שני איברים, לא אחד.

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית בפונקציה מורכבת

טעות: $[(x^{2} + 3)^{5}]^{'} = 5 (x^{2} + 3)^{4}$

נכון: $[(x^{2} + 3)^{5}]^{'} = 5 (x^{2} + 3)^{4} \cdot 2 x = 10 x (x^{2} + 3)^{4}$

למה זה קורה?

גוזרים רק את החזקה החיצונית ומתעלמים מהביטוי שבפנים.

איך מתקנים?

אחרי גזירת החיצונית חובה להכפיל בנגזרת הפנימית:

[f(g(x))]′ = f′(g(x)) \cdot g′(x)

טעות נפוצה: בלבול בין קצב שינוי ממוצע לרגעי

שיפוע מיתר: $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ (בין שתי נקודות)

נגזרת: $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ (בנקודה אחת)

למה זה קורה?

מחשבים שיפוע מיתר בין שתי נקודות וקוראים לו 'הנגזרת בנקודה'.

איך מתקנים?

קצב ממוצע = שיפוע מיתר. נגזרת = הגבול של הקצב הממוצע כאשר

h→0 =

שיפוע המשיק בנקודה אחת.

טעות נפוצה: טעויות בנגזרת החזקה ובנגזרת קבוע

טעות: $(x^{3})^{'} = x^{2}$ או (7)' = 7

נכון: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ וגם (7)' = 0

למה זה קורה?

מורידים את המעריך בלי להכפיל בו, או חושבים שנגזרת קבוע אינה 0.

איך מתקנים?

(x^{k})′ = k \cdot x^{k-1}

— המעריך הופך למקדם. נגזרת קבוע היא תמיד 0, ונגזרת x היא 1.

בדיקה מהירה

גזרו בעזרת כלל המכפלה: $f(x) = (x^{2} + 1)(x - 3)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

גזרו בעזרת כלל הפונקציה המורכבת: $f(x) = (x^{2} + 3)^{5}$ . כתבו את f′(x).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

הגדרת הנגזרת: $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ — שיפוע המשיק בנקודה.

כללי הגזירה:

חזקה: $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$ , ובנוסף (c)' = 0 ו-(x)' = 1
כפל בקבוע: [c f]' = c f'
סכום והפרש: $[f \pm g]^{'} = f^{'} \pm g^{'}$
מכפלה: [fg]' = f'g + fg'
פונקציה מורכבת: $[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

טיפים:

בקצב שינוי — הבחינו בין ממוצע (מיתר) לרגעי (משיק).
בכלל המכפלה — שני איברים.
בפונקציה מורכבת — אל תשכחו את הנגזרת הפנימית.

כל הכבוד! עכשיו יש לכם את כל כללי הגזירה הדרושים לחקירת פונקציות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגדרת הנגזרת וכללי הגזירה!

הנגזרת: הגדרה וכללי גזירה

הנגזרת: הגדרה וכללי גזירה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת לפי ההגדרה

חשבו לפי ההגדרה את f′(2)f′(2)f′(2) עבור f(x)=x2+1f(x) = x^{2} + 1f(x)=x2+1

דוגמה 2: נגזרת החזקה וסכום/הפרש

גזרו: f(x)=x3−2x2+4x−7f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 4x - 7f(x)=x3−2x2+4x−7

דוגמה 3: כלל המכפלה

גזרו: f(x)=(x2+1)(x−3)f(x) = (x^{2} + 1)(x - 3)f(x)=(x2+1)(x−3)

דוגמה 4: כלל הפונקציה המורכבת

גזרו: f(x)=(x2+3)5f(x) = (x^{2} + 3)^{5}f(x)=(x2+3)5

בדיקה מהירה

דוגמה 5: שילוב מכפלה ופונקציה מורכבת

גזרו: f(x)=x2(x−1)3f(x) = x^{2}(x - 1)^{3}f(x)=x2(x−1)3

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: נגזרת של מכפלה כמכפלת הנגזרות

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית בפונקציה מורכבת

טעות נפוצה: בלבול בין קצב שינוי ממוצע לרגעי

טעות נפוצה: טעויות בנגזרת החזקה ובנגזרת קבוע

סיכום

תרגול נוסף

חשבו לפי ההגדרה את $f′(2)$ עבור $f(x) = x^{2} + 1$

גזרו: $f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 4x - 7$

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 1)(x - 3)$

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 3)^{5}$

גזרו: $f(x) = x^{2}(x - 1)^{3}$