פתרון משולשים ישרי זווית

מבוא

מטרות השיעור

לבחור את היחס הטריגונומטרי המתאים (sin, cos או tan) לפי הנתונים והנעלם
למצוא אורכי צלעות, היקף ושטח של משולש ישר זווית
למצוא גודל של זווית מתוך ערך טריגונומטרי, בעזרת הפונקציה ההפוכה במחשבון
לשלב את משפט פיתגורס ותכונות של משולשים ישרי זווית בחישובים

הרעיון המרכזי

איזה יחס לבחור?

"לפתור משולש" פירושו למצוא את כל הצלעות והזוויות החסרות. הכלל לבחירת היחס:

ידועים יתר וזווית → מבוקש ניצב: השתמשו ב-sin (לניצב מול) או cos (לניצב ליד).
ידועים ניצב וזווית → מבוקש ניצב אחר: השתמשו ב-tan.
ידועים שני ניצבים → מבוקשת זווית: השתמשו ב-tan⁻¹.
ידועים ניצב ויתר → מבוקשת זווית: השתמשו ב-sin⁻¹ או cos⁻¹.
ידועות שתי צלעות → מבוקשת צלע שלישית: לעיתים נוח יותר משפט פיתגורס.

לאחר מציאת הצלעות, ההיקף הוא סכומן, והשטח של משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ .

מציאת זווית — הפונקציה ההפוכה

כשידוע ערך טריגונומטרי ומבוקשת הזווית, משתמשים בפונקציה ההפוכה במחשבון:

sin^{- 1}, cos^{- 1}, tan^{- 1}

למשל, אם $tan α = 0.75$ , אז $α = tan^{- 1} (0.75) \approx 36.87°$ .

חשוב מאוד: ודאו שהמחשבון נמצא במצב מעלות (DEG) ולא ברדיאנים, אחרת תקבלו תוצאה שגויה לחלוטין.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת ניצב מתוך יתר וזווית

במשולש ישר זווית הזווית $30^{\circ}$ והיתר 10 ס״מ. מצאו את הניצב שמול הזווית

מול = 10 \cdot sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 ס״מ

שלב 1 — בוחרים יחס

ידועים יתר וזווית, מבוקש הניצב שמול → סינוס.

תשובה מספרית

במשולש ישר זווית הזווית החדה היא $30^{\circ}$ והיתר באורך 10 ס"מ. חשבו את אורך הניצב שמול הזווית $30^{\circ} ($ בס"מ).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: היתר וההיקף מתוך שני ניצבים

אורכי הניצבים הם 6 ו-8 ס״מ. מצאו את היתר ואת היקף המשולש

c = 6^{2} + 8^{2} = 10, P = 6 + 8 + 10 = 24 ס״מ

שלב 1 — משפט פיתגורס ליתר

c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

ס״מ.

תשובה מספרית

במשולש ישר זווית אורכי הניצבים הם 6 ס"מ ו-8 ס"מ. חשבו את היקף המשולש (בס"מ).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מציאת זווית בעזרת הפונקציה ההפוכה

הניצב שמול $\alpha$ הוא 3 והניצב שלידה 4. מצאו את הזווית $\alpha$

tan α = \frac{3}{4} = 0.75 \Rightarrow α = tan^{- 1} (0.75) \approx 36.87°

שלב 1 — בוחרים יחס

ידועים שני הניצבים, מבוקשת זווית → טנגנס.

תשובה מספרית

במשולש ישר זווית הניצב שמול הזווית $\alpha$ הוא 3 ס"מ והניצב שלידה 4 ס"מ. חשבו את גודל הזווית $\alpha$ במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חישוב שטח של משולש ישר זווית

במשולש ישר זווית הזווית $40^{\circ}$ והניצב שלידה 10 ס״מ. מצאו את השטח $(\tan 40^{\circ} ≈ 0.8391)$

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (10 tan 40°) \approx \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8.39 \approx 41.95 ס״מ^{2}

שלב 1 — מוצאים את הניצב השני

\tan 40^{\circ} =

מול

/10

, ולכן מול

= 10 \cdot \tan 40^{\circ} ≈ 8.39

ס״מ.

דוגמה 5: יישום מהמציאות — סולם על קיר

סולם באורך 6 מ' נשען על קיר אנכי בזווית $65^{\circ}$ לקרקע. לאיזה גובה הוא מגיע $? (\sin 65^{\circ} ≈ 0.9063)$

גובה = 6 \cdot sin 65° \approx 5.44 מ’

שלב 1 — מזהים את הצלעות

הסולם הוא היתר

(6

מ'), הגובה על הקיר הוא הניצב שמול הזווית

65^{\circ}

תשובה מספרית

סולם באורך 6 מטר נשען על קיר אנכי ויוצר עם הקרקע זווית של $65^{\circ}$ . לאיזה גובה על הקיר מגיע ראש הסולם (במטרים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)? נתון: $\sin 65^{\circ} ≈ 0.9063$ .

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בוחרים יחס טריגונומטרי לא מתאים

שני ניצבים נתונים ⇒ $tan α = \frac{מול}{ליד}$ , לא סינוס.

למה זה קורה?

התלמיד משתמש בסינוס גם כששני הנתונים הם ניצבים.

איך מתקנים?

בדקו אילו צלעות מעורבות: שני ניצבים → טנגנס; ניצב ויתר → סינוס או קוסינוס.

טעות נפוצה: שוכחים את הפונקציה ההפוכה

tan α = 0.75 \Rightarrow α = tan^{- 1} (0.75) \approx 36.87°

למה זה קורה?

התלמיד מחשב

\tan \alpha = 0.75

ועוצר, או מנסה לחלק

90^{\circ}

בערך.

איך מתקנים?

כדי לקבל את הזווית עצמה מפעילים

\tan ^{-1} (\arctan )

על הערך.

טעות נפוצה: המחשבון במצב רדיאנים

בדיקת שפיות: $sin 30°$ חייב לצאת 0.5. אם יצא ערך אחר — המחשבון ברדיאנים.

למה זה קורה?

המחשבון מוגדר ל-RAD, והתוצאות שגויות לחלוטין.

איך מתקנים?

לפני חישוב זוויות ודאו שהמחשבון במצב DEG (מעלות). בדיקה:

\sin 30^{\circ}

צריך לתת בדיוק 0.5.

טעות נפוצה: מחשבים שטח עם היתר במקום עם הניצבים

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ — שני הניצבים, לא היתר.

למה זה קורה?

התלמיד מכפיל ניצב ביתר בנוסחת השטח.

איך מתקנים?

במשולש ישר זווית השטח הוא מחצית מכפלת שני הניצבים (הם הגובה והבסיס זה לזה), לא היתר.

סיכום

מה למדנו?

בחירת היחס:

יתר + זווית → sin / cos למציאת ניצב.
ניצב + זווית → tan למציאת ניצב אחר.
שתי צלעות → זווית בעזרת הפונקציה ההפוכה (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).
שתי צלעות → צלע שלישית בעזרת משפט פיתגורס.

היקף ושטח:

P = a + b + c, S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

זכרו: המחשבון תמיד במצב מעלות (DEG) בחישוב זוויות!

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לפתור משולש ישר זווית במלואו.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משולשים ישרי זווית.

פתרון משולשים ישרי זווית

פתרון משולשים ישרי זווית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת ניצב מתוך יתר וזווית

במשולש ישר זווית הזווית 30∘30^{\circ}30∘ והיתר 10 ס״מ. מצאו את הניצב שמול הזווית

דוגמה 2: היתר וההיקף מתוך שני ניצבים

אורכי הניצבים הם 6 ו-8 ס״מ. מצאו את היתר ואת היקף המשולש

דוגמה 3: מציאת זווית בעזרת הפונקציה ההפוכה

הניצב שמול α\alphaα הוא 3 והניצב שלידה 4. מצאו את הזווית α\alphaα

דוגמה 4: חישוב שטח של משולש ישר זווית

במשולש ישר זווית הזווית 40∘40^{\circ}40∘ והניצב שלידה 10 ס״מ. מצאו את השטח (tan⁡40∘≈0.8391)(\tan 40^{\circ} ≈ 0.8391)(tan40∘≈0.8391)

דוגמה 5: יישום מהמציאות — סולם על קיר

סולם באורך 6 מ' נשען על קיר אנכי בזווית 65∘65^{\circ}65∘ לקרקע. לאיזה גובה הוא מגיע?(sin⁡65∘≈0.9063)? (\sin 65^{\circ} ≈ 0.9063)?(sin65∘≈0.9063)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בוחרים יחס טריגונומטרי לא מתאים

טעות נפוצה: שוכחים את הפונקציה ההפוכה

טעות נפוצה: המחשבון במצב רדיאנים

טעות נפוצה: מחשבים שטח עם היתר במקום עם הניצבים

סיכום

תרגול נוסף

במשולש ישר זווית הזווית $30^{\circ}$ והיתר 10 ס״מ. מצאו את הניצב שמול הזווית

הניצב שמול $\alpha$ הוא 3 והניצב שלידה 4. מצאו את הזווית $\alpha$

במשולש ישר זווית הזווית $40^{\circ}$ והניצב שלידה 10 ס״מ. מצאו את השטח $(\tan 40^{\circ} ≈ 0.8391)$

סולם באורך 6 מ' נשען על קיר אנכי בזווית $65^{\circ}$ לקרקע. לאיזה גובה הוא מגיע $? (\sin 65^{\circ} ≈ 0.9063)$