אי-שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה

מבוא

אי-שוויון, בניגוד למשוואה, מתאר תחום של ערכים ולא נקודות בודדות. פתרון אי-שוויון הוא קבוצת כל הערכים של הנעלם שמקיימים אותו. בשיעור זה נפתור אי-שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה, נראה את הכלל החשוב ביותר — היפוך כיוון אי-השוויון בכפל או חילוק במספר שלילי — ונבין את המשמעות הגרפית של אי-השוויון f(x) > g(x).

מטרות השיעור

לפתור אי-שוויון ממעלה ראשונה ולדעת מתי כיוון אי-השוויון מתהפך
לפתור אי-שוויון ממעלה שנייה בעזרת מציאת שורשים וניתוח כיוון פתיחת הפרבולה
להבין את המשמעות הגרפית: הפתרון של f(x) > g(x) הוא התחום שבו גרף f נמצא מעל גרף g
לבטא תחומי פתרון בכתיב נכון (למשל 2 < x < 4 או $x \leq 1$ או $x \geq 3$ )

הרעיון המרכזי

אי-שוויון ממעלה ראשונה — הכלל החשוב

פותרים בדומה למשוואה, על ידי בידוד הנעלם, בכפוף לכלל:

כאשר מכפילים או מחלקים את שני אגפי אי-השוויון במספר שלילי, כיוון אי-השוויון מתהפך.

לדוגמה: $- 2 x < 6 \Rightarrow x > - 3$ (חילקנו ב-−2 והפכנו את הסימן).

אי-שוויון ממעלה שנייה

כדי לפתור אי-שוויון כמו $a x^{2} + b x + c > 0$ :

מעבירים הכול לאגף אחד (כך שמצד שני יישאר 0).
מוצאים את שורשי הביטוי הריבועי (נקודות החיתוך עם ציר ה-x).
קובעים את כיוון פתיחת הפרבולה לפי סימן a.
קוראים מהגרף את התחום המבוקש:
- פרבולה פתוחה כלפי מעלה (a>0): חיובית מחוץ לשורשים, שלילית בין השורשים.

המשמעות הגרפית של $f(x) > g(x)$

פתרון אי-השוויון f(x) > g(x) הוא קבוצת כל ערכי x שעבורם גרף f נמצא מעל גרף g.

נקודות החיתוך של שני הגרפים (שבהן f(x) = g(x)) הן ה"גבולות" של התחומים. אלגברית: מעבירים הכול לאגף אחד ופותרים את אי-השוויון f(x) - g(x) > 0.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אי-שוויון ממעלה ראשונה

פתרו: $2x - 6 > 0$

2 x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3

שלב 1 — מעבירים את האיבר החופשי

2x > 6

דוגמה 2: היפוך כיוון אי-השוויון

פתרו: $-2x < 6$

- 2 x < 6 \Rightarrow x > - 3

זכרו: חילוק במספר שלילי הופך את כיוון אי-השוויון!

שלב 1 — מחלקים ב- $(-2)$

מחלקים במספר שלילי

דוגמה 3: אי-שוויון ריבועי — שלילי בין השורשים

פתרו: $(x - 2)(x - 4) < 0$

(x - 2) (x - 4) < 0 \Rightarrow 2 < x < 4

שלב 1 — מוצאים שורשים

x = 2

ו-

x = 4

דוגמה 4: אי-שוויון ריבועי — חיובי מחוץ לשורשים

פתרו: $x^{2} - 9 > 0$

x^{2} - 9 > 0 \Rightarrow x < - 3 או x > 3

שלב 1 — מפרקים

x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)

בדיקה מהירה

פתרו את אי-השוויון ממעלה ראשונה: $2x - 6 > 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו את אי-השוויון הריבועי: $(x - 2)(x - 4) < 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: המשמעות הגרפית של f(x) > g(x)

נתון $f(x) = 2x, g(x) = x + 3$ . מצאו היכן $f(x) > g(x)$

2 x > x + 3 \Rightarrow x > 3

שלב 1 — כותבים את אי-השוויון

2x > x + 3

דוגמה 6: f(x) ≤ g(x) המוביל לאי-שוויון ריבועי

נתון $f(x) = x^{2}, g(x) = 2x + 3$ . פתרו $f(x) \le g(x)$

x^{2} \leq 2 x + 3 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 3

גרפית: הפרבולה $y = x^{2}$ נמצאת מתחת לישר y = 2x+3 (או נוגעת בו) בתחום זה.

שלב 1 — כותבים את אי-השוויון

x^{2} \le 2x + 3

בדיקה מהירה

פתרו את אי-השוויון: $x^{2} - 4x + 3 \ge 0$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

נתונות הפונקציות $f(x) = x^{2}$ ו- $g(x) = 2x + 3$ . פתרו את אי-השוויון $f(x) \le g(x)$ . כתבו את תחום הפתרון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להפוך את כיוון אי-השוויון

טעות: $- 2 x < 6 \Rightarrow x < - 3$

נכון: $- 2 x < 6 \Rightarrow x > - 3$ (חילקנו ב-−2 והפכנו)

למה זה קורה?

מתייחסים לכפל/חילוק במספר שלילי כמו במספר חיובי.

איך מתקנים?

בכל כפל או חילוק של שני האגפים במספר שלילי — הפכו את כיוון אי-השוויון.

טעות נפוצה: מתעלמים מכיוון פתיחת הפרבולה

טעות: $(x - 2) (x - 4) < 0 \Rightarrow x < 2$ או x > 4

נכון: $(x - 2) (x - 4) < 0 \Rightarrow 2 < x < 4$

למה זה קורה?

פותרים אי-שוויון ריבועי כאילו השורשים לבדם קובעים את התחום.

איך מתקנים?

קבעו את כיוון הפתיחה: כש

a>0

הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם. סרטוט קצר מונע טעויות.

טעות נפוצה: מבלבלים בין משוואה לאי-שוויון בבעיית $f(x) > g(x)$

עבור 2x > x+3: נקודת החיתוך היא x = 3, אבל הפתרון הוא התחום x > 3, לא הנקודה בלבד.

למה זה קורה?

מוצאים רק את נקודות החיתוך

f(x) = g(x)

ולא את התחום.

איך מתקנים?

נקודות החיתוך הן רק הגבולות. הפתרון הוא התחום שבו גרף f נמצא מעל גרף g — בדקו נקודה בכל תחום.

טעות נפוצה: טעות בהכללת או החרגת הקצוות

$x^{2} - 9 \geq 0 \Rightarrow x \leq - 3$ או $x \geq 3$ (כולל ±3)

$x^{2} - 9 > 0 \Rightarrow x < - 3$ או x > 3 (לא כולל ±3)

למה זה קורה?

מבלבלים בין אי-שוויון חד (<, >) לבין אי-שוויון לא-חד (≤, ≥).

איך מתקנים?

באי-שוויון לא-חד (≤, ≥) השורשים כלולים בפתרון; באי-שוויון חד (<, >) הם אינם כלולים.

סיכום

מה למדנו?

אי-שוויון ממעלה ראשונה: פותרים בבידוד הנעלם, אך הופכים כיוון בכפל/חילוק במספר שלילי.

אי-שוויון ממעלה שנייה: מעבירים לאגף אחד, מוצאים שורשים, וקובעים תחום לפי כיוון פתיחת הפרבולה (כש-a>0: חיובית מחוץ לשורשים, שלילית ביניהם).

המשמעות הגרפית של f(x) > g(x): התחום שבו גרף f נמצא מעל גרף g. אלגברית פותרים f(x) - g(x) > 0.

טיפים:

סרטוט קצר של הפרבולה מונע טעויות בקריאת התחום.
שימו לב לכיוון אי-השוויון ולהכללת/החרגת הקצוות.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לפתור אי-שוויונות ולפרש אותם גרפית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה!

אי-שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה

אי-שוויונות ממעלה ראשונה ושנייה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אי-שוויון ממעלה ראשונה

פתרו: 2x−6>02x - 6 > 02x−6>0

דוגמה 2: היפוך כיוון אי-השוויון

פתרו: −2x<6-2x < 6−2x<6

דוגמה 3: אי-שוויון ריבועי — שלילי בין השורשים

פתרו: (x−2)(x−4)<0(x - 2)(x - 4) < 0(x−2)(x−4)<0

דוגמה 4: אי-שוויון ריבועי — חיובי מחוץ לשורשים

פתרו: x2−9>0x^{2} - 9 > 0x2−9>0

בדיקה מהירה

דוגמה 5: המשמעות הגרפית של f(x) > g(x)

נתון f(x)=2x,g(x)=x+3f(x) = 2x, g(x) = x + 3f(x)=2x,g(x)=x+3. מצאו היכן f(x)>g(x)f(x) > g(x)f(x)>g(x)

דוגמה 6: f(x) ≤ g(x) המוביל לאי-שוויון ריבועי

נתון f(x)=x2,g(x)=2x+3f(x) = x^{2}, g(x) = 2x + 3f(x)=x2,g(x)=2x+3. פתרו f(x)≤g(x)f(x) \le g(x)f(x)≤g(x)

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להפוך את כיוון אי-השוויון

טעות נפוצה: מתעלמים מכיוון פתיחת הפרבולה

טעות נפוצה: מבלבלים בין משוואה לאי-שוויון בבעיית f(x)>g(x)f(x) > g(x)f(x)>g(x)

טעות נפוצה: טעות בהכללת או החרגת הקצוות

סיכום

תרגול נוסף

פתרו: $2x - 6 > 0$

פתרו: $-2x < 6$

פתרו: $(x - 2)(x - 4) < 0$

פתרו: $x^{2} - 9 > 0$

נתון $f(x) = 2x, g(x) = x + 3$ . מצאו היכן $f(x) > g(x)$

נתון $f(x) = x^{2}, g(x) = 2x + 3$ . פתרו $f(x) \le g(x)$

טעות נפוצה: מבלבלים בין משוואה לאי-שוויון בבעיית $f(x) > g(x)$