הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות

מבוא

מטרות השיעור

להוכיח מתוך ההגדרה את הקשר $tan α = \frac{sin α}{cos α}$
להוכיח בעזרת משפט פיתגורס את הזהות $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$
להוכיח את הזהויות המשלימות $sin (90° - α) = cos α$ ו- $cos (90° - α) = sin α$
להגדיר את הסינוס של זווית קהה באמצעות $sin (180° - α) = sin α$

הרעיון המרכזי

ארבעה קשרים מרכזיים

לכל זווית חדה $α$ מתקיימים הקשרים:

$tan α = \frac{sin α}{cos α}$
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ (זהות פיתגורס הטריגונומטרית)
$sin (90° - α) = cos α$ (זהות משלימה)
$cos (90° - α) = sin α$ (זהות משלימה)

ולזווית קהה $α$ (בין 90° ל-180°) מגדירים את הסינוס:

sin (180° - α) = sin α

כל הקשרים האלה נובעים ישירות מההגדרה וממשפט פיתגורס — אין צורך לזכור אותם "בעל פה" אם מבינים את ההוכחה.

סימון

נשתמש לכל אורך השיעור בסימון: במשולש ישר זווית עם זווית חדה $α$ , נסמן את הניצב שמול $α$ ב-a, את הניצב שלידה ב-b ואת היתר ב-c. אז $sin α = \frac{a}{c}$ , $cos α = \frac{b}{c}$ , $tan α = \frac{a}{b}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת tan α = sin α / cos α

הוכיחו: $\tan \alpha = \sin \frac{\alpha }{\cos } \alpha$

\frac{sin α}{cos α} = \frac{a / c}{b / c} = \frac{a}{b} = tan α

שלב 1 — כותבים את הסינוס והקוסינוס

\sin \alpha = \frac{a}{c}

ו-

\cos \alpha = \frac{b}{c}

בדיקה מהירה

איזה מהקשרים הבאים נכון עבור זווית חדה $\alpha$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הוכחת זהות פיתגורס הטריגונומטרית

הוכיחו: $\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = 1$

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}} = \frac{c ^{2}}{c ^{2}} = 1

שלב 1 — מציבים

\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = (\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: עבור כל זווית חדה $\alpha$ מתקיים $\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = 1$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

על איזה משפט מתבססת ההוכחה של הזהות $\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = 1$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: הוכחת הזהויות המשלימות

הוכיחו: $\sin (90^{\circ}-\alpha ) = \cos \alpha$ ו- $\cos (90^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha$

sin (90° - α) = \frac{b}{c} = cos α, cos (90° - α) = \frac{a}{c} = sin α

שלב 1 — שתי הזוויות החדות משלימות

במשולש ישר זווית סכום הזוויות החדות הוא

90^{\circ}

, ולכן אם זווית אחת היא

\alpha

, השנייה היא

90^{\circ}-\alpha

דוגמה 4: סינוס של זווית קהה

חשבו את $\sin 120^{\circ}$ באמצעות $\sin (180^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha$

sin 120° = sin (180° - 120°) = sin 60° = \frac{3}{2}

שלב 1 — מחשבים את הזווית המשלימה ל- $180^{\circ}$

180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}

תשובה מספרית

חשבו את $\sin 150^{\circ}$ באמצעות הקשר $\sin (180^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha ($ הזינו כשבר עשרוני).

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שימוש בזהות פיתגורס למציאת קוסינוס

נתון $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ ו- $\alpha$ חדה. מצאו את $\cos \alpha$ ואת $\tan \alpha$

cos α = \frac{4}{5}, tan α = \frac{3}{4}

שלב 1 — מזהות פיתגורס

\cos ^{2}\alpha = 1 - \sin ^{2}\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים את זהות פיתגורס בצורה שגויה

נכון: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

טעות: $(sin α + cos α)^{2} = 1$ — לא נכון! פיתוח הריבוע נותן איבר נוסף $2 sin α cos α$ .

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

(\sin \alpha + \cos \alpha )^{2} = 1

או

\sin \alpha ^{2} + \cos \alpha ^{2} = 1

בלי להבין את משמעות הריבוע.

איך מתקנים?

הזהות היא סכום הריבועים:

\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = 1

, כלומר

(\sin \alpha )^{2} + (\cos \alpha )^{2}

. זה שונה מ-

(\sin \alpha + \cos \alpha )^{2}

טעות נפוצה: מבלבלים בין הזהויות המשלימות

נכון: $sin (90° - α) = cos α$

טעות: $sin (90° - α) = sin α$

למה זה קורה?

התלמיד מניח שהפונקציה 'נשמרת', וכותב

\sin (90^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha

איך מתקנים?

במשלים הפונקציה מתחלפת: סינוס הופך לקוסינוס ולהפך

. \sin (90^{\circ}-\alpha ) = \cos \alpha

, ולא

\sin \alpha

טעות נפוצה: חושבים ש- $\cos (180^{\circ}-\alpha ) = \cos \alpha$ כמו בסינוס

נכון לזווית קהה: $sin (180° - α) = sin α$

הקשר הזה מאפשר להגדיר את סינוס הזווית הקהה דרך זווית חדה.

למה זה קורה?

התלמיד מכליל את הקשר של הסינוס גם לקוסינוס.

איך מתקנים?

במסגרת תכנית זו רק הסינוס נשמר עבור זווית קהה:

\sin (180^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha

. הקוסינוס דווקא משנה סימן.

טעות נפוצה: שוכחים שהתשובה ל- $\cos \alpha$ חיובית רק לזווית חדה

לזווית חדה: $cos α = + 1 - sin^{2} α$

למה זה קורה?

מוציאים שורש בלי להתייחס לסימן.

איך מתקנים?

עבור זווית חדה כל הפונקציות חיוביות, ולכן

\cos \alpha = +\sqrt{1-\sin ^{2}\alpha }

. לזווית קהה יש להיזהר עם הסימן.

סיכום

מה למדנו?

ארבעת הקשרים:

tan α = \frac{sin α}{cos α}, sin^{2} α + cos^{2} α = 1

sin (90° - α) = cos α, cos (90° - α) = sin α

זווית קהה:

sin (180° - α) = sin α

רעיונות מרכזיים:

הקשר tan = sin/cos נובע ישירות מההגדרה (חלוקת היחסים).
זהות פיתגורס מבוססת על משפט פיתגורס a² + b² = c².
בזהויות המשלימות הסינוס והקוסינוס מתחלפים זה בזה.

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לקשר בין הפונקציות הטריגונומטריות ולהוכיח את הקשרים ביניהן.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות.

הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות

הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת tan α = sin α / cos α

הוכיחו: tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \sin \frac{\alpha }{\cos } \alphatanα=sincosα​α

דוגמה 2: הוכחת זהות פיתגורס הטריגונומטרית

הוכיחו: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = 1sin2α+cos2α=1

דוגמה 3: הוכחת הזהויות המשלימות

הוכיחו: sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin (90^{\circ}-\alpha ) = \cos \alphasin(90∘−α)=cosα ו-cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos (90^{\circ}-\alpha ) = \sin \alphacos(90∘−α)=sinα

דוגמה 4: סינוס של זווית קהה

חשבו את sin⁡120∘\sin 120^{\circ}sin120∘ באמצעות sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin (180^{\circ}-\alpha ) = \sin \alphasin(180∘−α)=sinα

דוגמה 5: שימוש בזהות פיתגורס למציאת קוסינוס

נתון sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}sinα=53​ ו-α\alphaα חדה. מצאו את cos⁡α\cos \alphacosα ואת tan⁡α\tan \alphatanα

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים את זהות פיתגורס בצורה שגויה

טעות נפוצה: מבלבלים בין הזהויות המשלימות

טעות נפוצה: חושבים ש-cos⁡(180∘−α)=cos⁡α\cos (180^{\circ}-\alpha ) = \cos \alphacos(180∘−α)=cosα כמו בסינוס

טעות נפוצה: שוכחים שהתשובה ל-cos⁡α\cos \alphacosα חיובית רק לזווית חדה

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: $\tan \alpha = \sin \frac{\alpha }{\cos } \alpha$

הוכיחו: $\sin ^{2}\alpha + \cos ^{2}\alpha = 1$

הוכיחו: $\sin (90^{\circ}-\alpha ) = \cos \alpha$ ו- $\cos (90^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha$

חשבו את $\sin 120^{\circ}$ באמצעות $\sin (180^{\circ}-\alpha ) = \sin \alpha$

נתון $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ ו- $\alpha$ חדה. מצאו את $\cos \alpha$ ואת $\tan \alpha$

טעות נפוצה: חושבים ש- $\cos (180^{\circ}-\alpha ) = \cos \alpha$ כמו בסינוס

טעות נפוצה: שוכחים שהתשובה ל- $\cos \alpha$ חיובית רק לזווית חדה