עשירונים ורבעונים

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהם רבעונים ( $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ ) ועשירונים ( $D_{1}, \dots, D_{9}$ )
להכיר את חשיבותם של מקרים מיוחדים: הרבעון העליון והעשירון העליון
לחשב כל רבעון ועשירון עבור משתנה כמותי בדיד הנתון ברשימה ממוינת
להבין שהחציון הוא בדיוק $Q_{2} = D_{5}$

הרעיון המרכזי

מה הם רבעונים ועשירונים

רבעונים מחלקים את הנתונים הממוינים לארבעה חלקים שווים:

$Q_{1}$ (הרבעון התחתון): 25% מהנתונים מתחתיו.
$Q_{2}$ : 50% מתחתיו — זהו בדיוק החציון.
$Q_{3}$ (הרבעון העליון): 75% מתחתיו (ו-25% מעליו).

עשירונים מחלקים לעשרה חלקים שווים: $D_{1}$ (10% מתחתיו) עד $D_{9}$ (90% מתחתיו). העשירון העליון $D_{9}$ מפריד בין 90% התחתונים ל-10% העליונים.

קשרים שימושיים: $Q_{2} = D_{5} = חציון$ .

שיטת החישוב (משתנה כמותי בדיד)

ממיינים את הנתונים בסדר עולה ומחשבים את המיקום:

רבעון $Q_{k}$ : מיקום $p = \frac{k}{4} \cdot n$ .
עשירון $D_{k}$ : מיקום $p = \frac{k}{10} \cdot n$ .

אם p אינו שלם — מעגלים כלפי מעלה, והערך באותו מיקום הוא הרבעון/העשירון. אם p שלם — לוקחים את ממוצע הערכים במיקומים p ו-p+1 (בדיוק כמו בחציון).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הרבעון התחתון Q₁

ציוני 11 תלמידים, ממוינים: 50, 55, 60, 62, 68, 70, 75, 80, 84, 90, 96. חשבו את הרבעון התחתון $Q_{1}$ .

שימו לב: $Q_{1}$ הוא הערך (60), לא מספר המיקום (3).

שלב 1 — מיקום

p = (\frac{1}{4}) \cdot 11 = 2.75

דוגמה 2: הרבעון העליון Q₃

לאותם 11 ציונים, חשבו את הרבעון העליון $Q_{3}$ .

$Q_{3}$ מסמן את ה-25% העליונים — תלמיד עם ציון מעל 84 נמצא ברבע העליון של הכיתה.

שלב 1 — מיקום

p = (\frac{3}{4}) \cdot 11 = 8.25

דוגמה 3: העשירון העליון D₉

לאותם 11 ציונים, חשבו את העשירון העליון $D_{9}$ .

העשירון העליון חשוב במיוחד: הוא מאתר את 10% הגבוהים ביותר (למשל, מצטייני המבחן).

שלב 1 — מיקום

p = (\frac{9}{10}) \cdot 11 = 9.9

דוגמה 4: החציון הוא Q₂ והוא גם D₅

לאותם 11 ציונים, הראו ש- $Q_{2}$ שווה לחציון.

שלושת המדדים מתלכדים: כולם מחלקים את הנתונים לשני חצאים שווים.

שלב 1 — חציון

11 איברים → האמצעי הוא השישי: 70.

בדיקה מהירה

מהי משמעות הרבעון התחתון $Q_{1}$ בסדרת ציונים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הרבעון השני $Q_{2}$ שווה לחציון, והוא גם שווה לעשירון החמישי $D_{5}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

ציוני 11 תלמידים, ממוינים: 50, 55, 60, 62, 68, 70, 75, 80, 84, 90, 96. חשבו את הרבעון התחתון $Q_{1} ($ השתמשו במיקום $p=(\frac{1}{4}) \cdot n$ ובעיגול כלפי מעלה).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: רבעון מסדרה אחרת

15 ערכים ממוינים: 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 14. חשבו את הרבעון העליון $Q_{3}$ .

תמיד סופרים את המיקומים על הרשימה הממוינת.

שלב 1 — מיקום

p = (\frac{3}{4}) \cdot 15 = 11.25

דוגמה 6: פירוש העשירון בהקשר מבחן

במבחן ארצי, ציונו של דני נמצא בעשירון התשיעי $(D_{9})$ . מה משמעות הדבר?

עשירונים ורבעונים מאפשרים למקם פרט בודד ביחס לכלל — שימושי מאוד בדירוג מבחנים ארציים.

שלב 1 — מה $D_{9}$ מפריד

D_{9}

מפריד בין 90% התחתונים ל-10% העליונים.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

לאותם 11 ציונים $(50, 55, 60, 62, 68, 70, 75, 80, 84, 90, 96)$ , חשבו את העשירון העליון $D_{9}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מספר הספרים שקראו 15 תלמידים בשנה, ממוין: 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 14. חשבו את הרבעון העליון $Q_{3}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במבחן ארצי שבו נבחנו 5000 תלמידים, ציונה של מאיה שווה בדיוק לעשירון העליון $D_{9}$ . בערך כמה תלמידים קיבלו ציון גבוה מציונה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים רבעון בלי למיין

תמיד מסדרים את הנתונים לפני חישוב Q₁, Q₃ או כל עשירון.

למה זה קורה?

לוקחים את הנתונים בסדר שבו הם ניתנו.

איך מתקנים?

כמו בחציון — קודם ממיינים בסדר עולה, ורק אז מחשבים את המיקום ולוקחים את הערך.

טעות נפוצה: בלבול בין הערך למיקום

אם המיקום הוא 3 והאיבר השלישי הוא 60, אז Q₁ = 60 — לא 3.

למה זה קורה?

מחשבים מיקום (למשל 3) ומדווחים אותו כתשובה.

איך מתקנים?

המיקום אומר רק היכן לחפש. הרבעון הוא הערך באותו מיקום.

טעות נפוצה: חושבים שהעשירון העליון הוא ה-10% התחתונים

ציון מעל העשירון העליון = בין 10% הציונים הגבוהים ביותר.

למה זה קורה?

המילה 'עליון' מבלבלת.

איך מתקנים?

D_{9}

מפריד בין 90% התחתונים ל-10% העליונים. ערך מעל

D_{9}

שייך ל-10% הגבוהים ביותר.

טעות נפוצה: שוכחים ש- $Q_{2} = D_{5} =$ חציון

$Q_{2} = D_{5} = חציון$ .

למה זה קורה?

מתייחסים לכל מדד בנפרד.

איך מתקנים?

הרבעון השני, העשירון החמישי והחציון הם בדיוק אותו ערך — כולם מחלקים את הנתונים לשני חצאים.

סיכום

מה למדנו?

רבעונים: $Q_{1}$ (25% מתחת), $Q_{2}$ = חציון (50%), $Q_{3}$ (75% מתחת / 25% מעל).

עשירונים: $D_{1}$ עד $D_{9}$ ; העשירון העליון $D_{9}$ מאתר את 10% הגבוהים.

חישוב (משתנה בדיד): ממיינים, מחשבים מיקום $p = \frac{k}{4} n$ (רבעון) או $\frac{k}{10} n$ (עשירון); p לא שלם → עיגול כלפי מעלה; p שלם → ממוצע שני המיקומים p, p+1.

קשר חשוב: $Q_{2} = D_{5} = חציון$ .

טיפ זהב: הרבעון/העשירון הוא הערך במיקום, לא מספר המיקום!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב רבעונים ועשירונים!

עשירונים ורבעונים

עשירונים ורבעונים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הרבעון התחתון Q₁

ציוני 11 תלמידים, ממוינים: 50, 55, 60, 62, 68, 70, 75, 80, 84, 90, 96. חשבו את הרבעון התחתון Q1Q_{1}Q1​.

דוגמה 2: הרבעון העליון Q₃

לאותם 11 ציונים, חשבו את הרבעון העליון Q3Q_{3}Q3​.

דוגמה 3: העשירון העליון D₉

לאותם 11 ציונים, חשבו את העשירון העליון D9D_{9}D9​.

דוגמה 4: החציון הוא Q₂ והוא גם D₅

לאותם 11 ציונים, הראו ש-Q2Q_{2}Q2​ שווה לחציון.

בדיקה מהירה

דוגמה 5: רבעון מסדרה אחרת

15 ערכים ממוינים: 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 14. חשבו את הרבעון העליון Q3Q_{3}Q3​.

דוגמה 6: פירוש העשירון בהקשר מבחן

במבחן ארצי, ציונו של דני נמצא בעשירון התשיעי (D9)(D_{9})(D9​). מה משמעות הדבר?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים רבעון בלי למיין

טעות נפוצה: בלבול בין הערך למיקום

טעות נפוצה: חושבים שהעשירון העליון הוא ה-10% התחתונים

טעות נפוצה: שוכחים ש-Q2=D5=Q_{2} = D_{5} =Q2​=D5​= חציון

סיכום

תרגול נוסף

ציוני 11 תלמידים, ממוינים: 50, 55, 60, 62, 68, 70, 75, 80, 84, 90, 96. חשבו את הרבעון התחתון $Q_{1}$ .

לאותם 11 ציונים, חשבו את הרבעון העליון $Q_{3}$ .

לאותם 11 ציונים, חשבו את העשירון העליון $D_{9}$ .

לאותם 11 ציונים, הראו ש- $Q_{2}$ שווה לחציון.

15 ערכים ממוינים: 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 14. חשבו את הרבעון העליון $Q_{3}$ .

במבחן ארצי, ציונו של דני נמצא בעשירון התשיעי $(D_{9})$ . מה משמעות הדבר?

טעות נפוצה: שוכחים ש- $Q_{2} = D_{5} =$ חציון