נגזרת של פונקציית השורש

מבוא

עד עכשיו גזרנו פונקציות פולינומיאליות. כעת נרחיב את ארגז הכלים שלנו לפונקציית השורש הריבועי. נגזרת של פונקציית שורש מבוססת על שני רעיונות שכבר פגשנו: גזירת פונקציה מורכבת (כלל השרשרת) וגזירת מכפלה. לפני שגוזרים, נשים לב תמיד לתחום ההגדרה — לשורש יש משמעות רק כאשר הביטוי שמתחתיו אינו שלילי.

מטרות השיעור

למצוא את תחום ההגדרה של פונקציה מהצורה $y = f (x)$ (כאשר f פולינום ממעלה שנייה לכל היותר)
לגזור פונקציות שורש בעזרת הנוסחה $(f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$
לגזור סכומים והפרשים של שורש ופולינום, ומכפלה $g (x) \cdot f (x)$
להשתמש בנגזרת למציאת שיפוע משיק ומשוואת משיק לגרף הפונקציה

תחום ההגדרה של פונקציית שורש

מתי פונקציית שורש מוגדרת?

פונקציה מהצורה $y = f (x)$ מוגדרת רק כאשר הביטוי שמתחת לשורש אינו שלילי: $f (x) \geq 0$

כאשר f פולינום ממעלה שנייה לכל היותר, מוצאים את התחום על ידי פתרון אי-שוויון:

פולינום ממעלה ראשונה (כמו 2x+6): פתרון אי-שוויון לינארי.
פולינום ממעלה שנייה (כמו $x^{2} - 4$ ): מוצאים את נקודות האפס ובודקים את סימן הפרבולה.

תחום ההגדרה של הנגזרת

הנגזרת היא $y^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$ . המכנה מכיל את $f (x)$ , ולכן הוא מתאפס בדיוק כאשר f(x)=0. בנקודות אלה הנגזרת אינה מוגדרת (המשיק אנכי). לכן תחום ההגדרה של הנגזרת דורש אי-שוויון חזק: f(x) > 0

זה ההבדל המהותי: הפונקציה כוללת את נקודות הקצה (f(x)=0), אך הנגזרת לא.

הרעיון המרכזי: נוסחת הנגזרת

נגזרת של שורש — כלל השרשרת

פונקציית שורש היא פונקציה מורכבת: השורש הוא הפונקציה החיצונית ו-f(x) הפנימית. $(f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$

במילים: גוזרים את השורש (מקבלים $\frac{1}{2}$ ) ומכפילים בנגזרת הפנימית f'(x). את הנגזרת הפנימית אסור לשכוח!

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של פונקציה מהצורה $y = √f(x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת בסיסית של שורש

גזרו: $y = \sqrt{3x - 1}$

y^{'} = \frac{3}{2 3 x - 1}

שלב 1 — מזהים את f

הביטוי שמתחת לשורש:

f(x) = 3x - 1

בדיקה מהירה

גזרו את הפונקציה $y = \sqrt{2x + 6}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שורש של פולינום ממעלה שנייה

גזרו: $y = \sqrt{x^{2} + 9}$

y^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 9}

שלב 1 — מזהים את f

f(x) = x^{2} + 9, f'(x) = 2x

דוגמה 3: סכום של שורש ופולינום

גזרו: $y = x^{2} + \sqrt{2x + 1}$

y^{'} = 2 x + \frac{1}{2 x + 1}

שלב 1 — גוזרים איבר-איבר

נגזרת של

x^{2}

היא 2x

דוגמה 4: מכפלה של פולינום בשורש (כלל המכפלה)

גזרו: $y = x \cdot \sqrt{x + 1}$

y^{'} = \frac{3 x + 2}{2 x + 1}

שלב 1 — מזהים g ו-f

g(x) = x, f(x) = x + 1

דוגמה 5: שיפוע משיק ומשוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק ל- $y = \sqrt{2x + 1}$ בנקודה $x = 4$

y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}

שלב 1 — נקודת ההשקה

y = \sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{9} = 3

, הנקודה

(4, 3)

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $y = \sqrt{2x + 1}$ . מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x = 4$ ?

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה $y = \sqrt{2x + 1}$ בנקודה שבה $x = 4$ . כתבו בצורה $y = mx + b$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית f'(x)

טעות: $(2 x + 6)^{'} = \frac{1}{2 2 x + 6}$

נכון: $(2 x + 6)^{'} = \frac{2}{2 2 x + 6} = \frac{1}{2 x + 6}$

למה זה קורה?

גוזרים את השורש כאילו הוא חזקה רגילה ועוצרים ב-

\frac{1}{2√f}

, בלי להכפיל בנגזרת הביטוי שמתחת לשורש.

איך מתקנים?

פונקציית שורש היא פונקציה מורכבת. תמיד הכפילו בנגזרת הפנימית:

(√f)' = f'/(2√f)

טעות נפוצה: כוללים את קצה התחום בתחום הנגזרת

עבור $y = x - 3$ : התחום הוא $x \geq 3$ , אך הנגזרת $y^{'} = \frac{1}{2 x - 3}$ מוגדרת רק עבור x > 3.

למה זה קורה?

מניחים שאם הפונקציה מוגדרת בנקודה, גם הנגזרת מוגדרת בה.

איך מתקנים?

בנקודה שבה

f(x)=0

המכנה

2√f(x)

מתאפס. תחום הפונקציה דורש

f(x) \ge 0

, אך תחום הנגזרת דורש

f(x) > 0

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה כמכפלת הנגזרות

טעות: $(x x + 1)^{'} = 1 \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

נכון: $(x x + 1)^{'} = x + 1 + \frac{x}{2 x + 1}$

למה זה קורה?

שוכחים את כלל המכפלה וגוזרים כל גורם בנפרד ומכפילים.

איך מתקנים?

(g \cdot √f)' = g' \cdot √f + g \cdot f'/(2√f)

. שני איברים, לא מכפלה אחת!

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקדם הביטוי הפנימי לנגזרתו

עבור $y = 4 x + 1$ : f' = 4, ולכן $y^{'} = \frac{4}{2 4 x + 1} = \frac{2}{4 x + 1}$ , לא $\frac{1}{2 4 x + 1}$ .

למה זה קורה?

ב-

\sqrt{ax+b}

חושבים שהנגזרת היא

\frac{1}{2\sqrt{ax+b}}

ושוכחים את המקדם a.

איך מתקנים?

הנגזרת הפנימית של

ax+b

היא a, ולכן

(\sqrt{ax+b})' = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}

סיכום

מה למדנו?

נוסחת הנגזרת: $(f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$

תחום ההגדרה:

הפונקציה: $f (x) \geq 0$
הנגזרת: f(x) > 0 (אי-שוויון חזק!)

כלל המכפלה: $(g f)^{'} = g^{'} f + \frac{g f ^{'}}{2 f}$

משיק: השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודה; את המשוואה כותבים לפי $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ .

טיפים:

אל תשכחו את הנגזרת הפנימית!
בדקו את תחום ההגדרה לפני הגזירה.
במכפלה — תמיד כלל המכפלה.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לגזור פונקציות שורש.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על גזירת פונקציות שורש ומציאת משיקים!

נגזרת של פונקציית השורש

נגזרת של פונקציית השורש

מבוא

תחום ההגדרה של פונקציית שורש

הרעיון המרכזי: נוסחת הנגזרת

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת בסיסית של שורש

גזרו: y=3x−1y = \sqrt{3x - 1}y=3x−1​

דוגמה 2: שורש של פולינום ממעלה שנייה

גזרו: y=x2+9y = \sqrt{x^{2} + 9}y=x2+9​

דוגמה 3: סכום של שורש ופולינום

גזרו: y=x2+2x+1y = x^{2} + \sqrt{2x + 1}y=x2+2x+1​

דוגמה 4: מכפלה של פולינום בשורש (כלל המכפלה)

גזרו: y=x⋅x+1y = x \cdot \sqrt{x + 1}y=x⋅x+1​

דוגמה 5: שיפוע משיק ומשוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק ל-y=2x+1y = \sqrt{2x + 1}y=2x+1​ בנקודה x=4x = 4x=4

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית f'(x)

טעות נפוצה: כוללים את קצה התחום בתחום הנגזרת

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה כמכפלת הנגזרות

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקדם הביטוי הפנימי לנגזרתו

סיכום

תרגול נוסף

גזרו: $y = \sqrt{3x - 1}$

גזרו: $y = \sqrt{x^{2} + 9}$

גזרו: $y = x^{2} + \sqrt{2x + 1}$

גזרו: $y = x \cdot \sqrt{x + 1}$

מצאו את משוואת המשיק ל- $y = \sqrt{2x + 1}$ בנקודה $x = 4$