הסתברות מותנית ונוסחת בייס

מבוא

לעיתים מגיע אלינו מידע חלקי ששינה את התמונה: "ידוע שהבדיקה יצאה חיובית", "ידוע שהתלמיד בן". מידע כזה מצמצם את העולם שעליו אנו מדברים, ומשנה את ההסתברויות. הכלי לטיפול בכך הוא ההסתברות המותנית, וממנה נגזרות שתי נוסחאות חזקות: נוסחת ההסתברות השלמה ונוסחת בייס.

מטרות השיעור

להגדיר ולחשב הסתברות מותנית $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
להבחין בין $P (A ∣ B)$ לבין $P (B ∣ A)$
לקרוא נתונים מטבלה דו-ממדית (2×2 או 2×3)
ליישם את נוסחת ההסתברות השלמה ואת נוסחת בייס

הרעיון המרכזי

הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ובייס

הסתברות מותנית (כש-P(B) > 0): $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$

כשמתנים על B, העולם "מצטמצם" ל-B, ולכן המכנה הוא P(B).

שימו לב: בדרך כלל $P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)$ — המכנים שונים.

נוסחת ההסתברות השלמה (לשני מאורעות): $P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) P (\overset{ˉ}{B})$

זהו ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות החלקיות.

נוסחת בייס: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A )}$

(שקולה לכתיב $P (A ∣ B) \cdot P (B) = P (B ∣ A) \cdot P (A)$ .)

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת הסתברות מותנית מטבלה דו-ממדית

נתונה טבלה על 200 תלמידים:

	פעיל בספורט	לא פעיל	סה"כ
בנים	80	40	120
בנות	20	60	80
סה"כ	100	100	200

בחרנו תלמיד הפעיל בספורט. מה ההסתברות שהוא בן?

P (בן ∣ ספורט) = \frac{80}{100} = 0.8

שלב 1 — מתנים על 'ספורט'

העולם מצטמצם ל-100 הפעילים בספורט.

בדיקה מהירה

מהי ההגדרה של ההסתברות המותנית P(A|B) (ההסתברות של A בהינתן B), כאשר $P(B)>0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בבית ספר 200 תלמידים. הטבלה הדו-ממדית: מבין 100 הפעילים בספורט, 80 הם בנים ו-20 בנות. בוחרים באקראי תלמיד הפעיל בספורט. מהי ההסתברות שהוא בן?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: P(A|B) שונה מ-P(B|A)

מאותה טבלה: השוו את P(בן|ספורט) ו-P(ספורט|בן)

P (בן ∣ ספורט) = 0.8 \neq = 0.667 = P (ספורט ∣ בן)

שלב 1 — P(בן|ספורט)

מתנים על ספורט (מכנה

100): \frac{80}{100} = 0.8

דוגמה 3: נוסחת ההסתברות השלמה

מפעל: מכונה A מייצרת $60\% (5\%$ פגומים), מכונה B מייצרת $40\% (10\%$ פגומים). מה ההסתברות שמוצר אקראי פגום?

P (פגום) = 0.05 \cdot 0.6 + 0.10 \cdot 0.4 = 0.07

שלב 1 — מפרקים לפי המקור

מוצר פגום הגיע ממכונה A או ממכונה B.

תשובה מספרית

במפעל שתי מכונות. מכונה A מייצרת 60% מהמוצרים, ו-5% מתוצרתה פגומים. מכונה B מייצרת 40% מהמוצרים, ו-10% מתוצרתה פגומים. בוחרים מוצר באקראי. מהי ההסתברות שהוא פגום? (לפי נוסחת ההסתברות השלמה)

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: נוסחת בייס

המשך: נבחר מוצר פגום. מה ההסתברות שיוצר במכונה A?

P (A ∣ פגום) = \frac{0.05 \cdot 0.6}{0.07} = \frac{0.03}{0.07} \approx 0.43

שלב 1 — מזהים את הכיוון

ידוע 'פגום', מבקשים את ההסתברות שהמקור A — זהו בייס.

תשובה מספרית

המשך הנתונים: מכונה A מייצרת $60\% (5\%$ פגומים), מכונה B מייצרת $40\% (10\%$ פגומים), ו-P(פגום) $=0.07$ . נבחר מוצר פגום. מהי ההסתברות שהוא יוצר במכונה A? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין P(A|B) ל-P(B|A)

$P (בן ∣ ספורט) = \frac{80}{100} = 0.8$ אבל $P (ספורט ∣ בן) = \frac{80}{120} \approx 0.667$ .

למה זה קורה?

שתי ההסתברויות נראות דומות.

איך מתקנים?

המכנה קובע על מה מתנים. P(A|B) — מכנה P(B); P(B|A) — מכנה P(A). הן שונות בדרך כלל.

טעות נפוצה: משתמשים במכנה שגוי בהסתברות מותנית

P(בן | ספורט) — מחלקים ב-100 (הפעילים בספורט), לא ב-200.

למה זה קורה?

ממשיכים לחלק במספר הכולל

(200)

במקום בגודל המאורע שמתנים עליו.

איך מתקנים?

כשמתנים על B, מחלקים ב-P(B) (או במספר התוצאות ב-B), כי העולם הצטמצם ל-B.

טעות נפוצה: שוכחים לשקלל בנוסחת ההסתברות השלמה

$P (פגום) = 0.05 \cdot 0.6 + 0.10 \cdot 0.4 = 0.07$ , ולא 0.05 + 0.10 = 0.15.

למה זה קורה?

מחברים את ההסתברויות המותנות ישירות:

0.05+0.10

איך מתקנים?

כל הסתברות מותנית מוכפלת במשקל שלה:

P(A)=P(A|B) \cdot P(B)+P(A|B̄) \cdot P(B̄)

טעות נפוצה: הופכים מונה ומכנה בנוסחת בייס

P (B ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A )}

P(A) — המאורע שהתרחש — תמיד במכנה.

למה זה קורה?

לא בטוחים מה הולך למעלה ומה למטה.

איך מתקנים?

בנוסחת בייס המכנה הוא P(A) (ההסתברות של המאורע שכבר ידוע), והמונה הוא

P(A|B) \cdot P(B)

סיכום

מה למדנו?

הסתברות מותנית: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ — מתנים על B, המכנה הוא P(B).
בדרך כלל $P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)$ .
טבלה דו-ממדית מאפשרת לקרוא הסתברויות מותנות ישירות: שורה/עמודה כמכנה.
הסתברות שלמה: $P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) P (\overset{ˉ}{B})$ — ממוצע משוקלל.
בייס: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A )}$ — הופך את כיוון ההתניה.

עבודה מצוינת! נוסחת בייס היא אחד הכלים החשובים ביותר בהסתברות. בשיעור הבא נראה כיצד עץ הסתברויות מארגן את כל החישובים האלה בצורה ויזואלית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הסתברות מותנית, הסתברות שלמה ונוסחת בייס!

הסתברות מותנית ונוסחת בייס

הסתברות מותנית ונוסחת בייס

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת הסתברות מותנית מטבלה דו-ממדית

בחרנו תלמיד הפעיל בספורט. מה ההסתברות שהוא בן?

דוגמה 2: P(A|B) שונה מ-P(B|A)

מאותה טבלה: השוו את P(בן|ספורט) ו-P(ספורט|בן)

דוגמה 3: נוסחת ההסתברות השלמה

מפעל: מכונה A מייצרת 60%(5%60\% (5\%60%(5% פגומים), מכונה B מייצרת 40%(10%40\% (10\%40%(10% פגומים). מה ההסתברות שמוצר אקראי פגום?

דוגמה 4: נוסחת בייס

המשך: נבחר מוצר פגום. מה ההסתברות שיוצר במכונה A?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין P(A|B) ל-P(B|A)

טעות נפוצה: משתמשים במכנה שגוי בהסתברות מותנית

טעות נפוצה: שוכחים לשקלל בנוסחת ההסתברות השלמה

טעות נפוצה: הופכים מונה ומכנה בנוסחת בייס

סיכום

תרגול נוסף

מפעל: מכונה A מייצרת $60\% (5\%$ פגומים), מכונה B מייצרת $40\% (10\%$ פגומים). מה ההסתברות שמוצר אקראי פגום?