מדדי מרכז: ממוצע, ממוצע משוקלל, שכיח וחציון

מבוא

מטרות השיעור

לחשב ממוצע, ממוצע משוקלל, שכיח וחציון מרשימה ומטבלת שכיחויות
להכיר את תכונות כל מדד, יתרונותיו ומגבלותיו
להבין מדוע למשתנה איכותי מתאים רק השכיח
לקבוע כיצד שינוי ערכים (חיבור / כפל) משפיע על כל מדד מרכז

הרעיון המרכזי

שלושת מדדי המרכז

ממוצע ( $\overset{x}{ˉ}$ ): סכום כל הערכים חלקי מספרם — $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}$ . מבוסס על כל הנתונים, ולכן מושפע מערכים קיצוניים.

שכיח: הערך השכיח ביותר (בעל השכיחות הגבוהה ביותר). יכול להיות יותר מאחד, או לא להתקיים. זה המדד היחיד שמתאים גם למשתנה איכותי.

חציון: הערך האמצעי לאחר מיון הנתונים בסדר עולה. במספר אי-זוגי של איברים — האיבר האמצעי; במספר זוגי — ממוצע שני האמצעיים. אינו מושפע מערכים קיצוניים.

ממוצע משוקלל

כשלערכים יש משקלים שונים ( $w_{i}$ ), הממוצע המשוקלל הוא:

\overset{x}{ˉ}_{w} = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}

דוגמה: בתעודה מבחן שוקל פי 2 מעבודה. זהו בדיוק החישוב של ממוצע מטבלת שכיחויות, שבו השכיחות משמשת כמשקל.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממוצע, חציון ושכיח מרשימה — והשפעת ערך קיצוני

שכרם החודשי (באלפי ₪) של 7 עובדים: 8, 9, 10, 10, 12, 14, 21. חשבו ממוצע, חציון ושכיח.

שימו לב: השכר 21 (ערך קיצוני) מושך את הממוצע ל-12, אף ש-6 מתוך 7 העובדים מרוויחים 14 ומטה. החציון (10) מייצג כאן את העובד הטיפוסי טוב יותר.

שלב 1 — ממוצע

סכום

= 8+9+10+10+12+14+21 = 84

. ממוצע

= 84 \div 7 = 12

דוגמה 2: ממוצע משוקלל בתעודה

בתעודה ציון המבחן שוקל פי 2 מציון העבודה. תלמיד קיבל 90 במבחן ו-60 בעבודה. מה הציון המשוקלל?

\overset{x}{ˉ}_{w} = \frac{2 \cdot 90 + 1 \cdot 60}{2 + 1} = \frac{240}{3} = 80

שימו לב: הממוצע הפשוט היה (90+60)/2 = 75, אך בגלל המשקל הכבד של המבחן הציון המשוקלל גבוה יותר.

שלב 1 — משקלים

מבחן: משקל 2, ציון 90. עבודה: משקל 1, ציון 60.

דוגמה 3: ממוצע, חציון ושכיח מטבלת שכיחויות

מספר האחים אצל 20 תלמידים: 0 אחים → 3, אח אחד → 8, 2 אחים → 6, 3 אחים → 3. חשבו ממוצע, חציון ושכיח.

בחישוב ממוצע מטבלה חובה לשקלל בשכיחויות. ממוצע פשוט של הערכים (0+1+2+3)/4 = 1.5 היה שגוי — הוא מתעלם מכך שלערך 1 יש שכיחות גבוהה.

שלב 1 — ממוצע משוקלל בשכיחויות

\Sigma (

ערך×שכיחות)

= 0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 0+8+12+9 = 29

. ממוצע

= 29 \div 20 = 1.45

דוגמה 4: השפעת שינוי ערכים על מדדי המרכז

ממוצע הציונים בכיתה הוא 30 (בסולם פנימי). (א) המורה מוסיף 5 נקודות לכל תלמיד. (ב) או: מכפיל כל ציון ב-2. מה הממוצע החדש בכל מקרה?

התמרה ליניארית y = a x + b פועלת על כל מדדי המרכז באותו אופן: הוספת b מזיזה אותם ב-b, וכפל ב-a מכפיל אותם ב-a.

שלב 1 — הוספת קבוע

אם מוסיפים c לכל ערך, הממוצע גדל ב-

c: 30 + 5 = 35

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חמישה תלמידים קיבלו בבוחן את הציונים: 10, 20, 30, 40, 50. מהו הציון הממוצע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שכרם החודשי (באלפי ₪) של 7 עובדים, ממוין: 8, 9, 10, 10, 12, 14, 21. מהו החציון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נשאלו תלמידים על צבע עיניהם (חום / כחול / ירוק). איזה מדד מרכז ניתן לחשב עבור משתנה זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חציון במספר זוגי של איברים

מחירי 6 ספרים (ב-₪): 12, 15, 18, 20, 22, 30. חשבו את החציון.

במספר זוגי של איברים החציון הוא ממוצע שני הערכים האמצעיים — ולכן ייתכן שהוא עצמו אינו אחד מערכי הנתונים.

שלב 1 — מיון

הנתונים ממוינים: 12, 15, 18, 20, 22, 30.

דוגמה 6: בחירת המדד המתאים — נתונים מוטים

במשרד 9 עובדים מרוויחים כ-10,000 ₪ ומנהל אחד מרוויח 100,000 ₪. איזה מדד מרכז מייצג טוב יותר את 'העובד הטיפוסי'?

זהו היתרון המרכזי של החציון על פני הממוצע: עמידות בפני ערכים קיצוניים. הממוצע מתאים כשהנתונים מאוזנים.

שלב 1 — מה קורה לממוצע

הממוצע נמשך מעלה בגלל השכר הגבוה של המנהל, ויוצא גבוה בהרבה מ-10,000.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בתעודה ציון המבחן שוקל פי 2 מציון העבודה. תלמיד קיבל 90 במבחן ו-60 בעבודה. מהו הציון המשוקלל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מחירי 6 ספרים (ב-₪): 12, 15, 18, 20, 22, 30. מהו החציון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשרד 9 עובדים מרוויחים כ-10,000 ₪ בחודש, ומנהל אחד מרוויח 100,000 ₪. איזה מדד מרכז מייצג נאמנה יותר את שכרו של 'העובד הטיפוסי', ומדוע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים חציון בלי למיין

ברשימה 8, 3, 5: לא לוקחים 3! ממיינים ל-3, 5, 8 והחציון הוא 5.

למה זה קורה?

תלמידים לוקחים את הערך האמצעי ברשימה כפי שניתנה.

איך מתקנים?

קודם ממיינים בסדר עולה, ורק אז לוקחים את האמצעי. במספר זוגי של איברים — ממוצע שני האמצעיים.

טעות נפוצה: מנסים לחשב ממוצע למשתנה איכותי

לצבע העיניים השכיח בכיתה — חום. אין 'ממוצע צבע' או 'חציון צבע'.

למה זה קורה?

מרגישים שכל משתנה חייב 'מרכז' מספרי.

איך מתקנים?

למשתנה איכותי (צבע, מגדר) אי אפשר לחשב ממוצע או חציון — אי אפשר לחבר או למיין קטגוריות. המדד היחיד הוא השכיח.

טעות נפוצה: ממוצע מטבלה בלי שקלול

טעות: (0+1+2+3)/4 = 1.5.

נכון: $\frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3}{20} = \frac{29}{20} = 1.45$ .

למה זה קורה?

לוקחים ממוצע פשוט של הערכים השונים.

איך מתקנים?

חישוב ממוצע מטבלה

= \Sigma (

ערך × שכיחות) ÷ גודל המדגם. השכיחות היא המשקל של כל ערך.

טעות נפוצה: בלבול בהשפעת התמרות

ממוצע 30, מוסיפים 5 → 35. מכפילים ב-2 → 60.

למה זה קורה?

חושבים שכפל בקבוע לא משפיע על הממוצע, או שהוספת קבוע משנה את הפיזור.

איך מתקנים?

הוספת c לכל ערך: כל מדד מרכז גדל ב-c. כפל ב-k: כל מדד מרכז מוכפל ב-k. (על הפיזור — חיבור c לא משפיע, כפל ב-k מכפיל אותו ב-|k|.)

סיכום

מה למדנו?

שלושת המדדים:

ממוצע = Σx ÷ n; מבוסס על כל הנתונים; מושפע מקיצוניים.
שכיח = הערך השכיח ביותר; היחיד שמתאים גם למשתנה איכותי; לא מושפע מקיצוניים.
חציון = הערך האמצעי לאחר מיון (זוגי → ממוצע שני האמצעיים); לא מושפע מקיצוניים.

ממוצע משוקלל: $\overset{x}{ˉ}_{w} = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}$ — וכך גם ממוצע מטבלה.

התמרות: y = a·x + b ⟹ כל מדד מרכז → a·(מדד) + b.

טיפ זהב: נתונים מוטים / ערך קיצוני → החציון מייצג טוב יותר. משתנה איכותי → רק שכיח.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב מדדי מרכז ובחירת המדד המתאים!