מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים

מבוא

מערכת משוואות היא אוסף של משוואות שצריכות להתקיים בו-זמנית. פתרון המערכת הוא זוג ערכים (x, y) שמספק את כל המשוואות. בשיעור זה נפתור מערכות שבהן המשוואות הן לכל היותר ממעלה שנייה (ישר ופרבולה, או שני ישרים), ונבין את המשמעות הגרפית: כל פתרון מתאים לנקודת חיתוך של הגרפים, ולכן מספר הפתרונות שווה למספר נקודות החיתוך.

מטרות השיעור

לפתור מערכת של שני ישרים בשיטת ההצבה ובשיטת החיבור
לפתור מערכת של ישר ופרבולה בשיטת ההצבה
להציג פתרון כזוג סדור (x, y) ולבדוק אותו בשתי המשוואות
להבין את המשמעות הגרפית: מספר הפתרונות = מספר נקודות החיתוך (שני / אחד / אפס)

הרעיון המרכזי

שיטת ההצבה

מבודדים נעלם אחד באחת המשוואות (או משתמשים בכך ששתי המשוואות נתונות כ- $y = \dots$ ).
מציבים את הביטוי במשוואה השנייה — מתקבלת משוואה בנעלם אחד.
פותרים את המשוואה.
מחזירים את הערך כדי למצוא את הנעלם השני.
כותבים את הפתרון כזוג סדור (x, y) ובודקים.

שיטת החיבור (לשני ישרים)

כאשר שתי המשוואות לינאריות, אפשר לחבר או לחסר אותן כדי לבטל נעלם אחד. לדוגמה, במערכת x + y = 5 ו-x - y = 1, חיבור המשוואות מבטל את y ונותן 2x = 6.

המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות

כל פתרון של המערכת הוא נקודת חיתוך של שני הגרפים.

ישר ופרבולה — לאחר ההצבה מתקבלת משוואה ריבועית, ומספר הפתרונות נקבע לפי הדיסקרימיננטה:

$Δ > 0$ — שתי נקודות חיתוך.
$Δ = 0$ — נקודת חיתוך אחת (הישר משיק לפרבולה).
$Δ < 0$ — אין נקודת חיתוך.

שני ישרים — נחתכים (פתרון יחיד), מקבילים (אין פתרון), או מתלכדים (אינסוף פתרונות).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני ישרים — שיטת החיבור

פתרו: $x + y = 5, x - y = 1$

x = 3,\; y = 2

שלב 1 — מחברים את המשוואות

(x + y) + (x - y) = 5 + 1 ⇐ 2x = 6

דוגמה 2: שני ישרים — שיטת ההצבה

פתרו: $y = 2x, y = x + 4$

x = 4,\; y = 8

שלב 1 — משווים את הביטויים ל-y

2x = x + 4

דוגמה 3: ישר ופרבולה — שני פתרונות

פתרו: $y = x^{2}, y = x + 2$

x^{2} = x + 2 \Rightarrow x = 2, x = - 1

הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות.

שלב 1 — מציבים $y = x^{2}$ בישר

x^{2} = x + 2

דוגמה 4: ישר ופרבולה — נקודת השקה (פתרון יחיד)

פתרו: $y = x^{2} - 2x, y = 2x - 4$

(x - 2)^{2} = 0 \Rightarrow x = 2

דיסקרימיננטה אפס ⇐ הישר משיק לפרבולה בנקודה אחת.

שלב 1 — מציבים

x^{2} - 2x = 2x - 4

בדיקה מהירה

פתרו את המערכת: $x + y = 5 , x - y = 1$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו את המערכת $y = x^{2} , y = x + 2$ . מהם הפתרונות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מערכת לא-לינארית (סכום ומכפלה)

פתרו: $x + y = 6, x \cdot y = 8$

x = 2, y = 4 או x = 4, y = 2

שלב 1 — מבטאים y

y = 6 - x

דוגמה 6: מציאת פרמטר לפי מספר נקודות החיתוך

עבור איזה k הישר $y = k$ משיק לפרבולה $y = x^{2} - 4x + 7$ ?

Δ = 4 k - 12 = 0 \Rightarrow k = 3

שלב 1 — משווים

x^{2} - 4x + 7 = k ⇐ x^{2} - 4x + (7 - k) = 0

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

עבור איזה ערך של k חותך הישר $y = k$ את הפרבולה $y = x^{2} - 4x + 7$ בנקודה אחת בלבד?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו את המערכת $y = x^{2} - 2x , y = 2x - 4$ . מה מספר הפתרונות והמשמעות הגרפית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: עוצרים אחרי מציאת x

במערכת $y = x^{2}, y = x + 2$ לא די ב-x = 2, x = -1 — הפתרונות הם (2, 4) ו-(-1, 1).

למה זה קורה?

מוצאים את ערכי x ושוכחים שהפתרון הוא זוג (x, y).

איך מתקנים?

לכל ערך של x חשבו את ערך ה-y המתאים, וכתבו את הפתרון כזוג סדור (x, y).

טעות נפוצה: מניחים שלישר ופרבולה תמיד שני פתרונות

ב- $y = x^{2} - 2 x, y = 2 x - 4$ מתקבל $(x - 2)^{2} = 0$ — פתרון יחיד (השקה), לא שניים.

למה זה קורה?

מתעלמים מהאפשרות של השקה (פתרון יחיד) או היעדר חיתוך.

איך מתקנים?

בדקו את הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית:

\Delta > 0

שתי נקודות

, \Delta = 0

השקה

, \Delta < 0

אין חיתוך.

טעות נפוצה: חושבים שלישרים מקבילים יש פתרון

y = 2x + 1,\; y = 2x + 5: השוואה נותנת 1 = 5 — סתירה, אין פתרון.

למה זה קורה?

לא בודקים את השיפועים ומחפשים נקודת חיתוך שאינה קיימת.

איך מתקנים?

ישרים בעלי שיפוע זהה וחיתוך שונה הם מקבילים — אין להם נקודת חיתוך, ולכן אין למערכת פתרון.

טעות נפוצה: טעות בהצבה חזרה למשוואה הלא-נכונה

תמיד אמתו את הזוג (x, y) בשתי המשוואות המקוריות.

למה זה קורה?

מציבים את x במשוואה שכבר עברה מניפולציה במקום במשוואה מקורית.

איך מתקנים?

הציבו את x באחת המשוואות המקוריות הפשוטות, ובדקו את הזוג בשתי המשוואות.

סיכום

מה למדנו?

שיטת ההצבה: מבודדים נעלם, מציבים במשוואה השנייה, פותרים, ומחזירים למציאת הנעלם השני.

שיטת החיבור: לשני ישרים — מחברים/מחסרים כדי לבטל נעלם.

המשמעות הגרפית — מספר הפתרונות = מספר נקודות החיתוך:

ישר ופרבולה: $Δ > 0$ שתי נקודות, $Δ = 0$ השקה, $Δ < 0$ אין חיתוך.
שני ישרים: נחתכים (פתרון יחיד), מקבילים (אין), מתלכדים (אינסוף).

טיפים:

הפתרון הוא זוג סדור (x, y) — אל תשכחו את y.
אמתו את הזוג בשתי המשוואות המקוריות.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לפתור מערכות משוואות ולפרש את מספר הפתרונות גרפית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון מערכות של שתי משוואות בשני נעלמים!

מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים

מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שני ישרים — שיטת החיבור

פתרו: x+y=5,x−y=1x + y = 5, x - y = 1x+y=5,x−y=1

דוגמה 2: שני ישרים — שיטת ההצבה

פתרו: y=2x,y=x+4y = 2x, y = x + 4y=2x,y=x+4

דוגמה 3: ישר ופרבולה — שני פתרונות

פתרו: y=x2,y=x+2y = x^{2}, y = x + 2y=x2,y=x+2

דוגמה 4: ישר ופרבולה — נקודת השקה (פתרון יחיד)

פתרו: y=x2−2x,y=2x−4y = x^{2} - 2x, y = 2x - 4y=x2−2x,y=2x−4

בדיקה מהירה

דוגמה 5: מערכת לא-לינארית (סכום ומכפלה)

פתרו: x+y=6,x⋅y=8x + y = 6, x \cdot y = 8x+y=6,x⋅y=8

דוגמה 6: מציאת פרמטר לפי מספר נקודות החיתוך

עבור איזה k הישר y=ky = ky=k משיק לפרבולה y=x2−4x+7y = x^{2} - 4x + 7y=x2−4x+7?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: עוצרים אחרי מציאת x

טעות נפוצה: מניחים שלישר ופרבולה תמיד שני פתרונות

טעות נפוצה: חושבים שלישרים מקבילים יש פתרון

טעות נפוצה: טעות בהצבה חזרה למשוואה הלא-נכונה

סיכום

תרגול נוסף

פתרו: $x + y = 5, x - y = 1$

פתרו: $y = 2x, y = x + 4$

פתרו: $y = x^{2}, y = x + 2$

פתרו: $y = x^{2} - 2x, y = 2x - 4$

פתרו: $x + y = 6, x \cdot y = 8$

עבור איזה k הישר $y = k$ משיק לפרבולה $y = x^{2} - 4x + 7$ ?