שטח משולש לפי הסינוס וצורות מתפרקות

מבוא

מטרות השיעור

להכיר ולהוכיח את נוסחת השטח $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ$ , כאשר $γ$ כלואה בין הצלעות a ו-b
לראות שהנוסחה היא הכללה של נוסחת השטח של משולש ישר זווית
לחשב שטחים גם כאשר הזווית הכלואה קהה (בעזרת $sin (180° - α) = sin α$ )
לחשב אורכים, זוויות, היקפים ושטחים בצורות המתפרקות למשולשים ישרי זווית ולמרובעים

הרעיון המרכזי

נוסחת השטח עם הסינוס

שטח משולש שווה למחצית מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית הכלואה ביניהן:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ

מדוע? הגובה לצלע a יוצא מהקודקוד שמול a. במשולש ישר הזווית שנוצר, הגובה הוא הניצב שמול הזווית $γ$ והצלע b היא היתר, ולכן $h = b \cdot sin γ$ . נציב בנוסחת השטח הרגילה:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b sin γ

צורות המתפרקות לחלקים

צורה מורכבת (מרובע, מצולע) אפשר לחשב על ידי פירוק לחלקים פשוטים — משולשים ישרי זווית ו/או מרובעים מוכרים — וחיבור שטחיהם. כלים שימושיים:

אלכסון מחלק מרובע לשני משולשים.
גובה (אנך) מחלק משולש לשני משולשים ישרי זווית.
לאחר הפירוק מחשבים כל חלק בנפרד (בעזרת טריגונומטריה או פיתגורס) ומסכמים.

הפירוק יכול להיות בשלב אחד או בשני שלבים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח לפי שתי צלעות וזווית כלואה

במשולש שתי צלעות 8 ו-10 ס״מ, והזווית ביניהן $30^{\circ}$ . חשבו את השטח

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot sin 30° = 40 \cdot 0.5 = 20 סמ^{2}

שלב 1 — מזהים את הנתונים

a = 8, b = 10

, והזווית הכלואה

\gamma = 30^{\circ}

תשובה מספרית

במשולש שתי צלעות באורכים 8 ס"מ ו-10 ס"מ, והזווית הכלואה ביניהן היא $30^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש (בסמ"ר).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הנוסחה כהכללה של משולש ישר זווית

הראו שכאשר $\gamma = 90^{\circ}$ , הנוסחה הופכת לנוסחת השטח של משולש ישר זווית

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin 90° = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

שלב 1 — מציבים $\gamma = 90^{\circ}$

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin 90^{\circ}

דוגמה 3: שטח מקבילית — פירוק לשני משולשים

במקבילית שתי צלעות סמוכות 8 ו-5 ס״מ והזווית ביניהן $30^{\circ}$ . חשבו את השטח

S_{מקבילית} = a \cdot b \cdot sin γ = 8 \cdot 5 \cdot sin 30° = 20 סמ^{2}

שלב 1 — מפרקים באלכסון

אלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולכל אחד שטח

\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^{\circ}

תשובה מספרית

במקבילית שתי צלעות סמוכות באורכים 8 ס"מ ו-5 ס"מ, והזווית ביניהן היא $30^{\circ}$ . חשבו את שטח המקבילית (בסמ"ר). רמז: אלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: משולש שווה שוקיים — פירוק לשני משולשים ישרי זווית

במשולש שווה שוקיים הבסיס 12 ס״מ והשוקיים 10 ס״מ. חשבו את השטח

h = 1 0^{2} - 6^{2} = 8, S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 סמ^{2}

שלב 1 — מורידים גובה לבסיס

הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן הוא חוצה את הבסיס לשני קטעים של 6 ס״מ ויוצר שני משולשים ישרי זווית.

תשובה מספרית

במשולש שווה שוקיים אורך הבסיס 12 ס"מ ואורך כל שוק 10 ס"מ. חשבו את שטח המשולש (בסמ"ר) על ידי הורדת גובה לבסיס.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: זווית כלואה קהה

במשולש שתי צלעות 7 ו-8 ס״מ והזווית ביניהן $150^{\circ}$ . חשבו את השטח

S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot sin 150° = 28 \cdot 0.5 = 14 סמ^{2}

שלב 1 — מחשבים את סינוס הזווית הקהה

\sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 150^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = 0.5

תשובה מספרית

במשולש שתי צלעות באורכים 7 ס"מ ו-8 ס"מ, והזווית הקהה הכלואה ביניהן היא $150^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש (בסמ"ר).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים בזווית שאינה כלואה

אם נתונות הצלעות a, b — הזווית חייבת להיות זו שביניהן.

למה זה קורה?

התלמיד מציב זווית כלשהי מהמשולש במקום הזווית שבין שתי הצלעות הנתונות.

איך מתקנים?

הנוסחה

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma

דורשת ש-

\gamma

תהיה הזווית הכלואה דווקא בין a ל-b. ודאו שזה אכן המצב.

טעות נפוצה: מחשבים רק חלק אחד מהצורה

שטח הצורה = סכום שטחי כל החלקים שאליהם פירקתם אותה.

למה זה קורה?

בצורה מורכבת התלמיד מחשב את שטח אחד החלקים ושוכח לסכם את כולם.

איך מתקנים?

לאחר הפירוק, חשבו את שטח כל חלק בנפרד ואז חברו את כל השטחים.

טעות נפוצה: טועים בסינוס של זווית קהה

sin 150° = sin 30° = 0.5

למה זה קורה?

התלמיד מנסה להציב ערך שגוי, או חושב שהשטח שלילי.

איך מתקנים?

לזווית קהה:

\sin (180^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha

. למשל

\sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = 0.5

. השטח תמיד חיובי.

טעות נפוצה: מורידים אנך למקום לא נכון

גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את הבסיס ⟵ שני משולשים ישרי זווית.

למה זה קורה?

הגובה מועבר כך שלא נוצרים משולשים ישרי זווית נוחים לחישוב.

איך מתקנים?

במשולש שווה שוקיים הורידו את הגובה אל הבסיס — הוא חוצה אותו ויוצר שני משולשים ישרי זווית שווים.

סיכום

מה למדנו?

נוסחת השטח עם הסינוס:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ

כאשר $γ$ כלואה בין הצלעות a ו-b.

רעיונות מרכזיים:

הנוסחה נובעת מכך שהגובה לצלע a שווה ל- $b sin γ$ .
כש- $γ = 90°$ מקבלים $S = \frac{1}{2} ab$ — נוסחת המשולש ישר הזווית.
לזווית קהה: $sin (180° - α) = sin α$ .
שטח מקבילית = $a \cdot b \cdot sin γ$ (פעמיים שטח המשולש).
צורה מורכבת: מפרקים למשולשים ישרי זווית ו/או מרובעים, מחשבים כל חלק, ומסכמים.

כל הכבוד! סיימתם את היחידה — אתם יודעים לחשב שטחים בעזרת טריגונומטריה ולפרק צורות מורכבות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נוסחת השטח עם הסינוס וחישובים בצורות מתפרקות.

שטח משולש לפי הסינוס וצורות מתפרקות

שטח משולש לפי הסינוס וצורות מתפרקות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שטח לפי שתי צלעות וזווית כלואה

במשולש שתי צלעות 8 ו-10 ס״מ, והזווית ביניהן 30∘30^{\circ}30∘. חשבו את השטח

דוגמה 2: הנוסחה כהכללה של משולש ישר זווית

הראו שכאשר γ=90∘\gamma = 90^{\circ}γ=90∘, הנוסחה הופכת לנוסחת השטח של משולש ישר זווית

דוגמה 3: שטח מקבילית — פירוק לשני משולשים

במקבילית שתי צלעות סמוכות 8 ו-5 ס״מ והזווית ביניהן 30∘30^{\circ}30∘. חשבו את השטח

דוגמה 4: משולש שווה שוקיים — פירוק לשני משולשים ישרי זווית

במשולש שווה שוקיים הבסיס 12 ס״מ והשוקיים 10 ס״מ. חשבו את השטח

דוגמה 5: זווית כלואה קהה

במשולש שתי צלעות 7 ו-8 ס״מ והזווית ביניהן 150∘150^{\circ}150∘. חשבו את השטח

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים בזווית שאינה כלואה

טעות נפוצה: מחשבים רק חלק אחד מהצורה

טעות נפוצה: טועים בסינוס של זווית קהה

טעות נפוצה: מורידים אנך למקום לא נכון

סיכום

תרגול נוסף

במשולש שתי צלעות 8 ו-10 ס״מ, והזווית ביניהן $30^{\circ}$ . חשבו את השטח

הראו שכאשר $\gamma = 90^{\circ}$ , הנוסחה הופכת לנוסחת השטח של משולש ישר זווית

במקבילית שתי צלעות סמוכות 8 ו-5 ס״מ והזווית ביניהן $30^{\circ}$ . חשבו את השטח

במשולש שתי צלעות 7 ו-8 ס״מ והזווית ביניהן $150^{\circ}$ . חשבו את השטח