חקירת פונקציית השורש

מבוא

חקירת פונקציה היא תהליך מסודר שבסופו אנחנו מבינים את צורת הגרף שלה. למדנו כבר לגזור פונקציות שורש; כעת נשתמש בנגזרת ככלי לחקירה. בפונקציית שורש יש דגש מיוחד: תחום ההגדרה מוגבל, ולעיתים קרובות נקודת הקיצון המוחלטת מתקבלת דווקא בקצה התחום — שם הנגזרת אפילו לא מוגדרת.

מטרות השיעור

למצוא תחום הגדרה של פונקציית שורש (פתרון אי-שוויון)
לבדוק זוגיות / אי-זוגיות באופן אלגברי וגרפי
למצוא נקודות חיתוך עם הצירים
לקבוע תחומי עלייה וירידה לפי סימן הנגזרת
למצוא נקודות קיצון: מקומי, מוחלט, וקיצון בקצה התחום
לשרטט סקיצה ולקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

שלבי החקירה

סדר החקירה של פונקציית שורש

תחום הגדרה — פתרו $f (x) \geq 0$ (הביטוי שמתחת לשורש).
זוגיות — בדקו אם f(-x)=f(x) (זוגית) או f(-x)=-f(x) (אי-זוגית). שורש אף פעם אינו שלילי, ולכן פונקציית שורש "טהורה" אינה אי-זוגית.
חיתוך עם הצירים — עם ציר y: הציבו x=0. עם ציר x: פתרו f(x)=0, כלומר היכן הביטוי שמתחת לשורש מתאפס.
עלייה / ירידה — לפי סימן הנגזרת f'(x) (לא לפי סימן f!).
נקודות קיצון — היכן f'(x)=0 ומשנה סימן, וגם בקצות תחום ההגדרה.
סקיצה — מצרפים את כל המידע.

קיצון בקצה התחום — הדגש המרכזי

בפונקציית שורש, נקודות שבהן f(x)=0 הן קצה תחום ההגדרה. שם הנגזרת אינה מוגדרת (המשיק אנכי), אך הנקודה עדיין יכולה להיות מינימום מוחלט (כי $\geq 0$ תמיד). חובה לבדוק את קצות התחום בנפרד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חקירה מלאה — שורש של פרבולה חיובית

חקרו: $f(x) = \sqrt{x^{2} - x + 5}$

f^{'} (x) = \frac{2 x - 1}{2 x ^{2} - x + 5}, מינימום ב- x = \frac{1}{2}

שלב 1 — תחום הגדרה

x^{2} - x + 5 \ge 0

. הדיסקרימיננטה

(-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19 < 0

, והמקדם המוביל חיובי, ולכן הביטוי חיובי לכל x. התחום: כל הממשיים.

בדיקה מהירה

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{x^{2} - x + 5} ($ תחום ההגדרה: כל הממשיים). מהי נקודת הקיצון של הפונקציה וסוגה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{x^{2} - 6x + 13}$ . מהו ערך המינימום של הפונקציה (הערך הקטן ביותר ש-f מקבלת)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: קיצון בקצה התחום

חקרו: $f(x) = \sqrt{x - 2}$

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x - 2} > 0, מינימום בקצה (2, 0)

שלב 1 — תחום הגדרה

x - 2 \ge 0 ⇐ x \ge 2

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x) = \sqrt{x - 2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: פונקציה זוגית עם מקסימום — חצי מעגל

חקרו: $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

f^{'} (x) = \frac{- x}{4 - x ^{2}}, מקסימום ב- (0, 2)

שלב 1 — תחום הגדרה

4 - x^{2} \ge 0 ⇐ x^{2} \le 4 ⇐ -2 \le x \le 2

דוגמה 4: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

מה ניתן ללמוד על f' מתוך גרף $f = \sqrt{4 - x^{2}}$ ?

f ↗ \Rightarrow f^{'} > 0, f ↘ \Rightarrow f^{'} < 0, קיצון \Rightarrow f^{'} = 0

שלב 1 — תחומי עלייה/ירידה

f עולה ב-

(-2, 0) ⇒

שם

f' > 0 (

גרף הנגזרת מעל ציר x). f יורדת ב-

(0, 2) ⇒

שם

f' < 0 (

מתחת לציר x).

בדיקה מהירה

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ שתחום הגדרתה $-2 \le x \le 2 ($ חצי מעגל עליון). איזה תיאור מתאים לגרף הנגזרת f'(x) בתוך התחום הפתוח $(-2, 2)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתעלמים מקצה התחום בחיפוש קיצון

עבור $f (x) = x - 2$ אין פתרון ל-f'(x)=0, אך יש מינימום מוחלט בקצה (2, 0).

למה זה קורה?

מחפשים קיצון רק על ידי פתרון

f'(x)=0

ושוכחים לבדוק את קצות תחום ההגדרה.

איך מתקנים?

בפונקציית שורש, הקיצון המוחלט מתקבל לעיתים קרובות בקצה התחום (היכן ש-

f(x)=0)

, שם הנגזרת כלל אינה מוגדרת.

טעות נפוצה: קובעים עלייה/ירידה לפי סימן f במקום f'

$f (x) = 4 - x^{2}$ חיובית בכל התחום הפתוח, אך יורדת ב-(0,2) כי שם f'(x) < 0.

למה זה קורה?

מבלבלים בין חיוביות הפונקציה לבין מגמת השינוי שלה.

איך מתקנים?

תחום עלייה נקבע על ידי

f'(x) > 0

, ותחום ירידה על ידי

f'(x) < 0

— לא לפי הסימן של f עצמה.

טעות נפוצה: מצפים שגרף f וגרף f' יחתכו את ציר x באותן נקודות

ב- $f (x) = 4 - x^{2}$ : f חותכת את ציר x ב- $x = \pm 2$ , אך f' מתאפסת ב-x=0 (נקודת המקסימום).

למה זה קורה?

מבלבלים בין אפסי הפונקציה לאפסי הנגזרת.

איך מתקנים?

גרף הנגזרת חותך את ציר

x (f'=0)

בנקודות הקיצון של f, ולא בנקודות החיתוך של f עם הציר.

טעות נפוצה: חושבים שפונקציית שורש יכולה להיות אי-זוגית

$4 - x^{2}$ זוגית, אבל $x^{2} - x + 5$ אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

למה זה קורה?

מניחים שזוגיות תלויה רק בביטוי שמתחת לשורש.

איך מתקנים?

שורש ריבועי אף פעם אינו שלילי, ולכן

f(x)=\sqrt{...}

לעולם לא תקיים

f(-x)=-f(x)

. היא יכולה להיות זוגית (אם הביטוי תלוי ב-

x^{2}

בלבד) או לא זוגית ולא אי-זוגית.

סיכום

מה למדנו?

שלבי חקירת פונקציית שורש:

תחום: $f (x) \geq 0$
זוגיות: בדקו f(-x) (שורש לעולם לא אי-זוגי)
חיתוכים: ציר y — הציבו x=0; ציר x — היכן f(x)=0
עלייה/ירידה: לפי סימן f'
קיצון: היכן f'=0 וגם בקצות התחום
סקיצה וקשר ל-גרף הנגזרת

זכרו:

הקיצון המוחלט עשוי להיות בקצה התחום.
עלייה/ירידה נקבעות לפי f', לא לפי f.
גרף f' מתאפס בנקודות הקיצון של f.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לחקור פונקציית שורש מלאה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חקירת פונקציות שורש והקשר לגרף הנגזרת!

חקירת פונקציית השורש

חקירת פונקציית השורש

מבוא

שלבי החקירה

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חקירה מלאה — שורש של פרבולה חיובית

חקרו: f(x)=x2−x+5f(x) = \sqrt{x^{2} - x + 5}f(x)=x2−x+5​

דוגמה 2: קיצון בקצה התחום

חקרו: f(x)=x−2f(x) = \sqrt{x - 2}f(x)=x−2​

דוגמה 3: פונקציה זוגית עם מקסימום — חצי מעגל

חקרו: f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}f(x)=4−x2​

דוגמה 4: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

מה ניתן ללמוד על f' מתוך גרף f=4−x2f = \sqrt{4 - x^{2}}f=4−x2​?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתעלמים מקצה התחום בחיפוש קיצון

טעות נפוצה: קובעים עלייה/ירידה לפי סימן f במקום f'

טעות נפוצה: מצפים שגרף f וגרף f' יחתכו את ציר x באותן נקודות

טעות נפוצה: חושבים שפונקציית שורש יכולה להיות אי-זוגית

סיכום

תרגול נוסף

חקרו: $f(x) = \sqrt{x^{2} - x + 5}$

חקרו: $f(x) = \sqrt{x - 2}$

חקרו: $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

מה ניתן ללמוד על f' מתוך גרף $f = \sqrt{4 - x^{2}}$ ?