טרנספורמציות של פונקציות וערך מוחלט

מבוא

אחד הרעיונות היפים בחקר הפונקציות הוא שאפשר לקבל גרפים חדשים רבים מתוך גרף בסיס אחד, בלי לחשב מחדש את כל הנקודות. שינוי קטן בנוסחה — הוספת קבוע, הכפלה ב-(−1), החלפת סימן — גורם לתזוזה, שיקוף או מתיחה צפויים של הגרף כולו. בשיעור זה נלמד את "מילון" הטרנספורמציות: לכל שינוי בנוסחה תואמת פעולה גאומטרית על הגרף. נסיים בטרנספורמציה מיוחדת — הערך המוחלט של פונקציה — שיש לה הן משמעות אלגברית והן משמעות גרפית מאוד ויזואלית.

מטרות השיעור

הזזה אנכית y=f(x)+k: למעלה עבור k>0, למטה עבור k<0
הזזה אופקית y=f(x-p): ימינה עבור p>0, שמאלה עבור p<0
שיקוף ביחס לציר ה-x: y=-f(x)
שיקוף ביחס לציר ה-y: y=f(-x)
מתיחה וכיווץ $y = a \cdot f (x)$ : כיווץ עבור |a|>1, מתיחה עבור |a|<1
ערך מוחלט y=|f(x)|: משמעות אלגברית וגרפית

הרעיון המרכזי

מילון הטרנספורמציות

תהי y=f(x) פונקציית הבסיס.

טרנספורמציה	נוסחה	מה קורה לגרף
הזזה אנכית	y=f(x)+k	k יחידות מעלה (k>0) או מטה (k<0)
הזזה אופקית	y=f(x-p)	p יחידות ימינה (p>0) או שמאלה (p<0)
שיקוף בציר x	y=-f(x)	כל נקודה $(x, y) \to (x, - y)$
שיקוף בציר y	y=f(-x)	כל נקודה $(x, y) \to (- x, y)$
מתיחה/כיווץ	$y = a \cdot f (x)$	כיווץ אם $∣ a ∣ > 1$ , מתיחה אם $∣ a ∣ < 1$

שתי אזהרות חשובות:

הזזה אופקית הפוכה לאינטואיציה: הסימן בתוך הפונקציה מטעה — f(x-2) מזיז ימינה.
אל תבלבלו בין השיקופים: הסימן מחוץ לפונקציה (-f(x)) משקף בציר ה-x; הסימן בתוך הפונקציה (f(-x)) משקף בציר ה-y.

הערך המוחלט של פונקציה

משמעות אלגברית: |f(x)| = f(x) כאשר $f (x) \geq 0$ , ו-|f(x)| = -f(x) כאשר f(x)<0.

משמעות גרפית: משקפים אל מעל ציר ה-x את כל חלקי הגרף שנמצאים מתחתיו; החלקים שמעל הציר נשארים ללא שינוי. כתוצאה מכך, כל הגרף של |f(x)| נמצא על ציר ה-x או מעליו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזות אנכית ואופקית

תארו כיצד מתקבל הגרף של $y = (x - 3)^{2} + 2$ מתוך $y = x^{2}$

y = (x - 3)^{2} + 2

שלב 1 — מזהים הזזה אופקית

החלק

(x - 3)

פירושו הזזה של 3 יחידות ימינה

(p=3>0)

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הגרף של $y = f(x - 2)$ מתקבל מהזזת הגרף של $y = f(x)$ ב-2 יחידות ימינה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שיקוף ביחס לציר ה-x

נתון שהגרף של f עובר דרך $(2, 5)$ ודרך $(-1, 3)$ . דרך אילו נקודות עובר $y = -f(x)$ ?

(x, y) \to (x, - y)

שלב 1 — הכלל

y = -f(x)

משקף ביחס לציר ה-x: (x, y) → (x, −y).

בדיקה מהירה

כיצד מתקבל הגרף של $y = f(x) + 3$ מתוך הגרף של $y = f(x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

ביחס לאיזה ציר משקפת הטרנספורמציה $y = -f(x)$ את הגרף של $y = f(x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שיקוף ביחס לציר ה-y

נתון שהגרף של f עובר דרך $(2, 5)$ . דרך איזו נקודה עובר $y = f(-x)$ ?

(x, y) \to (- x, y)

שלב 1 — הכלל

y = f(-x)

משקף ביחס לציר ה-y: (x, y) → (−x, y).

דוגמה 4: מתיחה וכיווץ

מהי השפעת $y = 2 \cdot f(x)$ ומהי השפעת $y = \frac{1}{2} \cdot f(x)$ על הגרף?

y = a \cdot f (x)

שלב 1 — $y = 2 \cdot f(x)$

כאן

a=2

, ו-

|a|=2>1

, ולכן הגרף מתכווץ (נראה צר ותלול יותר).

דוגמה 5: ערך מוחלט של פונקציה — אלגברית

נתון $f(x) = x - 4$ . חשבו את $|f(1)|$ ואת $|f(6)|$

∣ f (1) ∣ = ∣ - 3∣ = 3, ∣ f (6) ∣ = ∣2∣ = 2

שלב 1 — $|f(1)|$

f(1) = 1 - 4 = -3

, ולכן

|f(1)| = |-3| = 3

דוגמה 6: ערך מוחלט של פונקציה — גרפית

כיצד נראה הגרף של $y = |x - 4|$ ביחס לגרף של $y = x - 4$ ?

y = |x - 4|

שלב 1 — הגרף המקורי

y = x - 4

הוא ישר החותך את ציר ה-x ב-

x=4

. משמאל ל-4 הוא שלילי, מימין ל-4 הוא חיובי.

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 5$ . מהו הערך של $|f(2)| ($ הערך המוחלט של f בנקודה $x=2)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הגרף של $y = |f(x)|$ מתקבל על ידי שיקוף החלקים של גרף f הנמצאים מתחת לציר ה-x אל מעליו, בעוד שהחלקים שמעל הציר נשארים ללא שינוי.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הזזה אופקית בכיוון ההפוך

y = f(x-2) מזיז 2 ימינה, ולא שמאלה.

למה זה קורה?

הסימן בתוך הפונקציה

(x - p)

נראה כמו 'מינוס' ומזמין לחשוב על תזוזה שמאלה.

איך מתקנים?

ההפך הוא הנכון:

y = f(x - p)

מזיז ימינה עבור p חיובי, ו-

y = f(x + p)

מזיז שמאלה.

טעות נפוצה: החלפה בין שני סוגי השיקוף

y=-f(x) ביחס לציר ה-x; y=f(-x) ביחס לציר ה-y.

למה זה קורה?

שני השיקופים כוללים סימן מינוס, וקל להתבלבל איזה סימן שייך לאיזה ציר.

איך מתקנים?

מינוס מחוץ לפונקציה, −f(x), משקף בציר ה-x. מינוס בתוך הפונקציה, f(−x), משקף בציר ה-y.

טעות נפוצה: חושבים ש-|f(x)| משקף את כל הגרף

ב-y=|x-4|, החלק $x \geq 4$ (שכבר חיובי) אינו משתנה, ורק החלק x<4 משוקף.

למה זה קורה?

מזהים 'ערך מוחלט' עם 'שיקוף' ושוכחים שרק החלק השלילי משתנה.

איך מתקנים?

רק החלקים שמתחת לציר ה-x משוקפים כלפי מעלה. החלקים שכבר מעל הציר נשארים במקומם.

טעות נפוצה: בלבול בין |f(x)| ל-f(|x|)

|f(x)| ו-f(|x|) הן טרנספורמציות שונות לחלוטין ומובילות לגרפים שונים.

למה זה קורה?

שני הביטויים נראים דומים אך פועלים במקומות שונים בנוסחה.

איך מתקנים?

|f(x)| לוקח ערך מוחלט של הפלט (משקף חלקים שליליים מעל ציר x). f(|x|) לוקח ערך מוחלט של הקלט (יוצר סימטריה ביחס לציר y).

טעות נפוצה: היפוך הכיוון של מתיחה וכיווץ

y=3f(x) מכווץ (|a|>1), ואילו $y = \frac{1}{3} f (x)$ מותח (|a|<1).

למה זה קורה?

קל לחשוב שהכפלה במספר גדול 'מותחת' את הגרף.

איך מתקנים?

לפי ההגדרה ביחידה זו:

|a|>1

מכווץ את הגרף (צר/תלול יותר), ו-

|a|<1

מותח אותו (רחב/שטוח יותר).

סיכום

מה למדנו?

מילון הטרנספורמציות של y=f(x):

f(x)+k: הזזה אנכית (מעלה/מטה)
f(x-p): הזזה אופקית (ימינה ל-p>0, שמאלה ל-p<0)
-f(x): שיקוף בציר ה-x
f(-x): שיקוף בציר ה-y
$a \cdot f (x)$ : כיווץ (|a|>1) או מתיחה (|a|<1)

ערך מוחלט |f(x)|: אלגברית — מפצלים לפי סימן f(x); גרפית — משקפים את החלקים השליליים אל מעל ציר ה-x.

זכרו: הזזה אופקית הפוכה לאינטואיציה, ואל תבלבלו בין -f(x) ל-f(-x). כל הכבוד — סיימתם את היחידה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על טרנספורמציות של פונקציות ועל הערך המוחלט!

טרנספורמציות של פונקציות וערך מוחלט

טרנספורמציות של פונקציות וערך מוחלט

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזות אנכית ואופקית

תארו כיצד מתקבל הגרף של y=(x−3)2+2y = (x - 3)^{2} + 2y=(x−3)2+2 מתוך y=x2y = x^{2}y=x2

דוגמה 2: שיקוף ביחס לציר ה-x

נתון שהגרף של f עובר דרך (2,5)(2, 5)(2,5) ודרך (−1,3)(-1, 3)(−1,3). דרך אילו נקודות עובר y=−f(x)y = -f(x)y=−f(x)?

דוגמה 3: שיקוף ביחס לציר ה-y

נתון שהגרף של f עובר דרך (2,5)(2, 5)(2,5). דרך איזו נקודה עובר y=f(−x)y = f(-x)y=f(−x)?

דוגמה 4: מתיחה וכיווץ

מהי השפעת y=2⋅f(x)y = 2 \cdot f(x)y=2⋅f(x) ומהי השפעת y=12⋅f(x)y = \frac{1}{2} \cdot f(x)y=21​⋅f(x) על הגרף?

דוגמה 5: ערך מוחלט של פונקציה — אלגברית

נתון f(x)=x−4f(x) = x - 4f(x)=x−4. חשבו את ∣f(1)∣|f(1)|∣f(1)∣ ואת ∣f(6)∣|f(6)|∣f(6)∣

דוגמה 6: ערך מוחלט של פונקציה — גרפית

כיצד נראה הגרף של y=∣x−4∣y = |x - 4|y=∣x−4∣ ביחס לגרף של y=x−4y = x - 4y=x−4?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הזזה אופקית בכיוון ההפוך

טעות נפוצה: החלפה בין שני סוגי השיקוף

טעות נפוצה: חושבים ש-|f(x)| משקף את כל הגרף

טעות נפוצה: בלבול בין |f(x)| ל-f(|x|)

טעות נפוצה: היפוך הכיוון של מתיחה וכיווץ

סיכום

תרגול נוסף

תארו כיצד מתקבל הגרף של $y = (x - 3)^{2} + 2$ מתוך $y = x^{2}$

נתון שהגרף של f עובר דרך $(2, 5)$ ודרך $(-1, 3)$ . דרך אילו נקודות עובר $y = -f(x)$ ?

נתון שהגרף של f עובר דרך $(2, 5)$ . דרך איזו נקודה עובר $y = f(-x)$ ?

מהי השפעת $y = 2 \cdot f(x)$ ומהי השפעת $y = \frac{1}{2} \cdot f(x)$ על הגרף?

נתון $f(x) = x - 4$ . חשבו את $|f(1)|$ ואת $|f(6)|$

כיצד נראה הגרף של $y = |x - 4|$ ביחס לגרף של $y = x - 4$ ?