בעיות קיצון יישומיות

מבוא

עכשיו, כשאנחנו יודעים למצוא קיצון בעזרת הנגזרת, נפנה אל הלב של הנושא: בעיות מילוליות. בבעיות אלו אף אחד לא נותן לנו את הפונקציה — אנחנו צריכים לבנות אותה בעצמנו מתוך התיאור המילולי. נתאמן על ארבעת ההקשרים שמופיעים בתכנית: בעיות מספרים, פונקציות וגרפים, בעיות גאומטריות במישור ובעיות כלכליות.

מטרות השיעור

להגדיר משתנה מתאים ולנסח פונקציית מטרה במשתנה אחד תוך שימוש באילוץ הנתון.
לקבוע את התחום הריאלי של המשתנה (אורכים וכמויות חיוביים).
לגזור, לפתור f'(x)=0 ולאמת שמדובר במקסימום או במינימום.
לחזור לשאלה ולענות על הגודל שהתבקש (שטח, רווח, מרחק, נפח).
ליישם את כל אלה על בעיות מספרים, גרפים, גאומטריה וכלכלה.

הרעיון המרכזי

חמשת השלבים בבעיית קיצון מילולית

הגדרת משתנה: בוחרים גודל לא ידוע ומסמנים אותו ב-x.
פונקציית מטרה: מבטאים את הגודל שרוצים למקסם/למזער כפונקציה של x בלבד — משתמשים באילוץ הנתון כדי לצמצם לשני משתנים לאחד.
תחום ריאלי: קובעים אילו ערכי x הגיוניים (למשל אורך חיובי).
גזירה ופתרון: גוזרים, פותרים f'(x)=0, מאמתים בעזרת שינוי סימן, ובוחרים פתרון בתחום.
תשובה בהקשר: מציבים בפונקציה המקורית ועונים על מה שנשאל — לא עוצרים ב-x!

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בעיית מספרים

סכום שני מספרים הוא 20. מהו סכום הריבועים המינימלי?

S (x) = x^{2} + (20 - x)^{2}, S^{'} (x) = 4 x - 40 = 0 \Rightarrow x = 10, S (10) = 200

שלב 1 — משתנה

מספר אחד x, השני

20 - x

דוגמה 2: פונקציות וגרפים

נקודה (x,y) על הישר $y = 8 - x$ ברביע הראשון. מתי מכפלת השיעורים מקסימלית?

P (x) = 8 x - x^{2}, P^{'} (x) = 8 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 4, P (4) = 16

שלב 1 — משתנה ואילוץ

הנקודה על הישר:

y = 8 - x

, עם

x ∈ (0,8)

דוגמה 3: בעיה גאומטרית במישור

גדר באורך 40 מ' לשלוש צלעות של מכלאה מלבנית הצמודה לקיר. מהו השטח המקסימלי?

A (x) = 40 x - 2 x^{2}, A^{'} (x) = 40 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 10, A (10) = 200

שלב 1 — משתנה

x =

אורך כל צלע ניצבת לקיר (שתי צלעות כאלה)

בדיקה מהירה

היקפו של מלבן הוא 20 ס"מ. נסמן צלע אחת ב-x (ס"מ). איזה ביטוי מתאר את שטח המלבן S כפונקציה של x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

היקפו של מלבן הוא 20 ס"מ. מהו השטח המקסימלי של המלבן (בסמ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חקלאי בונה גדר למכלאה מלבנית הצמודה לקיר ישר. לאורך הקיר אין צורך בגדר, וברשותו 40 מטר גדר עבור שלוש הצלעות האחרות. מהו השטח המקסימלי של המכלאה (במ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: בעיה כלכלית

הכנסה (₪) ממכירת x יחידות: $R(x) = -2x^{2} + 240x$ . כמה יחידות ממקסמות את ההכנסה?

R^{'} (x) = - 4 x + 240 = 0 \Rightarrow x = 60, R (60) = 7200

שלב 1 — פונקציית מטרה נתונה

R(x) = -2x^{2} + 240x

, עם

x \ge 0

תשובה מספרית

חברה מוכרת x יחידות מוצר. ההכנסה (בשקלים) נתונה על ידי $R(x) = -2x^{2} + 240x$ . כמה יחידות יש למכור כדי למקסם את ההכנסה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: בעיה גאומטרית עם נפח (פונקציה ממעלה שלישית)

קופסה פתוחה מלוח $12 \times 12$ ס״מ: גוזרים ריבוע x מכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

V (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x, V^{'} (x) = 12 (x - 2) (x - 6) = 0 \Rightarrow x = 2, V (2) = 128

שימו לב: x=6 פוסל כי אז הבסיס מתאפס — חשוב לבחור פתרון בתחום הריאלי!

שלב 1 — משתנה

x =

צלע הריבוע הנגזר

=

גובה הקופסה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים פונקציה בשני משתנים

טעות: לגזור את $A = x \cdot y$ כפי שהוא.

נכון: להציב y = 8 - x ולקבל P(x) = x(8-x), ואז לגזור.

למה זה קורה?

התלמיד כותב למשל

A = x \cdot y

וגוזר, בלי להשתמש באילוץ כדי לצמצם למשתנה אחד.

איך מתקנים?

קודם מציבים את האילוץ (כמו

y = 8 - x)

כדי לקבל פונקציה במשתנה יחיד, ורק אז גוזרים.

טעות נפוצה: מתעלמים מהתחום הריאלי

בבעיית הקופסה, V'(x)=12(x-2)(x-6) מתאפס ב-x=2 וב-x=6, אך x=6 פוסל כי הבסיס 12-2x מתאפס.

למה זה קורה?

התלמיד בוחר פתרון של

f'(x)=0

שאינו הגיוני בהקשר (אורך שלילי, או x מחוץ לתחום).

איך מתקנים?

אורכים, שטחים וכמויות חייבים להיות חיוביים. בוחרים רק פתרון שנמצא בתחום הריאלי.

טעות נפוצה: עוצרים ב-x במקום לענות על השאלה

בבעיית המכלאה, x=10 אינו התשובה הסופית — השטח המבוקש הוא A(10)=200 מ"ר.

למה זה קורה?

התלמיד מוצא את x של הקיצון וחושב שסיים.

איך מתקנים?

חוזרים לשאלה: אם נשאל על שטח/רווח/נפח, מציבים את x בפונקציית המטרה ומדווחים את הערך המבוקש.

טעות נפוצה: לא מאמתים שזה מקסימום (או מינימום)

מקדם שלילי של $x^{2}$ ב- $R (x) = - 2 x^{2} + 240 x$ מבטיח מקסימום; אילו היה חיובי, היה מתקבל מינימום.

למה זה קורה?

התלמיד מניח שכל פתרון של

f'(x)=0

נותן את סוג הקיצון הנדרש.

איך מתקנים?

בודקים את שינוי סימן הנגזרת — + ל- − הוא מקסימום, − ל- + הוא מינימום. בבעיה כלכלית/גאומטרית ודאו שקיבלתם את הסוג הנכון.

טעות נפוצה: טעות בבניית פונקציית המטרה מהאילוץ

טעות: 2x + 2y = 40 (ארבע צלעות).

נכון: $2 x + y = 40 \Rightarrow y = 40 - 2 x$ (שלוש צלעות).

למה זה קורה?

בבעיית 'גדר לשלוש צלעות' התלמיד סופר ארבע צלעות במקום שלוש.

איך מתקנים?

קוראים בעיון: צמוד לקיר ⟹ צלע אחת לא מגודרת. הגדר מכסה שתי צלעות x וצלע אחת

40 - 2x

סיכום

מה למדנו?

חמשת השלבים בבעיית קיצון מילולית:

משתנה — מסמנים גודל לא ידוע ב-x.
פונקציית מטרה — מבטאים במשתנה אחד בעזרת האילוץ.
תחום ריאלי — אורכים וכמויות חיוביים.
גזירה, פתרון ואימות — f'(x)=0 + שינוי סימן.
תשובה בהקשר — מציבים ועונים על מה שנשאל.

ארבעת ההקשרים: בעיות מספרים, פונקציות וגרפים, בעיות גאומטריות במישור, בעיות כלכליות.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לתרגם בעיה מילולית לפונקציה, למצוא את הערך המיטבי ולענות נכון בהקשר.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות קיצון יישומיות מכל ארבעת ההקשרים!

בעיות קיצון יישומיות

בעיות קיצון יישומיות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בעיית מספרים

סכום שני מספרים הוא 20. מהו סכום הריבועים המינימלי?

דוגמה 2: פונקציות וגרפים

נקודה (x,y) על הישר y=8−xy = 8 - xy=8−x ברביע הראשון. מתי מכפלת השיעורים מקסימלית?

דוגמה 3: בעיה גאומטרית במישור

גדר באורך 40 מ' לשלוש צלעות של מכלאה מלבנית הצמודה לקיר. מהו השטח המקסימלי?

דוגמה 4: בעיה כלכלית

הכנסה (₪) ממכירת x יחידות: R(x)=−2x2+240xR(x) = -2x^{2} + 240xR(x)=−2x2+240x. כמה יחידות ממקסמות את ההכנסה?

דוגמה 5: בעיה גאומטרית עם נפח (פונקציה ממעלה שלישית)

קופסה פתוחה מלוח 12×1212 \times 1212×12 ס״מ: גוזרים ריבוע x מכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים פונקציה בשני משתנים

טעות נפוצה: מתעלמים מהתחום הריאלי

טעות נפוצה: עוצרים ב-x במקום לענות על השאלה

טעות נפוצה: לא מאמתים שזה מקסימום (או מינימום)

טעות נפוצה: טעות בבניית פונקציית המטרה מהאילוץ

סיכום

תרגול נוסף

נקודה (x,y) על הישר $y = 8 - x$ ברביע הראשון. מתי מכפלת השיעורים מקסימלית?

הכנסה (₪) ממכירת x יחידות: $R(x) = -2x^{2} + 240x$ . כמה יחידות ממקסמות את ההכנסה?

קופסה פתוחה מלוח $12 \times 12$ ס״מ: גוזרים ריבוע x מכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?