פונקציות זוגיות, אי-זוגיות ופונקציות חזקה

מבוא

כשמסתכלים על גרף של פונקציה, לעיתים בולטת לעין סימטריה: חלק מהגרפים נראים כמו השתקפות במראה ביחס לציר ה-y, ואחרים נראים זהים לאחר סיבוב של $18 0^{\circ}$ סביב הראשית. לסימטריות האלה יש שם מתמטי מדויק — פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית — ואפשר לזהות אותן לא רק מהגרף אלא גם מהנוסחה, על ידי בדיקה אלגברית פשוטה. בשיעור זה נלמד את ההגדרות, נחבר אותן לסימטריה, ונשתמש בהן כדי לחקור את משפחת פונקציות החזקה $f (x) = x^{n}$ .

מטרות השיעור

להגדיר פונקציה זוגית באמצעות f(-x)=f(x) ולקשר אותה לסימטריה ביחס לציר ה-y
להגדיר פונקציה אי-זוגית באמצעות f(-x)=-f(x) ולקשר אותה לסימטריה ביחס לראשית
לבדוק זוגיות של פונקציה בעזרת חישוב f(-x) והשוואה
להבין שרוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי-זוגיות
לחקור את פונקציות החזקה $f (x) = x^{n}$ : סימטריה, מונוטוניות, חיוביות ושליליות וזוגיות, לפי זוגיות n

הרעיון המרכזי

הגדרות וזוגיות פונקציות חזקה

פונקציה זוגית: לכל x בתחום ההגדרה מתקיים f(-x)=f(x). הגרף סימטרי ביחס לציר ה-y.

פונקציה אי-זוגית: לכל x בתחום ההגדרה מתקיים f(-x)=-f(x). הגרף סימטרי ביחס לראשית.

פונקציה שאינה לא זוגית ולא אי-זוגית: אם אף אחד מהתנאים אינו מתקיים (המקרה השכיח ביותר).

פונקציות חזקה $f (x) = x^{n}$ (n טבעי):

n זוגי (למשל $x^{2}, x^{4}$ ): פונקציה זוגית, סימטרית ביחס לציר ה-y, יורדת עבור x<0 ועולה עבור x>0, מינימום ב-(0,0), ו- $f (x) \geq 0$ תמיד.
n אי-זוגי (למשל $x^{3}, x^{5}$ ): פונקציה אי-זוגית, סימטרית ביחס לראשית, עולה בכל תחום ההגדרה, ו-f(x) שלילית עבור x<0 וחיובית עבור x>0.

כל פונקציות החזקה עוברות דרך הראשית (0,0) ודרך הנקודה (1,1).

המפתח לבדיקת זוגיות הוא חישוב נכון של $(- x)^{n}$ : כאשר n זוגי $(- x)^{n} = x^{n}$ , וכאשר n אי-זוגי $(- x)^{n} = - x^{n}$ . מכאן נובע שמה השם: פונקציית חזקה "זוגית" כאשר החזקה זוגית.

בדיקה מהירה

איזה תנאי מגדיר פונקציה זוגית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בדיקת זוגיות של x²

בדקו אם $f(x) = x^{2}$ זוגית או אי-זוגית

f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)

שלב 1 — מחשבים f(−x)

f(-x) = (-x)^{2} = x^{2}

דוגמה 2: בדיקת זוגיות של x³

בדקו אם $f(x) = x^{3}$ זוגית או אי-זוגית

f (- x) = (- x)^{3} = - x^{3} = - f (x)

שלב 1 — מחשבים f(−x)

f(-x) = (-x)^{3} = -x^{3}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפונקציה $f(x) = x^{3}$ היא פונקציה אי-זוגית.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: פונקציה שאינה זוגית ואינה אי-זוגית

בדקו את הזוגיות של $f(x) = x^{2} + x$

f (- x) = x^{2} - x \neq = f (x), f (- x) \neq = - f (x)

שלב 1 — מחשבים f(−x)

f(-x) = (-x)^{2} + (-x) = x^{2} - x

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפונקציה $f(x) = x^{2} + x$ היא פונקציה זוגית, מפני שהיא כוללת את האיבר $x^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חקירת פונקציית החזקה f(x) = x⁴

חקרו את $f(x) = x^{4}:$ זוגיות, סימטריה, מונוטוניות וחיוביות

f (- x) = (- x)^{4} = x^{4} = f (x)

שלב 1 — זוגיות

f(-x) = (-x)^{4} = x^{4} = f(x)

. זוגית

(n=4

זוגי).

בדיקה מהירה

איזה תיאור נכון עבור פונקציית החזקה $f(x) = x^{4}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חקירת פונקציית החזקה f(x) = x⁵

חקרו את $f(x) = x^{5}:$ זוגיות, מונוטוניות וחיוביות

f (- x) = (- x)^{5} = - x^{5} = - f (x)

שלב 1 — זוגיות

f(-x) = (-x)^{5} = -x^{5} = -f(x)

. אי-זוגית

(n=5

אי-זוגי).

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הנחה שכל פונקציה זוגית או אי-זוגית

$f (x) = x^{2} + x$ אינה זוגית ואינה אי-זוגית, כי $f (- x) = x^{2} - x$ שונה גם מ-f(x) וגם מ--f(x).

למה זה קורה?

שתי המשפחות מקבלות הרבה תשומת לב, ונוצר רושם שכל פונקציה שייכת לאחת מהן.

איך מתקנים?

רוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי-זוגיות. תמיד בדקו את שני התנאים בנפרד.

טעות נפוצה: קביעת זוגיות לפי איבר בודד

ב- $f (x) = x^{2} + x$ האיבר $x^{2}$ זוגי, אבל האיבר x הורס את הסימטריה.

למה זה קורה?

רואים

x^{2}

ומסיקים מיד 'זוגית', בלי לבדוק את שאר האיברים.

איך מתקנים?

זוגיות נקבעת על פי הפונקציה כולה. חשבו את f(−x) במלואו והשוו ל-f(x).

טעות נפוצה: חישוב שגוי של $(-x)^{n}$

טעות: $(- x)^{3} = x^{3}$

נכון: $(- x)^{3} = - x^{3}$

למה זה קורה?

בלבול בין השפעת חזקה זוגית לאי-זוגית על הסימן.

איך מתקנים?

(-x)^{n} = x^{n}

כש-n זוגי, ו-

(-x)^{n} = -x^{n}

כש-n אי-זוגי.

טעות נפוצה: בלבול בין סימטריה ביחס לציר y לסימטריה ביחס לראשית

$f (x) = x^{4}$ סימטרית ביחס לציר ה-y (זוגית), ואילו $f (x) = x^{3}$ סימטרית ביחס לראשית (אי-זוגית).

למה זה קורה?

שתי הסימטריות נראות דומות אך מתאימות למשפחות שונות.

איך מתקנים?

פונקציה זוגית סימטרית ביחס לציר ה-y (כמו פרבולה). פונקציה אי-זוגית סימטרית ביחס לראשית (כמו

x^{3})

סיכום

מה למדנו?

פונקציה זוגית: f(-x)=f(x) — סימטרית ביחס לציר ה-y.

פונקציה אי-זוגית: f(-x)=-f(x) — סימטרית ביחס לראשית.

רוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי-זוגיות — תמיד בודקים את שני התנאים.

פונקציות חזקה $f (x) = x^{n}$ :

n זוגי → זוגית, מינימום ב-(0,0), אי-שלילית
n אי-זוגי → אי-זוגית, עולה תמיד, מחליפה סימן בראשית

זכרו את החישוב המכריע: $(- x)^{n} = x^{n}$ ל-n זוגי, ו- $(- x)^{n} = - x^{n}$ ל-n אי-זוגי. כל הכבוד!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פונקציות זוגיות, אי-זוגיות ופונקציות חזקה!

פונקציות זוגיות, אי-זוגיות ופונקציות חזקה

פונקציות זוגיות, אי-זוגיות ופונקציות חזקה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בדיקת זוגיות של x²

בדקו אם f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2 זוגית או אי-זוגית

דוגמה 2: בדיקת זוגיות של x³

בדקו אם f(x)=x3f(x) = x^{3}f(x)=x3 זוגית או אי-זוגית

דוגמה 3: פונקציה שאינה זוגית ואינה אי-זוגית

בדקו את הזוגיות של f(x)=x2+xf(x) = x^{2} + xf(x)=x2+x

דוגמה 4: חקירת פונקציית החזקה f(x) = x⁴

חקרו את f(x)=x4:f(x) = x^{4}:f(x)=x4: זוגיות, סימטריה, מונוטוניות וחיוביות

דוגמה 5: חקירת פונקציית החזקה f(x) = x⁵

חקרו את f(x)=x5:f(x) = x^{5}:f(x)=x5: זוגיות, מונוטוניות וחיוביות

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הנחה שכל פונקציה זוגית או אי-זוגית

טעות נפוצה: קביעת זוגיות לפי איבר בודד

טעות נפוצה: חישוב שגוי של (−x)n(-x)^{n}(−x)n

טעות נפוצה: בלבול בין סימטריה ביחס לציר y לסימטריה ביחס לראשית

סיכום

תרגול נוסף

בדקו אם $f(x) = x^{2}$ זוגית או אי-זוגית

בדקו אם $f(x) = x^{3}$ זוגית או אי-זוגית

בדקו את הזוגיות של $f(x) = x^{2} + x$

חקרו את $f(x) = x^{4}:$ זוגיות, סימטריה, מונוטוניות וחיוביות

חקרו את $f(x) = x^{5}:$ זוגיות, מונוטוניות וחיוביות

טעות נפוצה: חישוב שגוי של $(-x)^{n}$