הזוויות המיוחדות 30°, 45° ו-60°

מבוא

מטרות השיעור

להוכיח את הערכים המדויקים של סינוס, קוסינוס וטנגנס עבור 45° באמצעות משולש ישר זווית ושווה שוקיים
להוכיח את הערכים עבור 30° ו-60° באמצעות חצי משולש שווה צלעות
לבנות ולזכור את טבלת הערכים המדויקים של שלוש הזוויות המיוחדות
להשתמש בערכים המדויקים בחישובים בלי מחשבון, ולכתוב תוצאות בצורה מדויקת (למשל √2/2 ולא 0.707)

הרעיון המרכזי

למה 'מיוחדות'?

לרוב הזוויות אין ערך טריגונומטרי "יפה", ונחשב אותו במחשבון. אבל לשלוש זוויות — 30°, 45° ו-60° — יש ערכים מדויקים שאפשר להוכיח מתוך משולשים מוכרים:

45° מגיע ממשולש ישר זווית ושווה שוקיים.
30° ו-60° מגיעים מחצי משולש שווה צלעות.

מכיוון שערכים אלו מופיעים שוב ושוב, חשוב לזכור אותם בעל-פה ולכתוב אותם תמיד בצורה מדויקת (עם שורש), לא כקירוב עשרוני.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת הערכים של 45°

הוכיחו: $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ו- $\tan 45^{\circ} = 1$

sin 45° = cos 45° = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}, tan 45° = 1

שלב 1 — בוחרים משולש נוח

ניקח משולש ישר זווית ושווה שוקיים שבו שני הניצבים שווים ל-1. הזוויות החדות בו שוות, וסכומן

90^{\circ}

, ולכן כל אחת היא

45^{\circ}

דוגמה 2: הוכחת הערכים של 30° ו-60°

הוכיחו את הערכים של $30^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$ בעזרת משולש שווה צלעות

sin 30° = \frac{1}{2}, cos 30° = \frac{3}{2}, tan 30° = \frac{3}{3}

sin 60° = \frac{3}{2}, cos 60° = \frac{1}{2}, tan 60° = 3

שלב 1 — חוצים משולש שווה צלעות

ניקח משולש שווה צלעות שצלעו 2. נעביר גובה מקודקוד אחד. הגובה הוא גם תיכון וגם חוצה זווית, ולכן הוא חוצה את הבסיס לשניים ואת זווית הראש

(60^{\circ})

לשתי זוויות של

30^{\circ}

בדיקה מהירה

מהו הערך המדויק של $\sin 30^{\circ}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

כיצד מוכיחים שהניצב מול הזווית $30^{\circ}$ במשולש $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ שווה למחצית היתר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: טבלת הערכים המדויקים

סכמו את כל הערכים בטבלה אחת

sin 30° = \frac{1}{2}, sin 45° = \frac{2}{2}, sin 60° = \frac{3}{2}

שורת הסינוס

\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2,} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2,} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

— הערכים עולים ככל שהזווית גדלה.

דוגמה 4: שימוש בערך מדויק לחישוב צלע

במשולש ישר זווית הזווית $60^{\circ}$ והניצב שלידה 4 ס״מ. חשבו את הניצב שמולה

tan 60° = \frac{מול}{4} \Rightarrow מול = 4 tan 60° = 43 ס״מ

שלב 1 — בוחרים יחס מתאים

ידוע הניצב שליד

60^{\circ}

ומבוקש הניצב שמולה — זהו בדיוק הטנגנס:

\tan 60^{\circ} =

מול/ליד.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו הערך המדויק של $\tan 60^{\circ}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים ערך מקורב במקום מדויק

טעות: $sin 45° = 0.707$

נכון: $sin 45° = \frac{2}{2}$

למה זה קורה?

המחשבון מציג 0.707, והתלמיד כותב את זה במקום

\frac{\sqrt{2}}{2}

איך מתקנים?

בגאומטריה משאירים ערכים מדויקים. כתבו

\frac{\sqrt{2}}{2,} \frac{\sqrt{3}}{2}

וכדומה — לא 0.707 או 0.866.

טעות נפוצה: מחליפים בין הערכים של $30^{\circ}$ ל- $60^{\circ}$

טעות: $sin 30° = \frac{3}{2}$

נכון: $sin 30° = \frac{1}{2}$

למה זה קורה?

שתי הזוויות מופיעות באותו משולש, וקל לבלבל איזה ערך שייך לאיזו זווית.

איך מתקנים?

זכרו: ככל שהזווית קטנה יותר, הניצב שמולה קצר יותר. לכן

\sin 30^{\circ} (

הקטן)

= \frac{1}{2}

, ו-

\sin 60^{\circ} (

הגדול)

= \frac{\sqrt{3}}{2}

טעות נפוצה: חושבים שהניצב מול $30^{\circ}$ הוא מחצית הניצב השני

ניצב מול 30° = \frac{1}{2} \cdot יתר

למה זה קורה?

התלמיד זוכר 'מחצית' אבל לא ביחס לאיזו צלע.

איך מתקנים?

הניצב מול

30^{\circ}

שווה למחצית היתר, לא למחצית הניצב השני. במשולש

1-\sqrt{3}-2: 1

הוא חצי מ-2 (היתר), לא חצי מ-

\sqrt{3}

טעות נפוצה: לא מרציונליזים את המכנה בטנגנס של $30^{\circ}$

tan 30° = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

למה זה קורה?

מקבלים

\frac{1}{\sqrt{3}}

ומשאירים שורש במכנה.

איך מתקנים?

מקובל לכתוב

\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

, על ידי הכפלה במונה ובמכנה ב-

\sqrt{3}

סיכום

מה למדנו?

הערכים המדויקים של הזוויות המיוחדות:

sin 30° = \frac{1}{2}, sin 45° = \frac{2}{2}, sin 60° = \frac{3}{2}

cos 30° = \frac{3}{2}, cos 45° = \frac{2}{2}, cos 60° = \frac{1}{2}

tan 30° = \frac{3}{3}, tan 45° = 1, tan 60° = 3

מקורות ההוכחה:

45° — משולש ישר זווית ושווה שוקיים (1, 1, √2).
30° ו-60° — חצי משולש שווה צלעות (1, √3, 2).

זכרו: תמיד שומרים על ערכים מדויקים בכתיב עם שורש!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי לשנן את הערכים המדויקים ולהשתמש בהם בחישובים.

הזוויות המיוחדות 30°, 45° ו-60°

הזוויות המיוחדות 30°, 45° ו-60°

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת הערכים של 45°

הוכיחו: sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}sin45∘=cos45∘=22​​ ו-tan⁡45∘=1\tan 45^{\circ} = 1tan45∘=1

דוגמה 2: הוכחת הערכים של 30° ו-60°

הוכיחו את הערכים של 30∘30^{\circ}30∘ ו-60∘60^{\circ}60∘ בעזרת משולש שווה צלעות

דוגמה 3: טבלת הערכים המדויקים

סכמו את כל הערכים בטבלה אחת

דוגמה 4: שימוש בערך מדויק לחישוב צלע

במשולש ישר זווית הזווית 60∘60^{\circ}60∘ והניצב שלידה 4 ס״מ. חשבו את הניצב שמולה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים ערך מקורב במקום מדויק

טעות נפוצה: מחליפים בין הערכים של 30∘30^{\circ}30∘ ל-60∘60^{\circ}60∘

טעות נפוצה: חושבים שהניצב מול 30∘30^{\circ}30∘ הוא מחצית הניצב השני

טעות נפוצה: לא מרציונליזים את המכנה בטנגנס של 30∘30^{\circ}30∘

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ו- $\tan 45^{\circ} = 1$

הוכיחו את הערכים של $30^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$ בעזרת משולש שווה צלעות

במשולש ישר זווית הזווית $60^{\circ}$ והניצב שלידה 4 ס״מ. חשבו את הניצב שמולה

טעות נפוצה: מחליפים בין הערכים של $30^{\circ}$ ל- $60^{\circ}$

טעות נפוצה: חושבים שהניצב מול $30^{\circ}$ הוא מחצית הניצב השני

טעות נפוצה: לא מרציונליזים את המכנה בטנגנס של $30^{\circ}$