מדדי פיזור: טווח, שונות וסטיית תקן

מבוא

מטרות השיעור

לחשב טווח, שונות וסטיית תקן לנתונים בדידים ומקובצים
להבין את משמעות כל מדד, יתרונותיו ומגבלותיו
לקבוע כיצד התמרת ערכים (חיבור / כפל) משפיעה על הפיזור
לבחור את מדד הפיזור המתאים ולהשוות אוספי נתונים

הרעיון המרכזי

שלושת מדדי הפיזור

טווח: ההפרש בין הערך הגדול לקטן — $טווח = x_{m a x} - x_{m i n}$ . פשוט, אך מבוסס רק על שני הקצוות ולכן רגיש לחריגים.

שונות ( $σ^{2}$ ): ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע — $σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ . מבוססת על כל הנתונים. יחידותיה הן יחידות בריבוע.

סטיית תקן ( $σ$ ): שורש השונות — $σ = σ^{2}$ . חוזרת ליחידות המקוריות של המשתנה, ולכן נוחה לפירוש.

נתונים מקובצים והשפעת התמרות

נתונים מקובצים בטבלת שכיחויות: משתמשים באמצע הקבוצה כערך נציג ומשקללים בשכיחויות: $σ^{2} = \frac{\sum f _{i} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ .

השפעת התמרות:

הוספת קבוע c לכל ערך: הטווח, השונות וסטיית התקן אינם משתנים (כל הנתונים זזים יחד).
כפל בקבוע k: הטווח וסטיית התקן מוכפלים ב-|k|, והשונות מוכפלת ב- $k^{2}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: טווח

ציוני מבחן: 55, 70, 80, 92, 100. חשבו את הטווח.

הטווח קל לחישוב, אך אילו תלמיד אחד היה מקבל 10 במקום 55, הטווח היה קופץ ל-90 — עדות לרגישותו לערכים קיצוניים.

שלב 1 — הקיצוניים

הגדול

= 100

, הקטן

= 55

דוגמה 2: שונות וסטיית תקן (נתונים בדידים)

מספר השעות שחמישה תלמידים למדו: 4, 6, 8, 10, 12. חשבו את השונות ואת סטיית התקן.

σ^{2} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8, σ = 8 \approx 2.83

זכרו לחלק ב-n! סכום הריבועים (40) אינו השונות.

שלב 1 — ממוצע

\frac{4+6+8+10+12}{5} = \frac{40}{5} = 8

דוגמה 3: סטיית תקן שלמה

מספר השערים שקבוצה הבקיעה בארבעה משחקים: 3, 3, 7, 7. חשבו את סטיית התקן.

כאן השונות יצאה ריבוע שלם (4), ולכן סטיית התקן שלמה (2).

שלב 1 — ממוצע

\frac{3+3+7+7}{4} = \frac{20}{4} = 5

דוגמה 4: שונות וסטיית תקן לנתונים מקובצים

גובהם של 10 תלמידים בקבוצות: [150,160) → 2, [160,170) → 3, [170,180) → 5. חשבו את השונות (השתמשו באמצעי הקבוצות).

בנתונים מקובצים מתייחסים לאמצע כל קבוצה כערך נציג ומשקללים בשכיחויות — בדיוק כמו בחישוב הממוצע מטבלה.

שלב 1 — אמצעי הקבוצות

155, 165, 175.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

ציוני מבחן של חמישה תלמידים: 55, 70, 80, 92, 100. מהו הטווח?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם מוסיפים 5 נקודות לציון של כל תלמיד בכיתה, סטיית התקן של הציונים לא משתנה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מספר השעות שחמישה תלמידים למדו לקראת מבחן: 4, 6, 8, 10, 12. חשבו את השונות.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: השפעת התמרה על סטיית התקן

סטיית התקן של זמני ריצה היא 4 שניות. (א) מוסיפים 10 שניות לכל זמן. (ב) או: מכפילים כל זמן ב-3. מה סטיית התקן החדשה?

חיבור קבוע אינו משנה פיזור; כפל ב-k מכפיל את סטיית התקן ב-|k| ואת השונות ב-k².

שלב 1 — הוספת קבוע

הוספת 10 מזיזה את כל הנתונים יחד — הפיזור לא משתנה. סטיית התקן נשארת 4.

דוגמה 6: בחירת מדד פיזור והשוואת אחידות

לשתי כיתות אותו ממוצע $(80)$ . כיתה א': 70, 75, 80, 85, 90. כיתה ב': 78, 79, 80, 81, 82. באיזו כיתה הציונים אחידים יותר?

כששני אוספים בעלי אותו ממוצע — מי שסטיית התקן שלו קטנה יותר אחיד ועקבי יותר. הממוצע לבדו אינו מספר את כל הסיפור.

שלב 1 — כיתה א'

סטיות:

-10,-5,0,5,10

. ריבועים:

100,25,0,25{,}100=250. \sigma ^{2}=50, \sigma =\sqrt{50}≈7.07

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

סטיית התקן של אוסף מחירים היא 4 ₪. כל המחירים מוכפלים ב-3 (למשל בעקבות שינוי מטבע). מהי סטיית התקן החדשה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גובהם של 10 תלמידים מקובץ בטבלה: [150,160) — 2 תלמידים, [160,170) — 3, [170,180) — 5. חשבו את השונות (השתמשו באמצעי הקבוצות 155, 165, 175).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

לשתי כיתות אותו ממוצע ציונים $(80)$ . בכיתה א' הציונים 70, 75, 80, 85, 90, ובכיתה ב' הציונים 78, 79, 80, 81, 82. באיזו כיתה הציונים אחידים (עקביים) יותר, וכיצד מזהים זאת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-n בשונות

טעות: σ² = 40.

נכון: $σ^{2} = \frac{40}{5} = 8$ .

למה זה קורה?

עוצרים אחרי סכום ריבועי הסטיות.

איך מתקנים?

השונות היא הממוצע של ריבועי הסטיות: מחלקים את הסכום ב-n.

טעות נפוצה: בלבול בין יחידות השונות לסטיית התקן

אם המשתנה בס״מ: σ² בס״מ², אבל σ בס״מ.

למה זה קורה?

לא שמים לב שהשונות מרבעת את היחידות.

איך מתקנים?

שונות = יחידות בריבוע (ס״מ

^{2})

. סטיית תקן = שורש השונות, וחוזרת ליחידות המקוריות (ס״מ).

טעות נפוצה: חושבים שחיבור קבוע משנה את הפיזור

סטיית תקן 4; מוסיפים 10 לכל ערך → עדיין 4. מכפילים ב-3 → 12.

למה זה קורה?

מניחים שכל פעולה על הנתונים משנה הכל.

איך מתקנים?

הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים באותה מידה — הפיזור (טווח, שונות, סטיית תקן) נשמר. רק כפל ב-k משנה אותו.

טעות נפוצה: מסתמכים על הטווח בלבד

ערך קיצוני אחד יכול לנפח את הטווח, בעוד סטיית התקן מושפעת ממנו פחות.

למה זה קורה?

הטווח קל לחישוב.

איך מתקנים?

הטווח מבוסס רק על שני הקצוות ורגיש מאוד לחריג בודד. לפיזור מהימן משתמשים בשונות ובסטיית תקן, המבוססות על כל הנתונים.

סיכום

מה למדנו?

שלושת מדדי הפיזור:

טווח = max − min; פשוט אך רגיש לחריגים.
שונות $σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$ ; ביחידות בריבוע.
סטיית תקן $σ = σ^{2}$ ; ביחידות המשתנה.

נתונים מקובצים: משתמשים באמצע הקבוצה ומשקללים בשכיחויות.

התמרות: +c → הפיזור לא משתנה; ×k → סטיית התקן ×|k|, שונות ×k².

טיפ זהב: לחלק ב-n; סטיית התקן (לא השונות) היא ביחידות המקוריות; אותו ממוצע + σ קטנה יותר = אחיד יותר.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב טווח, שונות וסטיית תקן!

מדדי פיזור: טווח, שונות וסטיית תקן

מדדי פיזור: טווח, שונות וסטיית תקן

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: טווח

ציוני מבחן: 55, 70, 80, 92, 100. חשבו את הטווח.

דוגמה 2: שונות וסטיית תקן (נתונים בדידים)

מספר השעות שחמישה תלמידים למדו: 4, 6, 8, 10, 12. חשבו את השונות ואת סטיית התקן.

דוגמה 3: סטיית תקן שלמה

מספר השערים שקבוצה הבקיעה בארבעה משחקים: 3, 3, 7, 7. חשבו את סטיית התקן.

דוגמה 4: שונות וסטיית תקן לנתונים מקובצים

גובהם של 10 תלמידים בקבוצות: [150,160) → 2, [160,170) → 3, [170,180) → 5. חשבו את השונות (השתמשו באמצעי הקבוצות).

בדיקה מהירה

דוגמה 5: השפעת התמרה על סטיית התקן

סטיית התקן של זמני ריצה היא 4 שניות. (א) מוסיפים 10 שניות לכל זמן. (ב) או: מכפילים כל זמן ב-3. מה סטיית התקן החדשה?

דוגמה 6: בחירת מדד פיזור והשוואת אחידות

לשתי כיתות אותו ממוצע (80)(80)(80). כיתה א': 70, 75, 80, 85, 90. כיתה ב': 78, 79, 80, 81, 82. באיזו כיתה הציונים אחידים יותר?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-n בשונות

טעות נפוצה: בלבול בין יחידות השונות לסטיית התקן

טעות נפוצה: חושבים שחיבור קבוע משנה את הפיזור

טעות נפוצה: מסתמכים על הטווח בלבד

סיכום

תרגול נוסף

לשתי כיתות אותו ממוצע $(80)$ . כיתה א': 70, 75, 80, 85, 90. כיתה ב': 78, 79, 80, 81, 82. באיזו כיתה הציונים אחידים יותר?