ל

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

30%
📖שיעור
50 דקות

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

בשיעור זה נלמד לקשר בין גרף פונקציה לגרף הנגזרת שלה: סימן הנגזרת קובע עלייה וירידה, אפסי הנגזרת הם נקודות הקיצון, ושינוי הסימן של הנגזרת קובע אם הקיצון מקסימום או מינימום.

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

מבוא

עד עכשיו השתמשנו בנגזרת כדי לחשב שיפועים ולמצוא נקודות קיצון. בשיעור זה נסתכל על הנגזרת מזווית גרפית: לכל פונקציה f יש גרף נגזרת f' משלה, ושני הגרפים מספרים את אותו הסיפור בשתי שפות. כשנדע לתרגם בין השפות — בין מה שקורה לגרף f לבין מה שקורה לגרף f' — נוכל לקרוא תכונות של הפונקציה ישירות מתוך גרף הנגזרת ולהפך.

מטרות השיעור

  • להבין שסימן הנגזרת קובע עלייה וירידה של הפונקציה
  • לזהות שאפסי הנגזרת (חיתוך גרף f' עם ציר ה-x) הם נקודות הקיצון של f
  • לקבוע את סוג הקיצון לפי שינוי הסימן של f'
  • לקרוא תחומי עלייה/ירידה ונקודות קיצון מתוך גרף הנגזרת

הרעיון המרכזי

מילון התרגום בין f ל-f′

  • f'(x) > 0 (גרף f' מעל הציר) ⇐ f עולה
  • f'(x) < 0 (גרף f' מתחת לציר) ⇐ f יורדת
  • f'(x) = 0 (גרף f' חוצה/נוגע בציר) ⇐ נקודת קיצון או משיק אופקי של f
  • f' עוברת מ-+ ל-− ⇐ f במקסימום
  • f' עוברת מ-− ל-+ ⇐ f במינימום

אזהרה: אל תבלבלו בין הגרפים

חיתוך של גרף f' עם ציר ה-x הוא נקודת קיצון של f — לא נקודת חיתוך של f עם הציר. וכן: כשגרף f' יורד זה לא אומר ש-f יורדת; הירידה של f נקבעת רק מכך ש-f' שלילית (מתחת לציר).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סימן הנגזרת ⟵ עלייה/ירידה

נתון f′(x)=2x−4f′(x) = 2x - 4. קבעו היכן f עולה והיכן יורדת

f'(x) = 2x - 4: ירידה ל-x < 2, עלייה ל-x > 2.

1

שלב 1 — מתי הנגזרת חיובית

2x−4>0⇐x>2⇐f2x - 4 > 0 ⇐ x > 2 ⇐ f עולה

דוגמה 2: אפסי הנגזרת ⟵ נקודות קיצון

נתון f′(x)=3x2−12f′(x) = 3x^{2} - 12. כמה נקודות קיצון יש ל-f?

f'(x) = 3(x-2)(x+2) ⇐ שתי נקודות קיצון.

1

שלב 1 — משווים לאפס

3x2−12=0⇐x2=4⇐x=±23x^{2} - 12 = 0 ⇐ x^{2} = 4 ⇐ x = \pm 2

דוגמה 3: סוג הקיצון לפי שינוי סימן

גרף f′ עובר ב-x=3x = 3 משלילי לחיובי. איזה קיצון יש ל-f שם?

מעבר בנגזרת ⇐ מינימום ב-f.

1

שלב 1 — משמאל ל-3

f′<0⇐ff′ < 0 ⇐ f יורדת

דוגמה 4: קריאת מקסימום מתיאור הנגזרת

ידוע: f′(x)>0f′(x) > 0 ל-x<1,f′(1)=0,f′(x)<0x < 1, f′(1) = 0, f′(x) < 0 ל-x>1x > 1. מה ל-f ב-x=1x = 1?

מעבר בנגזרת ⇐ מקסימום ב-f.

1

שלב 1 — משמאל ל-1

f′>0⇐ff′ > 0 ⇐ f עולה

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

בתחום שבו הפונקציה f עולה, מה סימן הנגזרת f′ בתחום זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בנקודת קיצון (מקסימום או מינימום) של הפונקציה f, הנגזרת f′ מתאפסת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתון שהנגזרת של פונקציה היא f′(x)=2x−4f′(x) = 2x - 4. באיזה תחום הפונקציה f עולה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שיטה לקריאת f מתוך גרף f′

כיצד קוראים את התנהגות f מתוך גרף הנגזרת f′?

גרף f' נותן את כל המידע על העלייה, הירידה והקיצון של f.

1

שלב 1 — אפסי הנגזרת

מאתרים היכן גרף f′ חוצה את ציר ה-x — אלו המועמדות לקיצון של f

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

גרף הנגזרת f′ חוצה את ציר ה-x בנקודה x=3x = 3, ועובר שם מערכים שליליים (משמאל) לערכים חיוביים (מימין). איזה סוג נקודת קיצון יש לפונקציה f ב-x=3x = 3?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

על פונקציה f ידוע: f′(x)>0f′(x) > 0 עבור x<1x < 1, מתקיים f′(1)=0f′(1) = 0, ו-f′(x)<0f′(x) < 0 עבור x>1x > 1. מה ניתן להסיק על f?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין 'f מעל הציר' ל'f עולה'

פונקציה יכולה להיות שלילית (מתחת לציר) ובכל זאת לעלות, אם f'(x) > 0.

למה זה קורה?

מזהים נגזרת חיובית עם פונקציה חיובית במקום עם פונקציה עולה.

איך מתקנים?

f′>0f′ > 0 פירושו ש-f עולה — ולא ש-f נמצאת מעל ציר ה-x. הסימן של f′ נוגע לכיוון, לא למיקום.

טעות נפוצה: חיתוך גרף f′ עם הציר נחשב כחיתוך של f

f'(a) = 0 ⇐ קיצון של f ב-x = a, לא f(a) = 0.

למה זה קורה?

מבלבלים בין שני הגרפים.

איך מתקנים?

כאשר גרף f′ חוצה את ציר ה-x מתקבל f′=0f′ = 0 — זו נקודת קיצון של f (משיק אופקי), ולא חיתוך של f עם הציר.

טעות נפוצה: קביעת סוג הקיצון לפי ערך הנגזרת בנקודה

ב-x = a תמיד f'(a) = 0 — לכן בודקים את הסימן משני הצדדים, לא את הערך עצמו.

למה זה קורה?

מנסים להסיק מקסימום/מינימום מהערך f′(a), שהוא תמיד 0 בקיצון.

איך מתקנים?

סוג הקיצון נקבע משינוי הסימן של f′ סביב הנקודה: +→− מקסימום, −→+ מינימום.

טעות נפוצה: ירידה של גרף f′ נחשבת כירידה של f

גם כאשר גרף f' יורד, כל עוד f' > 0 הפונקציה f ממשיכה לעלות.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'הנגזרת קטֵנה' ל'הפונקציה יורדת'.

איך מתקנים?

הירידה של f נקבעת מכך ש-f′ שלילית (מתחת לציר), ולא מכך שגרף f′ עצמו יורד.

סיכום

מה למדנו?

מילון התרגום בין הפונקציה לנגזרת:

גרף הנגזרת f'גרף הפונקציה f
f' > 0 (מעל הציר)f עולה
f' < 0 (מתחת לציר)f יורדת
f' = 0 (חוצה את הציר)קיצון של f
f' מ+ ל−מקסימום של f
f' מ− ל+מינימום של f

זכרו:

  • סימן f' ⟵ כיוון (עלייה/ירידה), לא מיקום.
  • אפס של f' ⟵ קיצון של f, לא חיתוך עם הציר.
  • סוג הקיצון נקבע משינוי הסימן של f'.

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לעבור בחופשיות בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת!

חזרה ליחידה: חשבון דיפרנציאלי של פונקציות פולינומיאליות
תרגול