מאורעות בלתי תלויים

מבוא

לעיתים הידיעה שמאורע אחד התרחש משנה את ההסתברות של מאורע אחר (כפי שראינו בהסתברות מותנית), ולעיתים היא אינה משנה דבר. כאשר מאורע אינו משפיע על השני, אנו אומרים שהם בלתי תלויים. בשיעור זה נכיר שלוש דרכים שקולות לבדוק אי-תלות, ונראה מדוע הן מובילות לאותה מסקנה.

מטרות השיעור

להבין את משמעות אי-התלות: מאורע אחד אינו משנה את ההסתברות של השני
להכיר את שלושת התנאים השקולים לאי-תלות
להבחין בין מאורעות זרים לבין מאורעות בלתי תלויים
ליישם את $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ לחישוב הסתברויות

הרעיון המרכזי

שלושת התנאים השקולים לאי-תלות

שני מאורעות A ו-B (עם הסתברות חיובית) הם בלתי תלויים אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים — והם שקולים זה לזה:

$P (A ∣ B) = P (A)$ — הידיעה ש-B קרה אינה משנה את הסיכוי של A.
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ — תנאי המכפלה.
$P (A ∣ B) = P (A ∣ \overset{ˉ}{B})$ — הסיכוי של A זהה בין אם B קרה ובין אם לא.

למה שקולים? מהגדרת ההסתברות המותנית, $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ . אם נציב את תנאי 1 נקבל $\frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = P (A)$ , וכפל ב-P(B) נותן בדיוק את תנאי 2. תנאי 3 אומר שהסיכוי של A קבוע בין אם B קרה או לא — וזה בדיוק המצב שבו B אינו משפיע, כלומר תנאי 1.

אזהרה: אי-תלות אינה זהות לזרות! מאורעות זרים (בעלי הסתברות חיובית) הם דווקא תלויים.

בדיקה מהירה

איזה מהתנאים הבאים שקול לכך ש-A ו-B הם מאורעות בלתי תלויים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב חיתוך באי-תלות

A ו-B בלתי תלויים $, P(A)=0.5, P(B)=0.4$ . מצאו P(A∩B)

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2

שלב 1 — בוחרים תנאי

תנאי המכפלה:

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B)

תשובה מספרית

A ו-B מאורעות בלתי תלויים, כאשר $P(A)=0.5$ ו- $P(B)=0.4$ . מהי ההסתברות P(A∩B)?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: בדיקת אי-תלות לפי תנאי המכפלה

קובייה: $A='$ זוגי $'={2,4,6}, B='$ גדול מ- $3'={4,5,6}$ . האם בלתי תלויים?

P (A \cap B) = \frac{1}{3} \neq = \frac{1}{4} = P (A) \cdot P (B)

שלב 1 — מחשבים הסתברויות

P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2,} P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

בדיקה מהירה

מטילים קובייה. נגדיר $A = '$ תוצאה זוגית $' = {2,4,6}$ ו- $B = '$ תוצאה גדולה מ- $3' = {4,5,6}$ . האם A ו-B בלתי תלויים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: 'לפחות אחד' באי-תלות

שני רכיבים בלתי תלויים תקינים בהסתברות 0.3 ו-0.4. מה ההסתברות שלפחות אחד תקין?

P (לפחות אחד) = 1 - 0.7 \cdot 0.6 = 0.58

שלב 1 — עוברים למשלים

'לפחות אחד תקין' = משלים של 'שניהם תקולים'.

תשובה מספרית

מערכת פועלת אם לפחות אחד משני רכיביה תקין. הרכיבים בלתי תלויים: P(רכיב 1 תקין) $=0.3, P($ רכיב 2 תקין) $=0.4$ . מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם תקין?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שילוב אי-תלות עם נוסחת האיחוד

A ו-B בלתי תלויים $, P(A)=0.6, P(B)=0.5$ . מצאו P(A∪B)

P (A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8

שלב 1 — חיתוך באי-תלות

P(A∩B)=0.6 \cdot 0.5=0.3

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין זרים לבלתי תלויים

אם A ו-B זרים (וחיוביים), אז $P (A \cap B) = 0 \neq = P (A) \cdot P (B)$ — ולכן תלויים.

למה זה קורה?

שני המושגים נשמעים כמו 'לא קשורים'.

איך מתקנים?

זרים:

P(A∩B)=0

. בלתי תלויים:

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B)

. מאורעות זרים (חיוביים) הם דווקא תלויים!

טעות נפוצה: משתמשים בנוסחת המכפלה למאורעות תלויים

לקובייה, A='זוגי' ו-B='גדול מ-3' תלויים, ולכן $P (A \cap B) = \frac{1}{3} \neq = P (A) P (B)$ .

למה זה קורה?

מיישמים

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B)

תמיד.

איך מתקנים?

הנוסחה הזו תקפה רק כשהמאורעות בלתי תלויים. אחרת:

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B|A)

טעות נפוצה: מסיקים אי-תלות מהתחושה במקום מבדיקה

אי-תלות היא טענה מספרית — חשבו ובדקו, אל תסתמכו על אינטואיציה בלבד.

למה זה קורה?

'הניסויים נראים נפרדים' אז מניחים אי-תלות.

איך מתקנים?

בדקו תמיד באמצעות אחד משלושת התנאים, למשל האם

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B)

טעות נפוצה: חושבים שאי-תלות תלויה בסדר

תנאי המכפלה $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ סימטרי לחלוטין ב-A וב-B.

למה זה קורה?

נדמה ש-'A בלתי תלוי ב-B' שונה מ-'B בלתי תלוי ב-A'.

איך מתקנים?

אי-תלות סימטרית: אם A בלתי תלוי ב-B, אז גם B בלתי תלוי ב-A. שלושת התנאים שקולים.

סיכום

מה למדנו?

שני מאורעות בלתי תלויים אם אחד אינו משנה את הסיכוי של השני. שלושת התנאים השקולים:

$P (A ∣ B) = P (A)$
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$
$P (A ∣ B) = P (A ∣ \overset{ˉ}{B})$

כדי לבדוק אי-תלות — נוח להשתמש בתנאי המכפלה.
כדי לחשב בהינתן אי-תלות — מכפילים: $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .
זרים ≠ בלתי תלויים: מאורעות זרים (חיוביים) הם תלויים.

מעולה! סיימתם את יחידת ההסתברות. עכשיו יש בידיכם את כל הכלים: מרחב מדגם, כללי ההסתברות, הסתברות מותנית ובייס, עצי הסתברות, ואי-תלות — כל מה שצריך כדי לנתח מצבים של אי-ודאות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי מאורעות בלתי תלויים ועל חישובים באי-תלות!

מאורעות בלתי תלויים

מאורעות בלתי תלויים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב חיתוך באי-תלות

A ו-B בלתי תלויים,P(A)=0.5,P(B)=0.4, P(A)=0.5, P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B)=0.4. מצאו P(A∩B)

דוגמה 2: בדיקת אי-תלות לפי תנאי המכפלה

קובייה: A=′A='A=′זוגי′=2,4,6,B=′'={2,4,6}, B='′=2,4,6,B=′גדול מ-3′=4,5,63'={4,5,6}3′=4,5,6. האם בלתי תלויים?

דוגמה 3: 'לפחות אחד' באי-תלות

שני רכיבים בלתי תלויים תקינים בהסתברות 0.3 ו-0.4. מה ההסתברות שלפחות אחד תקין?

דוגמה 4: שילוב אי-תלות עם נוסחת האיחוד

A ו-B בלתי תלויים,P(A)=0.6,P(B)=0.5, P(A)=0.6, P(B)=0.5,P(A)=0.6,P(B)=0.5. מצאו P(A∪B)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין זרים לבלתי תלויים

טעות נפוצה: משתמשים בנוסחת המכפלה למאורעות תלויים

טעות נפוצה: מסיקים אי-תלות מהתחושה במקום מבדיקה

טעות נפוצה: חושבים שאי-תלות תלויה בסדר

סיכום

תרגול נוסף

A ו-B בלתי תלויים $, P(A)=0.5, P(B)=0.4$ . מצאו P(A∩B)

קובייה: $A='$ זוגי $'={2,4,6}, B='$ גדול מ- $3'={4,5,6}$ . האם בלתי תלויים?

A ו-B בלתי תלויים $, P(A)=0.6, P(B)=0.5$ . מצאו P(A∪B)