עץ הסתברויות

מבוא

כשניסוי מתבצע בכמה שלבים — הטלה אחרי הטלה, הוצאת כדור אחרי כדור — נוח לארגן את כל האפשרויות בעץ הסתברויות. העץ מתאר את כל המסלולים, ומאפשר לחשב הסתברויות בעזרת שני כללים פשוטים: כפל לאורך מסלול וחיבור בין מסלולים.

מטרות השיעור

לבנות עץ הסתברויות לניסוי דו-שלבי ותלת-שלבי
להבין שכל ענף בשלב מאוחר נושא הסתברות מותנית
לחשב הסתברות של מסלול בכפל הענפים שלאורכו
לחשב הסתברות של מאורע בחיבור המסלולים המתאימים

הרעיון המרכזי

שני כללי העץ

כלל הכפל (לאורך מסלול): ההסתברות של מסלול שלם היא מכפלת ההסתברויות שעל הענפים, כי מסלול הוא חיתוך של מאורעות עוקבים: $P (מסלול) = P (ענף_{1}) \cdot P (ענף_{2}) \cdot \dots$

הענפים בשלב השני ואילך הם הסתברויות מותנות בהינתן מה שקרה קודם.

כלל החיבור (בין מסלולים): אם מאורע מורכב מכמה מסלולים, מחברים את הסתברויותיהם (המסלולים זרים): $P (מאורע) = \sum P (מסלולים מתאימים)$

בדיקה: סכום ההסתברויות של כל הענפים היוצאים מאותו צומת הוא תמיד 1.

שליפה ללא החזרה: בשלב השני המכנה קטן ב-1 (הוצאנו כדור), וההרכב משתנה — ההסתברויות מותנות.

בדיקה מהירה

בעץ הסתברויות, כיצד מחשבים את ההסתברות של מסלול אחד (סדרת תוצאות לאורך הענפים מהשורש עד עלה)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שתי הטלות מטבע

מטילים מטבע הוגן פעמיים. מה ההסתברות לשני 'עץ'?

P (עץ, עץ) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25

שלב 1 — בונים עץ

מכל צומת יוצאים שני ענפים: עץ

(0.5)

ופלי

(0.5)

תשובה מספרית

מטילים מטבע הוגן פעמיים. בעזרת עץ הסתברויות, מהי ההסתברות לקבל 'עץ' בשתי ההטלות?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שליפה ללא החזרה — מסלול אחד

קופסה: 3 אדומים, 2 כחולים. מוציאים 2 ללא החזרה. מה ההסתברות לשני אדומים?

P (אדום, אדום) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0.3

שלב 1 — ענף ראשון

P(אדום ראשון)

= \frac{3}{5}

תשובה מספרית

בקופסה 3 כדורים אדומים ו-2 כחולים. מוציאים 2 כדורים זה אחר זה ללא החזרה. מהי ההסתברות ששני הכדורים אדומים?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מאורע מכמה מסלולים

אותה קופסה. מה ההסתברות ששני הכדורים בצבעים שונים?

P (שונים) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = 0.6

שלב 1 — מסלול אדום-כחול

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}

דוגמה 4: עץ תלת-שלבי

מטילים מטבע הוגן שלוש פעמים. מה ההסתברות לבדיוק שני 'עץ'?

P = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8} = 0.375

שלב 1 — מספר מסלולים

8 מסלולים שווי-סיכוי, כל אחד

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

מה למדנו?

עץ הסתברויות מארגן ניסוי רב-שלבי; כל ענף בשלב מאוחר נושא הסתברות מותנית.
לאורך מסלול — כופלים (כלל הכפל לחיתוך).
בין מסלולים — מחברים (כלל החיבור למאורעות זרים).
בשליפה ללא החזרה ההרכב והמכנה משתנים בשלב השני.
בדיקה: הענפים מכל צומת מסתכמים ל-1.

יופי! העץ הוא כלי ויזואלי שמאחד את כל מה שלמדנו — חיתוך, איחוד והסתברות מותנית. בשיעור האחרון נלמד מתי שני מאורעות אינם משפיעים זה על זה — מאורעות בלתי תלויים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בניית עצי הסתברות וחישוב מסלולים!