משוואות עם שברים אלגבריים ומשוואות אי-רציונליות

מבוא

לעיתים הנעלם מופיע במכנה של שבר, או מתחת לסימן שורש. במקרים אלה הפתרון דורש זהירות מיוחדת: בשברים אלגבריים חייבים לפסול ערכים שמאפסים את המכנה, ובמשוואות אי-רציונליות חייבים לבדוק כל פתרון — כי העלאה בריבוע עלולה ליצור פתרונות זרים שאינם מקיימים את המשוואה המקורית. נכיר גם שיטה חשובה: פתרון על ידי הצבה, למשל במשוואה דו-ריבועית.

מטרות השיעור

לקבוע תחום הגדרה ולפתור משוואות הכוללות שברים אלגבריים
לפתור משוואות אי-רציונליות בעזרת העלאה בריבוע ולבדוק פתרונות זרים
להבין מדוע ולמה נוצר פתרון זר
לפתור משוואה דו-ריבועית בעזרת ההצבה $t = x^{2}$

הרעיון המרכזי

משוואות עם שברים אלגבריים

קובעים תחום הגדרה: המכנים אסור שיתאפסו (למשל אם המכנה x - 2, אז $x \neq = 2$ ).
כופלים את שני האגפים במכנה המשותף כדי להיפטר מהשברים.
פותרים את המשוואה שמתקבלת.
פוסלים כל פתרון שאינו בתחום ההגדרה.

משוואות אי-רציונליות

משוואה שבה הנעלם מתחת לשורש. דרך הפעולה:

מבודדים את השורש באגף אחד.
מעלים את שני האגפים בריבוע (כדי להיפטר מהשורש).
פותרים את המשוואה המתקבלת.
בודקים בהצבה כל פתרון במשוואה המקורית — פתרון שאינו מקיים אותה הוא פתרון זר ויש לפסול אותו.

זכרו: $x$ תמיד אי-שלילי, ולכן אם השורש שווה לביטוי — אותו ביטוי חייב להיות אי-שלילי.

פתרון על ידי הצבה — משוואה דו-ריבועית

משוואה דו-ריבועית היא מהצורה $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ . מציבים $t = x^{2}$ (כאשר $t \geq 0$ ) ומקבלים משוואה ריבועית רגילה $a t^{2} + b t + c = 0$ . פותרים עבור t, וחוזרים ל-x דרך $x^{2} = t$ עבור כל ערך אי-שלילי של t.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה עם שבר אלגברי

פתרו: $\frac{6}{x} = 2$

\frac{6}{x} = 2 \Rightarrow x = 3

שלב 1 — תחום הגדרה

המכנה x אסור שיתאפס:

x \ne 0

דוגמה 2: שבר אלגברי עם בידוד

פתרו: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = 1$

\frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2

שלב 1 — תחום הגדרה

x \ne 0

דוגמה 3: משוואה אי-רציונלית פשוטה

פתרו: $\sqrt{x + 1} = 3$

x + 1 = 3 \Rightarrow x = 8

שלב 1 — תחום הגדרה

x + 1 \ge 0 ⇐ x \ge -1

דוגמה 4: משוואה אי-רציונלית עם פתרון זר

פתרו: $\sqrt{x + 7} = x + 1$

x + 7 = x + 1 \Rightarrow x = 2

הפתרון x = -3 נפסל — הוא פתרון זר שנוצר מהעלאה בריבוע.

שלב 1 — תנאים

x + 7 \ge 0

וגם

x + 1 \ge 0 (

השורש אי-שלילי)

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה $\frac{6}{x} = 2$ . מהו x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

פתרו את המשוואה האי-רציונלית $\sqrt{x + 1} = 3$ . מהו x? (בדקו את הפתרון)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: משוואה דו-ריבועית (פתרון בהצבה)

פתרו: $x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$

t = x^{2} : t^{2} - 5 t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1, t = 4

x = \pm 1, x = \pm 2

שלב 1 — מציבים

t = x^{2} (t \ge 0)

, ומקבלים

t^{2} - 5t + 4 = 0

דוגמה 6: כאשר אחד הערכים של t נפסל

פתרו: $x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0$

t = -1 נפסל כי $x^{2}$ אינו יכול להיות שלילי.

x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2

שלב 1 — מציבים

t = x^{2}

, ומקבלים

t^{2} - 3t - 4 = 0

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

פתרו את המשוואה הדו-ריבועית $x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$ על ידי הצבה. כמה פתרונות ממשיים יש לה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו את המשוואה האי-רציונלית $\sqrt{x + 7} = x + 1$ . מהו אוסף הפתרונות (לאחר בדיקת פתרונות זרים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא פוסלים ערכים שמאפסים את המכנה

במשוואה $\frac{1}{x - 2} = 5$ חובה $x \neq = 2$ . אם הפתרון יוצא x = 2 — אין פתרון.

למה זה קורה?

פותרים את המשוואה ושוכחים לבדוק את תחום ההגדרה.

איך מתקנים?

לפני הפתרון קבעו אילו ערכים מאפסים את המכנה ופסלו אותם. פתרון שיוצא שווה לערך אסור — נפסל.

טעות נפוצה: לא בודקים פתרונות במשוואה אי-רציונלית

טעות: ב- $x + 7 = x + 1$ לקבל x = -3 ו-x = 2 כשניהם תקפים.

נכון: רק x = 2 תקף; x = -3 פתרון זר.

למה זה קורה?

מעלים בריבוע ומקבלים את כל הפתרונות כתקפים.

איך מתקנים?

העלאה בריבוע עלולה ליצור פתרונות זרים. בדקו כל פתרון בהצבה במשוואה המקורית.

טעות נפוצה: חושבים ש- $√$ יכול להיות שלילי

$x = - 3$ — אין פתרון, כי $x \geq 0$ תמיד.

למה זה קורה?

מתעלמים מכך שהערך העיקרי של שורש ריבועי אינו שלילי.

איך מתקנים?

תמיד

√(

ביטוי)

\ge 0

. אם השורש שווה לביטוי אחר — אותו ביטוי חייב להיות אי-שלילי.

טעות נפוצה: שוכחים לפסול t שלילי בהצבה

ב- $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ מתקבל t = 4 או t = -1. הערך t = -1 נפסל, ונשאר רק $x = \pm 2$ .

למה זה קורה?

בפתרון דו-ריבועי מחזירים כל ערך של t ל-x מבלי לבדוק את סימנו.

איך מתקנים?

מכיוון ש-

t = x^{2}

, ערך t שלילי נפסל (אין לו שורש ריבועי ממשי). רק

t \ge 0

נותן פתרונות x.

סיכום

מה למדנו?

שברים אלגבריים: קבעו תחום הגדרה (מכנה ≠ 0), כפלו במכנה המשותף, פתרו, ופסלו פתרונות מחוץ לתחום.

משוואות אי-רציונליות: בודדו את השורש, העלו בריבוע, פתרו, ובדקו כל פתרון — פתרון זר נפסל.

משוואה דו-ריבועית: הציבו $t = x^{2}$ , פתרו ריבועית, פסלו t < 0, וחזרו ל-x דרך $x^{2} = t$ .

טיפים:

$x$ תמיד אי-שלילי.
בדיקה בהצבה היא חלק מהפתרון, לא תוספת.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לפתור משוואות עם שברים, משוואות אי-רציונליות, ומשוואות בהצבה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משוואות עם שברים אלגבריים ומשוואות אי-רציונליות!

משוואות עם שברים אלגבריים ומשוואות אי-רציונליות

משוואות עם שברים אלגבריים ומשוואות אי-רציונליות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה עם שבר אלגברי

פתרו: 6x=2\frac{6}{x} = 2x6​=2

דוגמה 2: שבר אלגברי עם בידוד

פתרו: 1x+12=1\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = 1x1​+21​=1

דוגמה 3: משוואה אי-רציונלית פשוטה

פתרו: x+1=3\sqrt{x + 1} = 3x+1​=3

דוגמה 4: משוואה אי-רציונלית עם פתרון זר

פתרו: x+7=x+1\sqrt{x + 7} = x + 1x+7​=x+1

בדיקה מהירה

דוגמה 5: משוואה דו-ריבועית (פתרון בהצבה)

פתרו: x4−5x2+4=0x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0x4−5x2+4=0

דוגמה 6: כאשר אחד הערכים של t נפסל

פתרו: x4−3x2−4=0x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0x4−3x2−4=0

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא פוסלים ערכים שמאפסים את המכנה

טעות נפוצה: לא בודקים פתרונות במשוואה אי-רציונלית

טעות נפוצה: חושבים ש-√√√ יכול להיות שלילי

טעות נפוצה: שוכחים לפסול t שלילי בהצבה

סיכום

תרגול נוסף

פתרו: $\frac{6}{x} = 2$

פתרו: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = 1$

פתרו: $\sqrt{x + 1} = 3$

פתרו: $\sqrt{x + 7} = x + 1$

פתרו: $x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$

פתרו: $x^{4} - 3x^{2} - 4 = 0$

טעות נפוצה: חושבים ש- $√$ יכול להיות שלילי