שיפוע ומשוואת המשיק

מבוא

אחד השימושים החשובים והשימושיים ביותר של הנגזרת הוא מציאת משיק לגרף של פונקציה. ראינו שהמשמעות הגאומטרית של הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק שם. בשיעור זה נהפוך את הרעיון הזה לכלי מעשי: בהינתן פונקציה ונקודה שעל הגרף, נמצא את שיפוע המשיק ואת משוואתו המלאה. המשיק הוא הקו הישר ש"נוגע" בגרף בנקודה אחת ומתלכד עם כיוון הגרף שם.

מטרות השיעור

להבין ששיפוע המשיק בנקודה שווה לערך הנגזרת שם: m = f'(a)
למצוא את שיעור ה-y של נקודת ההשקה: f(a)
לכתוב את משוואת המשיק לפי הנוסחה y - f(a) = f'(a)(x - a)
לפתור בעיות שבהן נתון השיפוע ומחפשים את נקודת ההשקה (למשל משיק אופקי)

הרעיון המרכזי

נוסחת המשיק

המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה שבה x = a מתואר על ידי:

שיפוע: m = f'(a)

נקודת השקה: (a,\ f(a))

משוואת המשיק: y - f(a) = f'(a)(x - a)

שלושת השלבים תמיד: (1) חשבו f(a), (2) חשבו f'(a), (3) הציבו בנוסחה.

מקרים מיוחדים

משיק אופקי: מתקבל כאשר f'(a) = 0 — המשיק מקביל לציר ה-x. נקודות אלו הן בדיוק הנקודות החשודות לקיצון.
שימו לב: השיפוע הוא המספר f'(a) (הנגזרת בנקודה), ולא הביטוי f'(x).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע המשיק

מצאו את שיפוע המשיק לגרף $f(x) = x^{2}$ בנקודה שבה $x = 3$

m = f'(3) = 6

שלב 1 — גוזרים

f′(x) = 2x

דוגמה 2: משוואת המשיק המלאה

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = x^{2}$ בנקודה שבה $x = 1$

שלב 1 — שיעור ה-y של ההשקה

f(1) = 1

, הנקודה

(1, 1)

דוגמה 3: משיק לפונקציה ממעלה שלישית

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = x^{3}$ בנקודה שבה $x = 2$

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(2) = 8

, הנקודה

(2, 8)

דוגמה 4: משיק אופקי

באילו נקודות המשיק לגרף $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$ אופקי?

f^{'} (x) = 3 x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2

שלב 1 — משיק אופקי ⇐ שיפוע 0

מחפשים היכן

f′(x) = 0

בדיקה מהירה

דוגמה 5: משיק בנקודה עם שיעור x שלילי

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = x^{3} - 2x + 1$ בנקודה שבה $x = -1$

y = x + 3

שימו לב: x - a = x - (-1) = x + 1.

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(-1) = -1 + 2 + 1 = 2

, הנקודה

(-1, 2)

בדיקה מהירה

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = x^{2}$ בנקודה שבה $x = 1$ .