כללי ההסתברות

מבוא

עכשיו, כשאנחנו יודעים לתאר ניסוי בעזרת מרחב המדגם והמאורעות, נצמיד לכל מאורע מספר — את ההסתברות שלו. ההסתברות מעריכה את הסיכוי שהמאורע יתרחש, ויש לה כמה כללים פשוטים שמלווים אותנו לאורך כל לימודי ההסתברות.

מטרות השיעור

להכיר את התחום $0 \leq P (A) \leq 1$ ואת P(U)=1, $P (\emptyset) = 0$
להבין את המונוטוניות: אם $A \subseteq B$ אז $P (A) \leq P (B)$
ליישם את נוסחת המאורע המשלים $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
ליישם את נוסחת האיחוד $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ואת חיבוריות המאורעות הזרים
לחשב הסתברות כשכיחות יחסית וכיחס שטחים

הרעיון המרכזי

כללי ההסתברות

לכל מאורע A במרחב מדגם U:

תחום: $0 \leq P (A) \leq 1$
מאורע ודאי: P(U) = 1
מאורע בלתי אפשרי: $P (\emptyset) = 0$
מונוטוניות: אם $A \subseteq B$ אז $P (A) \leq P (B)$
משלים: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
איחוד (כללי): $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
מאורעות זרים (כש- $A \cap B = \emptyset$ ): $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

אופן החישוב: כשכל התוצאות שוות-סיכוי, $P (A) = \frac{מספר התוצאות הרצויות}{מספר התוצאות הכולל}$ (שכיחות יחסית). כשהבחירה אחידה על פני שטח, $P (A) = \frac{שטח האזור הרצוי}{השטח הכולל}$ (יחס שטחים).

בדיקה מהירה

בהטלת קובייה נתון $A = {2} ($ התוצאה 2) ו- $B = {2,4,6} ($ זוגי), כך ש-A⊆B. מה נכון בהכרח לגבי ההסתברויות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הסתברות כשכיחות יחסית

מטילים קובייה. מהי ההסתברות לתוצאה גדולה מ-4?

P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

שלב 1 — מזהים את המאורע

תוצאה גדולה מ-4 היא {5,6} — 2 תוצאות.

תשובה מספרית

מטילים קובייה הוגנת. מהי ההסתברות לקבל תוצאה זוגית? כתבו כשבר עשרוני.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: המאורע המשלים

ההסתברות שתלמיד יעבור מבחן היא 0.8. מה ההסתברות שייכשל?

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0.8 = 0.2

שלב 1 — מזהים מאורע משלים

'נכשל' הוא המשלים של 'עבר'.

תשובה מספרית

ההסתברות שיירד גשם מחר היא $P(A) = 0.35$ . מהי ההסתברות שלא יירד גשם מחר?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: נוסחת האיחוד

נתון $P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2$ . מצאו P(A∪B)

P (A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7

שלב 1 — כותבים נוסחה

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

דוגמה 4: הסתברות כיחס שטחים

לוח ריבועי בצלע 10. ריבוע פנימי בצלע 6. מה ההסתברות לפגוע בפנימי?

P = \frac{6 ^{2}}{1 0 ^{2}} = \frac{36}{100} = 0.36

שלב 1 — שטח כולל

10^{2} = 100

תשובה מספרית

נתון $P(A) = 0.5, P(B) = 0.4$ ו- $P(A∩B) = 0.2$ . חשבו את P(A∪B).

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מקבלים הסתברות גדולה מ-1 או שלילית

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ בלי חיסור החיתוך עלול לתת תוצאה גדולה מ-1 — זהו סימן אזהרה!

למה זה קורה?

טעות חישוב, או חיבור הסתברויות בלי לחסר חיתוך.

איך מתקנים?

כל הסתברות מקיימת

0 \le P(A) \le 1

. אם קיבלתם 1.3 או מספר שלילי — חזרו ובדקו את החישוב.

טעות נפוצה: שוכחים לחסר את החיתוך בנוסחת האיחוד

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

מחסרים את החיתוך כדי לא לספור פעמיים.

למה זה קורה?

זוכרים רק

P(A)+P(B)

איך מתקנים?

עבור מאורעות שאינם זרים:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

. רק כשהמאורעות זרים החיתוך הוא 0.

טעות נפוצה: מחשבים את המשלים בצורה שגויה

אם P(A)=0.35 אז $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - 0.35 = 0.65$ , ולא 0.35 - 1 = -0.65.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין

1-P(A)

לבין

P(A)-1

איך מתקנים?

P(Ā) = 1 - P(A)

. זה תמיד יוצא בין 0 ל-1. הביטוי

P(A)-1

יוצא שלילי ולכן שגוי.

טעות נפוצה: הופכים את כיוון אי-השוויון במונוטוניות

${2} \subseteq {2, 4, 6}$ ולכן $P ({2}) = \frac{1}{6} \leq \frac{3}{6} = P ({2, 4, 6})$ .

למה זה קורה?

חושבים שמאורע 'מיוחד' יותר הוא סביר יותר.

איך מתקנים?

אם A⊆B אז

P(A) \le P(B)

. המאורע ה'גדול' (שמכיל) סביר יותר או שווה.

סיכום

מה למדנו?

כל הסתברות מקיימת $0 \leq P (A) \leq 1$ , עם P(U)=1 ו- $P (\emptyset) = 0$ .
מונוטוניות: $A \subseteq B \Rightarrow P (A) \leq P (B)$ .
משלים: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ — כלי רב-עוצמה לחישוב "לפחות אחד".
איחוד: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; עבור זרים מוותרים על החיתוך.
מחשבים הסתברות כשכיחות יחסית (יחס מספרי תוצאות) או כיחס שטחים.

מצוין! עכשיו אתם יודעים לחשב הסתברויות לפי הכללים. בשיעור הבא נוסיף מידע חלקי ונלמד הסתברות מותנית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על כללי ההסתברות ונוסחאות המשלים והאיחוד!

כללי ההסתברות

כללי ההסתברות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הסתברות כשכיחות יחסית

מטילים קובייה. מהי ההסתברות לתוצאה גדולה מ-4?

דוגמה 2: המאורע המשלים

ההסתברות שתלמיד יעבור מבחן היא 0.8. מה ההסתברות שייכשל?

דוגמה 3: נוסחת האיחוד

נתון P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A∩B)=0.2P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A∩B)=0.2. מצאו P(A∪B)

דוגמה 4: הסתברות כיחס שטחים

לוח ריבועי בצלע 10. ריבוע פנימי בצלע 6. מה ההסתברות לפגוע בפנימי?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מקבלים הסתברות גדולה מ-1 או שלילית

טעות נפוצה: שוכחים לחסר את החיתוך בנוסחת האיחוד

טעות נפוצה: מחשבים את המשלים בצורה שגויה

טעות נפוצה: הופכים את כיוון אי-השוויון במונוטוניות

סיכום

תרגול נוסף

נתון $P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.2$ . מצאו P(A∪B)