משוואות ממעלה ראשונה ושנייה

מבוא

פתרון משוואה פירושו מציאת כל הערכים של הנעלם שהופכים את המשוואה לזהות נכונה. בשיעור זה נחזור על פתרון משוואות ממעלה ראשונה (לינאריות) ונרחיב לפתרון משוואות ממעלה שנייה (ריבועיות). נראה שלמשוואה ריבועית יכולים להיות שני פתרונות, פתרון יחיד, או אף פתרון ממשי — ונקשר זאת למשמעות הגרפית: מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x.

מטרות השיעור

לפתור משוואה ממעלה ראשונה על ידי בידוד הנעלם
לפתור משוואה ממעלה שנייה בעזרת פירוק לגורמים
לפתור משוואה ממעלה שנייה בעזרת נוסחת השורשים $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$
להשתמש בדיסקרימיננטה $Δ = b^{2} - 4 a c$ כדי לקבוע את מספר הפתרונות ולהבין את משמעותם הגרפית

הרעיון המרכזי

משוואה ממעלה ראשונה

משוואה מהצורה ax + b = 0 (כאשר $a \neq = 0$ ) נפתרת על ידי בידוד הנעלם: $a x = - b \Rightarrow x = - \frac{b}{a}$

למשוואה כזו תמיד פתרון יחיד.

משוואה ממעלה שנייה

משוואה מהצורה $a x^{2} + b x + c = 0$ (כאשר $a \neq = 0$ ) ניתנת לפתרון בשתי דרכים עיקריות:

1. פירוק לגורמים — אם אפשר לפרק, משתמשים בכך שמכפלה מתאפסת כאשר אחד הגורמים אפס.

2. נוסחת השורשים: $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

הביטוי שמתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה ומסומן $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

הדיסקרימיננטה והמשמעות הגרפית

מספר הפתרונות של $a x^{2} + b x + c = 0$ נקבע לפי סימן הדיסקרימיננטה, והוא שווה למספר נקודות החיתוך של הפרבולה $y = a x^{2} + b x + c$ עם ציר ה-x:

$Δ > 0$ — שני פתרונות שונים; הפרבולה חותכת את ציר ה-x בשתי נקודות.
$Δ = 0$ — פתרון יחיד (כפול); הפרבולה משיקה לציר ה-x בנקודה אחת.
$Δ < 0$ — אין פתרון ממשי; הפרבולה אינה חותכת את ציר ה-x.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה ממעלה ראשונה

פתרו: $3x - 7 = 8$

3 x - 7 = 8 \Rightarrow x = 5

שלב 1 — מעבירים את האיבר החופשי

3x = 8 + 7 = 15

דוגמה 2: משוואה ריבועית בעזרת פירוק לגורמים

פתרו: $x^{2} - 5x + 6 = 0$

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2, x = 3

שלב 1 — מפרקים את הטרינום

מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5: המספרים 2 ו-3

דוגמה 3: משוואה ריבועית בעזרת נוסחת השורשים

פתרו: $x^{2} - 4x - 5 = 0$ בעזרת נוסחת השורשים

x = \frac{4 \pm 36}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \Rightarrow x = 5, x = - 1

שלב 1 — מזהים מקדמים

a = 1, b = -4, c = -5

דוגמה 4: שורש ריבועי משני האגפים

פתרו: $2x^{2} - 8 = 0$

x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2

שלב 1 — מבודדים את $x^{2}$

2x^{2} = 8 ⇐ x^{2} = 4

בדיקה מהירה

פתרו את המשוואה ממעלה ראשונה: $3x - 7 = 8$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו את המשוואה הריבועית: $x^{2} - 5x + 6 = 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: כמה פתרונות? (דיסקרימיננטה שלילית)

כמה פתרונות ממשיים יש ל- $2x^{2} - 4x + 5 = 0$ ?

Δ = - 24 < 0 \Rightarrow אין פתרון ממשי

שלב 1 — מזהים מקדמים

a = 2, b = -4, c = 5

דוגמה 6: מציאת פרמטר לפי מספר הפתרונות

עבור איזה k יש ל- $x^{2} - 6x + k = 0$ פתרון יחיד?

Δ = 36 - 4 k = 0 \Rightarrow k = 9

שלב 1 — תנאי לפתרון יחיד

פתרון יחיד מתקבל כאשר

\Delta = 0

בדיקה מהירה

כמה פתרונות ממשיים יש למשוואה $2x^{2} - 4x + 5 = 0$ , ומה המשמעות הגרפית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

עבור איזה ערך של k יש למשוואה $x^{2} - 6x + k = 0$ פתרון ממשי יחיד (כפול)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שלמשוואה ריבועית תמיד שני פתרונות

טעות: קביעה ש- $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ נפתרת בשני פתרונות.

נכון: $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ — אין פתרון ממשי.

למה זה קורה?

תלמידים מיישמים את נוסחת השורשים מבלי לבדוק את סימן הדיסקרימיננטה.

איך מתקנים?

בדקו תמיד את

\Delta = b^{2} - 4ac

. אם

\Delta < 0

אין פתרון ממשי; אם

\Delta = 0

יש פתרון יחיד; אם

\Delta > 0

יש שני פתרונות.

טעות נפוצה: שוכחים את הפתרון השלילי בהוצאת שורש

טעות: $x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$

נכון: $x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$

למה זה קורה?

כשמוציאים שורש משני אגפים זוכרים רק את הערך החיובי.

איך מתקנים?

אם

x^{2} = k (

ו-

k > 0)

, אז יש שני פתרונות:

x = √k

וגם

x = -√k

, כלומר

x = \pm √k

טעות נפוצה: מחלקים ב-x ומאבדים פתרון

טעות: $x^{2} = 5 x \Rightarrow x = 5$ (איבדנו את x = 0)

נכון: $x^{2} - 5 x = 0 \Rightarrow x (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 5$

למה זה קורה?

כדי לפתור

x^{2} = 5x

מחלקים את שני האגפים ב-x ומקבלים

x = 5

בלבד.

איך מתקנים?

אסור לחלק ב-x (ייתכן ש-

x = 0!)

. העבירו את הכול לאגף אחד והוציאו גורם משותף.

טעות נפוצה: טעות בסימן בתוך נוסחת השורשים

עבור $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ : -b = -(-4) = +4 ו- $- 4 a c = - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = + 20$ .

לכן $x = \frac{4 \pm 36}{2}$ .

למה זה קורה?

מתבלבלים ב-−b כשהמקדם b שלילי, או בסימן של 4ac.

איך מתקנים?

הציבו בזהירות: בנוסחה מופיע −b (אם b שלילי, −b חיובי), ו-

-4ac (

שימו לב לסימן של c).

סיכום

מה למדנו?

משוואה ממעלה ראשונה ax + b = 0: פתרון יחיד $x = - \frac{b}{a}$ .

משוואה ממעלה שנייה $a x^{2} + b x + c = 0$ :

פותרים בפירוק לגורמים או בנוסחת השורשים $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ .

הדיסקרימיננטה $Δ = b^{2} - 4 a c$ קובעת את מספר הפתרונות = מספר נקודות החיתוך עם ציר ה-x:

$Δ > 0$ : שני פתרונות (שתי נקודות חיתוך).
$Δ = 0$ : פתרון יחיד (השקה).
$Δ < 0$ : אין פתרון ממשי (אין חיתוך).

טיפים:

בהוצאת שורש זכרו את שני הסימנים ±.
אל תחלקו ב-x — תאבדו את הפתרון x = 0.
בדקו תמיד את הפתרונות בהצבה.

כל הכבוד! עכשיו יש לכם את הכלים לפתור משוואות ולנתח את מספר הפתרונות שלהן.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משוואות ממעלה ראשונה ושנייה!

משוואות ממעלה ראשונה ושנייה

משוואות ממעלה ראשונה ושנייה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה ממעלה ראשונה

פתרו: 3x−7=83x - 7 = 83x−7=8

דוגמה 2: משוואה ריבועית בעזרת פירוק לגורמים

פתרו: x2−5x+6=0x^{2} - 5x + 6 = 0x2−5x+6=0

דוגמה 3: משוואה ריבועית בעזרת נוסחת השורשים

פתרו: x2−4x−5=0x^{2} - 4x - 5 = 0x2−4x−5=0 בעזרת נוסחת השורשים

דוגמה 4: שורש ריבועי משני האגפים

פתרו: 2x2−8=02x^{2} - 8 = 02x2−8=0

בדיקה מהירה

דוגמה 5: כמה פתרונות? (דיסקרימיננטה שלילית)

כמה פתרונות ממשיים יש ל-2x2−4x+5=02x^{2} - 4x + 5 = 02x2−4x+5=0?

דוגמה 6: מציאת פרמטר לפי מספר הפתרונות

עבור איזה k יש ל-x2−6x+k=0x^{2} - 6x + k = 0x2−6x+k=0 פתרון יחיד?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שלמשוואה ריבועית תמיד שני פתרונות

טעות נפוצה: שוכחים את הפתרון השלילי בהוצאת שורש

טעות נפוצה: מחלקים ב-x ומאבדים פתרון

טעות נפוצה: טעות בסימן בתוך נוסחת השורשים

סיכום

תרגול נוסף

פתרו: $3x - 7 = 8$

פתרו: $x^{2} - 5x + 6 = 0$

פתרו: $x^{2} - 4x - 5 = 0$ בעזרת נוסחת השורשים

פתרו: $2x^{2} - 8 = 0$

כמה פתרונות ממשיים יש ל- $2x^{2} - 4x + 5 = 0$ ?

עבור איזה k יש ל- $x^{2} - 6x + k = 0$ פתרון יחיד?