פונקציית השורש f(x)=√x

מבוא

עד כה פגשנו פונקציות שמוגדרות עבור כל המספרים הממשיים — פונקציות לינאריות, ריבועיות ופונקציות חזקה. פונקציית השורש $f (x) = x$ שונה מהן בנקודה מהותית: היא מוגדרת רק עבור חלק מהמספרים. הסיבה פשוטה — אי אפשר להוציא שורש ריבועי ממספר שלילי במספרים הממשיים. מגבלה זו הופכת את תחום ההגדרה לשאלה המרכזית בחקירת פונקציות שורש, ובשיעור זה נלמד למצוא אותו גם בפונקציות שורש מורכבות.

מטרות השיעור

להבין מדוע תחום ההגדרה של $f (x) = x$ הוא $x \geq 0$
לזהות את תחום הערכים $y \geq 0$ ואת נקודת הקצה (0,0)
לתאר את המונוטוניות: הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה
למצוא תחום הגדרה של פונקציות שורש מורכבות כמו $2 x - 8$ ו- $10 - 2 x$ בעזרת אי-שוויון
לזכור שהשורש הריבועי הראשי מחזיר תמיד ערך אי-שלילי

הרעיון המרכזי

תכונות פונקציית השורש

הפונקציה $f (x) = x$ :

תחום הגדרה: $x \geq 0$ (הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי)
תחום ערכים: $y \geq 0$ (השורש הראשי אי-שלילי)
נקודת קצה: (0,0) — שם הגרף מתחיל
מונוטוניות: עולה בכל תחום ההגדרה
נקודות מוכרות: (0,0),\ (1,1),\ (4,2),\ (9,3)
הפונקציה אינה זוגית ואינה אי-זוגית (תחום ההגדרה אינו סימטרי ביחס לראשית)

מציאת תחום הגדרה כללי: עבור $f (x) = g (x)$ פותרים את אי-השוויון $g (x) \geq 0$ .

חשוב להבחין: כשמדברים על פונקציית השורש, מתכוונים תמיד לשורש הראשי (האי-שלילי). לכן $9 = 3$ ולא $\pm 3$ . הסימן $\pm$ מופיע רק כשפותרים משוואה כמו $x^{2} = 9$ , וזה דבר אחר.

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x) = √x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ערכים ונקודות על הגרף

חשבו את $f(0), f(1), f(4), f(9)$ עבור $f(x)=√x$

f (4) = 4 = 2, f (9) = 9 = 3

שלב 1 — מציבים

f(0)=\sqrt{0}=0; f(1)=\sqrt{1}=1; f(4)=\sqrt{4}=2; f(9)=\sqrt{9}=3

דוגמה 2: תחום הגדרה של √(x−3)

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x-3}$

x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3

שלב 1 — תנאי השורש

הביטוי תחת השורש אי-שלילי:

x - 3 \ge 0

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = √x$ . מהו הערך של $f(9)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: תחום הגדרה של √(2x−8)

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{2x-8}$

2 x - 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4

שלב 1 — תנאי השורש

2x - 8 \ge 0

דוגמה 4: תחום הגדרה עם מקדם שלילי — √(10−2x)

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{10-2x}$

10 - 2 x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5

שלב 1 — תנאי השורש

10 - 2x \ge 0

דוגמה 5: בדיקה אם נקודה על הגרף

האם הנקודה $(4, 2)$ נמצאת על הגרף של $f(x)=√x$ ? ומה לגבי $(9, -3)$ ?

9 = 3 \neq = - 3

שלב 1 — בודקים $(4,2)$

f(4)=\sqrt{4}=2

. אכן

2=2

, ולכן

(4,2)

על הגרף.

בדיקה מהירה

איזו מהנקודות הבאות נמצאת על הגרף של $f(x) = √x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שפונקציית שורש מוגדרת לכל x

$f (x) = x$ אינה מוגדרת עבור x<0, למשל $- 4$ אינו מספר ממשי.

למה זה קורה?

מתרגלים לפונקציות פולינומיות שמוגדרות בכל מקום ושוכחים את מגבלת השורש.

איך מתקנים?

הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי. תמיד פותרים את התנאי

g(x) \ge 0

תשובה קצרה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x - 8}$ ? כתבו בצורה $x \ge$ מספר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: פותרים את תנאי התחום כמשוואה במקום כאי-שוויון

עבור $x - 3$ : התחום הוא $x \geq 3$ (קרן שלמה), ולא רק הנקודה x=3.

למה זה קורה?

מבלבלים בין מציאת נקודת קצה

(=0)

לבין מציאת התחום כולו

( \ge 0)

איך מתקנים?

תחום ההגדרה הוא אי-שוויון:

g(x) \ge 0

, ולא רק הנקודה

g(x)=0

טעות נפוצה: כותבים שורש כערך עם ±

טעות: $9 = \pm 3$

נכון: $9 = 3$

למה זה קורה?

מערבבים בין פתרון משוואה

x^{2}=a

לבין חישוב פונקציית השורש.

איך מתקנים?

השורש הראשי תמיד אי-שלילי:

\sqrt{9} = 3

, לא

\pm 3

. הסימן ± שייך לפתרון משוואה ריבועית.

טעות נפוצה: שכחת היפוך כיוון אי-השוויון בחלוקה במספר שלילי

מ- $- 2 x \geq - 10$ מקבלים $x \leq 5$ (הכיוון התהפך), ולא $x \geq 5$ .

למה זה קורה?

מתייחסים לאי-שוויון כמו למשוואה כשמחלקים במספר שלילי.

איך מתקנים?

בחלוקה (או כפל) במספר שלילי הופכים את כיוון אי-השוויון. עדיף לבודד את x כך שהמקדם חיובי.

סיכום

מה למדנו?

פונקציית השורש $f (x) = x$ :

תחום הגדרה $x \geq 0$ , תחום ערכים $y \geq 0$
נקודת קצה (0,0), עוברת דרך (1,1), (4,2), (9,3)
עולה בכל תחום הגדרתה
אינה זוגית ואינה אי-זוגית

מציאת תחום הגדרה של $g (x)$ : פותרים $g (x) \geq 0$ — וזכרו להפוך את כיוון אי-השוויון בחלוקה במספר שלילי.

זכרו: השורש הראשי אי-שלילי תמיד. כל הכבוד!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פונקציית השורש ועל מציאת תחום הגדרה!

פונקציית השורש f(x)=√x

פונקציית השורש f(x)=√x

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ערכים ונקודות על הגרף

חשבו את f(0),f(1),f(4),f(9)f(0), f(1), f(4), f(9)f(0),f(1),f(4),f(9) עבור f(x)=√xf(x)=√xf(x)=√x

דוגמה 2: תחום הגדרה של √(x−3)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=x−3f(x)=\sqrt{x-3}f(x)=x−3​

דוגמה 3: תחום הגדרה של √(2x−8)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=2x−8f(x)=\sqrt{2x-8}f(x)=2x−8​

דוגמה 4: תחום הגדרה עם מקדם שלילי — √(10−2x)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=10−2xf(x)=\sqrt{10-2x}f(x)=10−2x​

דוגמה 5: בדיקה אם נקודה על הגרף

האם הנקודה (4,2)(4, 2)(4,2) נמצאת על הגרף של f(x)=√xf(x)=√xf(x)=√x? ומה לגבי (9,−3)(9, -3)(9,−3)?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שפונקציית שורש מוגדרת לכל x

טעות נפוצה: פותרים את תנאי התחום כמשוואה במקום כאי-שוויון

טעות נפוצה: כותבים שורש כערך עם ±

טעות נפוצה: שכחת היפוך כיוון אי-השוויון בחלוקה במספר שלילי

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את $f(0), f(1), f(4), f(9)$ עבור $f(x)=√x$

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x-3}$

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{2x-8}$

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{10-2x}$

האם הנקודה $(4, 2)$ נמצאת על הגרף של $f(x)=√x$ ? ומה לגבי $(9, -3)$ ?