הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות של זווית חדה

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר את שלוש הפונקציות הטריגונומטריות של זווית חדה כיחסי צלעות במשולש ישר זווית
להבין, בעזרת דמיון משולשים, מדוע ערך הפונקציה תלוי רק בגודל הזווית ולא בגודל המשולש
להכיר את התנהגות הסינוס, הקוסינוס והטנגנס כאשר הזווית גדלה מ-0° עד 90°
לזהות את הקשר בין הטנגנס של זווית חדה לבין שיפוע של ישר במערכת צירים

הערה חשובה על יחידות מידה

בכל היחידה הזו אנו מודדים זוויות במעלות בלבד (°), ולא ברדיאנים. כך למשל נכתוב 30°, 45°, 90° וכדומה.

הרעיון המרכזי

שלוש הפונקציות הטריגונומטריות

במשולש ישר זווית, נסמן זווית חדה ב- $α$ . ביחס לזווית זו לכל צלע יש שם:

היתר — הצלע שמול הזווית הישרה (הצלע הארוכה ביותר).
הניצב שמול $α$ — הצלע שממול לזווית $α$ .
הניצב שליד $α$ — הניצב שכולא את הזווית $α$ יחד עם היתר.

ההגדרות:

sin α = \frac{ניצב מול}{יתר}

cos α = \frac{ניצב ליד}{יתר}

tan α = \frac{ניצב מול}{ניצב ליד}

ראשי תיבות לזיכרון: סינוס = מול / יתר, קוסינוס = ליד / יתר, טנגנס = מול / ליד.

מדוע הערך תלוי רק בזווית? — דמיון משולשים

ניקח שני משולשים ישרי זווית שיש להם אותה זווית חדה $α$ . מכיוון שבשניהם יש זווית ישרה וזווית $α$ שווה, לפי משפט הדמיון ז.ז. המשולשים דומים. בדמיון, היחס בין כל שתי צלעות מתאימות שווה, ולכן:

$\frac{ניצב מול}{יתר}$ מקבל את אותו ערך בשני המשולשים.

מסקנה: $sin α$ (וכן $cos α$ ו- $tan α$ ) תלוי רק בגודל הזווית $α$ , ולא בגודל המשולש. לכן מותר לדבר על "הסינוס של 30°" בלי לציין באיזה משולש מדובר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שלושת היחסים במשולש 3-4-5

במשולש ABC הזווית C ישרה $, BC = 3 ($ מול $A), AC = 4 ($ ליד $A), AB = 5 ($ יתר). חשבו את $\sin A, \cos A, \tan A$

sin A = \frac{3}{5}, cos A = \frac{4}{5}, tan A = \frac{3}{4}

שלב 1 — מזהים את הצלעות ביחס לזווית A

הניצב מול A הוא

BC = 3

, הניצב שליד A הוא

AC = 4

, והיתר הוא

AB = 5

דוגמה 2: היחסים של הזווית השנייה באותו משולש

באותו משולש $3-4-5$ , חשבו את $\sin B, \cos B, \tan B ($ הזווית B מול $AC = 4)$

sin B = \frac{4}{5} = cos A, cos B = \frac{3}{5} = sin A

שלב 1 — מזהים מחדש ביחס לזווית B

כעת הניצב מול B הוא

AC = 4

, הניצב שליד B הוא

BC = 3

, והיתר נשאר

AB = 5

דוגמה 3: הדמיון שומר על הערך

משולש ישר זווית בעל ניצבים 6 ו-8 ויתר 10. הראו ש- $\sin$ של הזווית מול הניצב 6 שווה לערך במשולש $3-4-5$

\frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6

הגדלה פי 2 לא משנה את היחס — בדיוק כפי שדמיון מבטיח.

שלב 1 — מחשבים את הסינוס במשולש הגדול

הניצב מול הזווית הוא 6 והיתר הוא 10, לכן

\sin \alpha = \frac{6}{10}

דוגמה 4: שימוש במשפט פיתגורס לפני חישוב היחס

במשולש ישר זווית הניצב מול $\alpha$ הוא 8 והיתר הוא 17. חשבו את $\tan \alpha$

b = 1 7^{2} - 8^{2} = 225 = 15, tan α = \frac{8}{15}

שלב 1 — מוצאים את הניצב החסר

לפי פיתגורס:

17^{2} = 8^{2} + b^{2}

, כלומר

289 = 64 + b^{2}

בדיקה מהירה

במשולש ישר זווית, כיצד מוגדר הסינוס של זווית חדה $\alpha$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש ABC הזווית C ישרה. הניצב שמול הזווית A הוא $BC = 3$ , הניצב שלידה הוא $AC = 4$ והיתר הוא $AB = 5$ . מהו $\sin A$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

שני משולשים ישרי זווית דומים: באחד הניצבים הם 3 ו-4 והיתר 5, ובשני הניצבים הם 6 ו-8 והיתר 10. מהו היחס בין הסינוסים של הזוויות המתאימות (הזווית שמול הניצב הקטן בכל משולש)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

התנהגות הפונקציות כאשר הזווית גדלה מ-0° עד 90°

מה קורה לערכים?

נדמיין משולש ישר זווית שבו היתר קבוע, ומגדילים בהדרגה את הזווית החדה $α$ מ-0° לכיוון 90°:

סינוס עולה: הניצב שמול הזווית מתארך, ולכן $sin α$ גדל מ-0 ל-1.
קוסינוס יורד: הניצב שליד הזווית מתקצר, ולכן $cos α$ קטן מ-1 ל-0.
טנגנס עולה: $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ , המונה גדל והמכנה קטן, ולכן $tan α$ גדל מ-0 לאינסוף.

ערכי קצה:

sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0

sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° — לא מוגדר

הטנגנס אינו מוגדר ב-90° כי הניצב שליד הזווית מתאפס, ואי אפשר לחלק ב-0.

הקשר בין הטנגנס לשיפוע של ישר

טנגנס = שיפוע

כאשר ישר עולה במערכת צירים, הוא יוצר עם כיוון ציר ה-x זווית חדה $α$ . אם נתבונן ב"משולש שיפוע" — מתקדמים ימינה מרחק אופקי ועולים מרחק אנכי — נקבל:

שיפוע = \frac{עלייה אנכית}{התקדמות אופקית} = tan α

זאת בדיוק ההגדרה של הטנגנס: הניצב שמול הזווית (האנכי) חלקי הניצב שלידה (האופקי). לכן ככל שהישר תלול יותר, הזווית גדולה יותר והטנגנס (השיפוע) גדל.

דוגמה 5: שיפוע כטנגנס

ישר עולה: מכל התקדמות של 4 יחידות ימינה הוא עולה 3 יחידות. מהו $\tan$ של הזווית שהוא יוצר עם ציר ה-x?

tan α = \frac{3}{4} = 0.75

שלב 1 — בונים משולש שיפוע

הניצב האופקי (ליד הזווית) הוא 4, והניצב האנכי (מול הזווית) הוא 3.

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: במשולש ישר זווית, היתר הוא תמיד הצלע שנמצאת מול הזווית הישרה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר זווית הניצב שמול הזווית $\alpha$ הוא 8 והיתר הוא 17. חשבו את $\tan \alpha ($ הזינו כשבר עשרוני מעוגל לשלוש ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

תלמיד טוען: "אם אגדיל את כל צלעות המשולש ישר הזווית פי 3, ערך הקוסינוס של הזווית החדה יגדל פי 3." האם הטענה נכונה, ומדוע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין הניצב שמול לניצב שליד

במשולש 3-4-5 (הזווית A מול הצלע 3):

טעות: $sin A = \frac{4}{5}$

נכון: $sin A = \frac{3}{5}$ (3 נמצאת מול A)

למה זה קורה?

תלמידים שמים את הצלע הלא נכונה במונה, ומקבלים סינוס במקום קוסינוס.

איך מתקנים?

שאלו תמיד: 'האם הצלע נמצאת מול הזווית או צמודה לה?' מול → סינוס במונה, ליד → קוסינוס במונה.

טעות נפוצה: לא מזהים נכון את היתר

היתר אינו תלוי בכיוון הציור — הוא תמיד מול הזווית של 90°.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שהצלע התחתונה בציור היא היתר, או בוחרים צלע אקראית.

איך מתקנים?

היתר הוא תמיד הצלע שמול הזווית הישרה, והוא הצלע הארוכה ביותר. אתרו קודם את הזווית הישרה.

טעות נפוצה: חושבים שהערך משתנה כשהמשולש גדל

$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ — הגדלה פי 2 לא שינתה את הערך.

למה זה קורה?

נדמה שאם הצלעות גדלות, גם הסינוס גדל.

איך מתקנים?

כשמגדילים את כל הצלעות באותו יחס מקבלים משולש דומה, והיחס בין הצלעות נשמר. הסינוס תלוי רק בזווית.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\tan 90^{\circ}$ שווה לאיזשהו מספר גדול

$tan 90° = \frac{1}{0}$ — לא מוגדר. הטנגנס רק שואף לאינסוף כש- $α$ מתקרבת ל-90°.

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

\tan 90^{\circ} =

אינסוף כאילו זה ערך מספרי.

איך מתקנים?

ב-

90^{\circ}

הניצב שליד הזווית מתאפס, וחלוקה ב-0 אינה מוגדרת. לכן

\tan 90^{\circ}

פשוט אינו מוגדר.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הסינוס לטנגנס

$sin α = \frac{מול}{יתר}$ אבל $tan α = \frac{מול}{ליד}$

למה זה קורה?

שתי הפונקציות כוללות את 'הניצב שמול' במונה, וקל להחליף את המכנה.

איך מתקנים?

במכנה של הסינוס יש את היתר; במכנה של הטנגנס יש את הניצב שליד. בדקו תמיד מה במכנה.

סיכום

מה למדנו?

שלוש הפונקציות הטריגונומטריות של זווית חדה:

sin α = \frac{ניצב מול}{יתר}, cos α = \frac{ניצב ליד}{יתר}, tan α = \frac{ניצב מול}{ניצב ליד}

רעיונות מרכזיים:

בזכות דמיון משולשים, ערך כל פונקציה תלוי רק בגודל הזווית.
כש- $α$ גדלה מ-0° ל-90°: הסינוס עולה מ-0 ל-1, הקוסינוס יורד מ-1 ל-0, והטנגנס עולה מ-0 לאינסוף.
$sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0$ , ו- $tan 90°$ אינו מוגדר.
הטנגנס של הזווית שישר יוצר עם ציר ה-x שווה לשיפוע הישר.

כל הכבוד! יש לכם עכשיו את היסודות של כל הטריגונומטריה במשולש ישר זווית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות וזיהוי הצלעות.

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות של זווית חדה

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות של זווית חדה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שלושת היחסים במשולש 3-4-5

במשולש ABC הזווית C ישרה,BC=3(, BC = 3 (,BC=3(מול A),AC=4(A), AC = 4 (A),AC=4(ליד A),AB=5(A), AB = 5 (A),AB=5(יתר). חשבו את sin⁡A,cos⁡A,tan⁡A\sin A, \cos A, \tan AsinA,cosA,tanA

דוגמה 2: היחסים של הזווית השנייה באותו משולש

באותו משולש 3−4−53-4-53−4−5, חשבו את sin⁡B,cos⁡B,tan⁡B(\sin B, \cos B, \tan B (sinB,cosB,tanB(הזווית B מול AC=4)AC = 4)AC=4)

דוגמה 3: הדמיון שומר על הערך

משולש ישר זווית בעל ניצבים 6 ו-8 ויתר 10. הראו ש-sin⁡\sinsin של הזווית מול הניצב 6 שווה לערך במשולש 3−4−53-4-53−4−5

דוגמה 4: שימוש במשפט פיתגורס לפני חישוב היחס

במשולש ישר זווית הניצב מול α\alphaα הוא 8 והיתר הוא 17. חשבו את tan⁡α\tan \alphatanα

בדיקה מהירה

התנהגות הפונקציות כאשר הזווית גדלה מ-0° עד 90°

הקשר בין הטנגנס לשיפוע של ישר

דוגמה 5: שיפוע כטנגנס

ישר עולה: מכל התקדמות של 4 יחידות ימינה הוא עולה 3 יחידות. מהו tan⁡\tantan של הזווית שהוא יוצר עם ציר ה-x?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין הניצב שמול לניצב שליד

טעות נפוצה: לא מזהים נכון את היתר

טעות נפוצה: חושבים שהערך משתנה כשהמשולש גדל

טעות נפוצה: חושבים ש-tan⁡90∘\tan 90^{\circ}tan90∘ שווה לאיזשהו מספר גדול

טעות נפוצה: מבלבלים בין הסינוס לטנגנס

סיכום

תרגול נוסף

במשולש ABC הזווית C ישרה $, BC = 3 ($ מול $A), AC = 4 ($ ליד $A), AB = 5 ($ יתר). חשבו את $\sin A, \cos A, \tan A$

באותו משולש $3-4-5$ , חשבו את $\sin B, \cos B, \tan B ($ הזווית B מול $AC = 4)$

משולש ישר זווית בעל ניצבים 6 ו-8 ויתר 10. הראו ש- $\sin$ של הזווית מול הניצב 6 שווה לערך במשולש $3-4-5$

במשולש ישר זווית הניצב מול $\alpha$ הוא 8 והיתר הוא 17. חשבו את $\tan \alpha$

ישר עולה: מכל התקדמות של 4 יחידות ימינה הוא עולה 3 יחידות. מהו $\tan$ של הזווית שהוא יוצר עם ציר ה-x?

טעות נפוצה: חושבים ש- $\tan 90^{\circ}$ שווה לאיזשהו מספר גדול