ערך קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור

מבוא

ביחידה זו נלמד כיצד הנגזרת מאפשרת לנו לאתר את הנקודה שבה פונקציה מקבלת את ערכה הגדול ביותר או הקטן ביותר. זהו הבסיס לכל "בעיות ערך הקיצון" — מבעיות מספרים ועד בעיות כלכליות. כאן נתמקד בכלי עצמו: איך מוצאים קיצון, ומה ההבדל בין תחום פתוח לתחום סגור.

מטרות השיעור

להבין שבנקודת קיצון פנימית של פונקציה גזירה מתקיים f'(x) = 0.
למצוא נקודות קיצון על ידי פתרון f'(x) = 0 ובדיקת שינוי הסימן של הנגזרת.
להבדיל בין קיצון מקומי לקיצון מוחלט.
למצוא קיצון בתחום סגור על ידי השוואת ערכי הפונקציה בנקודות הפנימיות ובקצוות.
לגזור ולחקור גם פונקציות שורש מהצורה $y = f (x)$ ו- $y = g (x) f (x)$ .

הרעיון המרכזי

שיטת מציאת הקיצון

שלב 1 — גזירה: מחשבים את f'(x).

שלב 2 — נקודות חשודות: פותרים f'(x) = 0. הפתרונות הם המועמדים לקיצון פנימי.

שלב 3 — אימות בעזרת שינוי סימן:

אם הנגזרת עוברת מ-חיובי ל-שלילי → מקסימום (הפונקציה עולה ואז יורדת).
אם הנגזרת עוברת מ-שלילי ל-חיובי → מינימום (הפונקציה יורדת ואז עולה).
אם הנגזרת אינה משנה סימן → אין קיצון (למשל נקודת פיתול אופקית).

שלב 4 — ערך הקיצון: מציבים את ה-x בפונקציה המקורית f(x).

תחום פתוח לעומת תחום סגור:

בתחום פתוח בודקים רק את הנקודות הפנימיות.
בתחום סגור [a,b] משווים את ערכי הפונקציה בנקודות הפנימיות החשודות וגם בשני הקצוות x=a ו-x=b, ובוחרים את הגדול ביותר (מקסימום מוחלט) או הקטן ביותר (מינימום מוחלט).

בדיקה מהירה

תנאי הכרחי לכך שבנקודה פנימית $x_{0}$ בתחום ההגדרה יש לפונקציה גזירה ערך קיצון הוא:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תזכורת — נגזרת של פונקציית שורש

לפי כלל השרשרת, עבור $y = f (x)$ מתקיים:

y^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}

מאחר שהמכנה $2 f (x)$ חיובי בכל תחום ההגדרה, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה f'(x) בלבד — עובדה שמקלה מאוד על בדיקת העלייה והירידה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום של פרבולה בתחום פתוח

מצאו את נקודת המינימום של $f(x) = x^{2} - 6x + 5$

f^{'} (x) = 2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3, f (3) = - 4

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 2x - 6

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ בתחום פתוח. באיזה ערך x מתקבל המינימום של הפונקציה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: קיצון מוחלט בתחום סגור

מצאו את הקיצון המוחלט של $f(x) = x^{3} - 3x$ בתחום [0, 3]

f (0) = 0, f (1) = - 2, f (3) = 18

שימו לב: הקצה x=3 נתן את הערך הגדול ביותר — לכן חובה לבדוק את הקצוות!

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x^{2} - 1)

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{3} - 3x$ בתחום הסגור [0, 3]. מהו הערך המקסימלי המוחלט של הפונקציה בתחום זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

נתונה פונקציית השורש $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ שתחום הגדרתה [−2, 2]. באיזה ערך x מתקבל הערך המקסימלי של הפונקציה? כתבו את ערך ה-x.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: קיצון של פונקציית שורש

מצאו את המקסימום של $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ בתחום [−2, 2]

f^{'} (x) = \frac{- x}{4 - x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 0, f (0) = 2

שלב 1 — גוזרים עם כלל השרשרת

f'(x) = (4-x^{2})' / (2\sqrt{4-x^{2}}) = -\frac{2x}{2\sqrt{4-x^{2}}} = -x / \sqrt{4-x^{2}}

דוגמה 4: מכפלת פולינום בשורש בתחום סגור

מצאו את הערך המקסימלי של $f(x) = x \cdot \sqrt{4 - x^{2}}$ בתחום [0, 2]

f^{'} (x) = \frac{4 - 2 x ^{2}}{4 - x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 2, f (2) = 2

שלב 1 — כלל המכפלה

f'(x) = 1 \cdot \sqrt{4-x^{2}} + x \cdot (-x/\sqrt{4-x^{2}}) = \sqrt{4-x^{2}} - x^{2}/\sqrt{4-x^{2}}

דוגמה 5: בעיית מספרים — שיטת העבודה המלאה

סכום שני מספרים אי-שליליים הוא 12. מהי המכפלה המקסימלית של אחד מהם בריבוע השני?

P (x) = 12 x^{2} - x^{3}, P^{'} (x) = 3 x (8 - x) = 0 \Rightarrow x = 8, P (8) = 256

שלב 1 — מגדירים משתנה

נסמן מספר אחד ב-x, אז השני הוא

12-x

, כאשר x ∈ [0,12].

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל אפס של הנגזרת הוא קיצון

עבור $f (x) = x^{3}$ מתקיים $f^{'} (x) = 3 x^{2} = 0$ ב-x=0, אך הנגזרת חיובית משני הצדדים — זו נקודת פיתול אופקית, לא קיצון.

למה זה קורה?

התלמיד פותר

f'(x)=0

ומיד מכריז על קיצון, בלי לבדוק שינוי סימן.

איך מתקנים?

חובה לבדוק את שינוי הסימן של הנגזרת. אם הנגזרת אינה מחליפה סימן, אין קיצון.

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק את קצות התחום הסגור

ב- $f (x) = x^{3} - 3 x$ בתחום [0,3], המקסימום המוחלט (18) מתקבל בקצה x=3, ולא בנקודה הפנימית x=1 (שהיא דווקא מינימום).

למה זה קורה?

התלמיד בודק רק נקודות פנימיות שבהן

f'(x)=0

איך מתקנים?

בתחום סגור [a,b] משווים את ערכי הפונקציה בנקודות הפנימיות וגם ב-

x=a

וב-

x=b

טעות נפוצה: מבלבלים בין קיצון מקומי לקיצון מוחלט

ערך הפונקציה בקצה התחום עשוי לעלות על ערכו של מקסימום מקומי פנימי. תמיד משווים את כל המועמדים זה לזה.

למה זה קורה?

התלמיד מוצא קיצון מקומי ומניח שהוא הקיצון המוחלט.

איך מתקנים?

קיצון מקומי הוא הגדול/קטן ביותר רק בסביבתו. קיצון מוחלט הוא הגדול/קטן ביותר בכל התחום — צריך להשוות את כל המועמדים.

טעות נפוצה: טעות בגזירת פונקציית שורש

טעות: $(4 - x^{2})^{'} = - 2 x$

נכון: $(4 - x^{2})^{'} = \frac{- 2 x}{2 4 - x ^{2}} = \frac{- x}{4 - x ^{2}}$

למה זה קורה?

שוכחים את כלל השרשרת וגוזרים

\sqrt{f(x})

כאילו היה f(x).

איך מתקנים?

הנגזרת של

\sqrt{f(x})

היא

f'(x) / (2\sqrt{f(x}))

. חובה לחלק ב-

2\sqrt{f(x})

ולכפול ב-f'(x).

טעות נפוצה: לא מגדירים את המשתנה ולא בונים פונקציית מטרה

בבעיית המספרים: תחילה מסמנים x ו-12-x, ואז כותבים $P (x) = x^{2} (12 - x)$ — ורק אחר כך גוזרים.

למה זה קורה?

בבעיה מילולית התלמיד מנסה לגזור לפני שהביע את הגודל הנדרש כפונקציה של משתנה אחד.

איך מתקנים?

קודם מגדירים משתנה, מבטאים את הגודל למיטוב כפונקציה של אותו משתנה (פונקציית מטרה), ורק אז גוזרים.

סיכום

מה למדנו?

שיטת מציאת הקיצון:

גוזרים: מוצאים את f'(x).
פותרים f'(x) = 0 — מאתרים נקודות חשודות.
בודקים שינוי סימן: + ל- − הוא מקסימום, − ל- + הוא מינימום.
מציבים בפונקציה המקורית כדי לקבל את ערך הקיצון.

תחום פתוח לעומת סגור:

פתוח — רק נקודות פנימיות.
סגור [a,b] — משווים נקודות פנימיות וקצוות.

פונקציית שורש: $(f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$ , והסימן נקבע ע"י המונה.

עכשיו אתם מוכנים ליישם את השיטה על בעיות אמיתיות — מספרים, גרפים, גאומטריה וכלכלה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת ערך קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור!

ערך קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור

ערך קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום של פרבולה בתחום פתוח

מצאו את נקודת המינימום של f(x)=x2−6x+5f(x) = x^{2} - 6x + 5f(x)=x2−6x+5

דוגמה 2: קיצון מוחלט בתחום סגור

מצאו את הקיצון המוחלט של f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3xf(x)=x3−3x בתחום [0, 3]

דוגמה 3: קיצון של פונקציית שורש

מצאו את המקסימום של f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}f(x)=4−x2​ בתחום [−2, 2]

דוגמה 4: מכפלת פולינום בשורש בתחום סגור

מצאו את הערך המקסימלי של f(x)=x⋅4−x2f(x) = x \cdot \sqrt{4 - x^{2}}f(x)=x⋅4−x2​ בתחום [0, 2]

דוגמה 5: בעיית מספרים — שיטת העבודה המלאה

סכום שני מספרים אי-שליליים הוא 12. מהי המכפלה המקסימלית של אחד מהם בריבוע השני?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל אפס של הנגזרת הוא קיצון

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק את קצות התחום הסגור

טעות נפוצה: מבלבלים בין קיצון מקומי לקיצון מוחלט

טעות נפוצה: טעות בגזירת פונקציית שורש

טעות נפוצה: לא מגדירים את המשתנה ולא בונים פונקציית מטרה

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את נקודת המינימום של $f(x) = x^{2} - 6x + 5$

מצאו את הקיצון המוחלט של $f(x) = x^{3} - 3x$ בתחום [0, 3]

מצאו את המקסימום של $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ בתחום [−2, 2]

מצאו את הערך המקסימלי של $f(x) = x \cdot \sqrt{4 - x^{2}}$ בתחום [0, 2]