מרחב המדגם ומאורעות

מבוא

תורת ההסתברות עוסקת במצבים של אי-ודאות: הטלת קובייה, הוצאת כדור מקופסה, בחירת אדם באקראי. כדי לדבר על סיכויים בצורה מדויקת, ראשית עלינו לתאר את כל מה שיכול לקרות — וזה בדיוק תפקידם של מרחב המדגם והמאורעות.

מטרות השיעור

להגדיר את מרחב המדגם U כאוסף כל התוצאות האפשריות של ניסוי
לזהות מאורע ודאי, מאורע בלתי אפשרי, מאורעות זרים ומאורעות משלימים
לחשב איחוד $A \cup B$ וחיתוך $A \cap B$ של מאורעות
להשתמש בדיאגרמת ון כדי לארגן את התוצאות ולספור אותן נכון

הרעיון המרכזי

הגדרות יסוד

מרחב המדגם U הוא אוסף כל התוצאות האפשריות של הניסוי. למשל, בהטלת קובייה: $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ .

מאורע הוא תת-קבוצה של מרחב המדגם — אוסף של תוצאות שמעניינות אותנו. למשל המאורע "תוצאה זוגית" הוא $A = {2, 4, 6}$ .

מאורע ודאי: מתרחש תמיד, כלומר שווה ל-U.

מאורע בלתי אפשרי: לעולם אינו מתרחש, כלומר הקבוצה הריקה $\emptyset$ .

מאורעות זרים: אין להם תוצאה משותפת — $A \cap B = \emptyset$ .

מאורעות משלימים: A ו- $\overset{ˉ}{A}$ מקיימים $A \cap \overset{ˉ}{A} = \emptyset$ וגם $A \cup \overset{ˉ}{A} = U$ . המשלים $\overset{ˉ}{A}$ הוא כל התוצאות שאינן ב-A.

איחוד $A \cup B$ = כל תוצאה שב-A או ב-B (לפחות באחד).

חיתוך $A \cap B$ = כל תוצאה שב-A וגם ב-B.

נכון או לא נכון

בהטלת קובייה נגדיר את המאורע $A = {1, 3, 5} ($ תוצאה אי-זוגית) ואת המאורע $B = {2, 4, 6} ($ תוצאה זוגית). נכון או לא נכון: A ו-B הם מאורעות זרים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מרחב המדגם ומאורעות

מטילים קובייה. תארו את U ואת המאורע 'תוצאה גדולה מ-4'

שלב 1 — מרחב המדגם

כל התוצאות האפשריות:

U = {1,2,3,4,5,6}

בדיקה מהירה

מטילים קובייה הוגנת פעם אחת. מהו מרחב המדגם U של הניסוי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

בהטלת קובייה, סווגו את המאורעות 'תוצאה קטנה מ-7' ו'תוצאה גדולה מ-6'

{x : x < 7} = U, {x : x > 6} = \emptyset

שלב 1 — 'תוצאה קטנה מ-7'

כל התוצאות 1–6 קטנות מ-7, ולכן המאורע שווה ל-U.

בדיקה מהירה

מטילים קובייה. איזה מהמאורעות הבא הוא מאורע ודאי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: איחוד וחיתוך

נתון $A = {1,2,3}$ ו- $B = {3,4}$ . מצאו את A∪B ואת A∩B

A \cup B = {1, 2, 3, 4}, A \cap B = {3}

שלב 1 — איחוד

אוספים את כל התוצאות משני המאורעות: 1,2,3 (מ-A) ו-3,4 (מ-B).

בדיקה מהירה

בהטלת קובייה נתונים המאורעות $A = {1, 2, 3}$ ו- $B = {3, 4}$ . מהו האיחוד A∪B?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: דיאגרמת ון וספירה

בכיתה 30 תלמידים: 18 בכדורגל, 12 בכדורסל, 5 בשניהם. כמה משחקים לפחות במשחק אחד?

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣ = 18 + 12 - 5 = 25

שלב 1 — נוסחת ההכלה–הדחה

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין איחוד לחיתוך

עבור $A = {1, 2, 3}$ ו- $B = {3, 4}$ :

$A \cup B = {1, 2, 3, 4}$ (הכל), אבל $A \cap B = {3}$ (רק המשותף).

למה זה קורה?

המילים 'או' ו'וגם' מתחלפות בראש.

איך מתקנים?

איחוד

A∪B = 'A

או B' (לפחות באחד). חיתוך

A∩B = 'A

וגם B' (בשניהם בו-זמנית).

טעות נפוצה: חושבים שמאורעות זרים = מאורעות משלימים

$A = {1, 2}$ ו- $B = {3, 4}$ זרים, אך אינם משלימים כי $A \cup B = {1, 2, 3, 4} \neq = U$ (חסרים 5 ו-6).

למה זה קורה?

בשני המקרים החיתוך ריק, אז זה נראה אותו דבר.

איך מתקנים?

זרים: רק

A∩B=∅

. משלימים: גם

A∩B=∅

וגם

A∪B=U (

האיחוד מכסה את כל מרחב המדגם).

טעות נפוצה: סופרים פעמיים את התוצאות המשותפות

18 כדורגל + 12 כדורסל אינו 30, כי 5 נספרו בשתי הקבוצות:

∣ A \cup B ∣ = 18 + 12 - 5 = 25

למה זה קורה?

פשוט מחברים

|A|+|B|

בלי לשים לב לחפיפה.

איך מתקנים?

השתמשו בנוסחה

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|

, או ציירו דיאגרמת ון ורשמו את החיתוך פעם אחת.

טעות נפוצה: טועים בזיהוי המאורע המשלים

על קובייה: המשלים של ${3, 4, 5, 6}$ הוא ${1, 2}$ — בדיוק התוצאות שאינן במאורע המקורי.

למה זה קורה?

שוללים את התנאי בצורה לא מדויקת.

איך מתקנים?

המשלים של 'לפחות 3' (כלומר

\ge 3)

הוא 'קטן מ-3' (כלומר

<3)

, ולא 'לכל היותר 3'.

סיכום

מה למדנו?

מרחב המדגם U הוא אוסף כל התוצאות; מאורע הוא תת-קבוצה שלו.
מאורע ודאי = U, מאורע בלתי אפשרי $= \emptyset$ .
מאורעות זרים: $A \cap B = \emptyset$ . מאורעות משלימים: בנוסף $A \cup B = U$ .
איחוד = 'או', חיתוך = 'וגם'.
ספירה נכונה: $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ , ודיאגרמת ון עוזרת לארגן.

כל הכבוד! עכשיו יש לכם את השפה לתאר כל ניסוי מקרי. בשיעור הבא נצמיד לכל מאורע מספר — את ההסתברות שלו.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מרחב המדגם, מאורעות, איחוד וחיתוך!

מרחב המדגם ומאורעות

מרחב המדגם ומאורעות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מרחב המדגם ומאורעות

מטילים קובייה. תארו את U ואת המאורע 'תוצאה גדולה מ-4'

דוגמה 2: מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

בהטלת קובייה, סווגו את המאורעות 'תוצאה קטנה מ-7' ו'תוצאה גדולה מ-6'

דוגמה 3: איחוד וחיתוך

נתון A=1,2,3A = {1,2,3}A=1,2,3 ו-B=3,4B = {3,4}B=3,4. מצאו את A∪B ואת A∩B

דוגמה 4: דיאגרמת ון וספירה

בכיתה 30 תלמידים: 18 בכדורגל, 12 בכדורסל, 5 בשניהם. כמה משחקים לפחות במשחק אחד?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין איחוד לחיתוך

טעות נפוצה: חושבים שמאורעות זרים = מאורעות משלימים

טעות נפוצה: סופרים פעמיים את התוצאות המשותפות

טעות נפוצה: טועים בזיהוי המאורע המשלים

סיכום

תרגול נוסף

נתון $A = {1,2,3}$ ו- $B = {3,4}$ . מצאו את A∪B ואת A∩B