גבהים ומפגש הגבהים

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר גובה: קטע מקודקוד המאונך לצלע שמולו (או להמשכה).
להבין ששלושת הגבהים — או הישרים המכילים אותם — נחתכים בנקודה אחת, מפגש הגבהים.
להבחין במיקום מפגש הגבהים במשולש חד-זווית, ישר-זווית וקהה-זווית.
להשתמש בגובה כ"גובה" בנוסחת השטח של המשולש.

הרעיון המרכזי

הגובה — הגדרה ומשפט המפגש

הגדרה: גובה במשולש הוא קטע היורד מקודקוד ומאונך (90°) לצלע שמולו, או להמשך הצלע. בכל משולש שלושה גבהים.

משפט המפגש: שלושת הגבהים של משולש, או הישרים המכילים אותם, נחתכים בנקודה אחת — מפגש הגבהים (אורתוצנטר).

מדוע 'הישרים המכילים אותם'? במשולש קהה-זווית חלק מהגבהים נופלים על המשכי הצלעות, ולכן המפגש מתקבל מחיתוך הישרים מחוץ למשולש.

מיקום לפי סוג המשולש:

חד-זווית: בתוך המשולש.
ישר-זווית: בקודקוד הזווית הישרה (שני הניצבים הם גבהים).
קהה-זווית: מחוץ למשולש.

קשר לשטח: הגובה לצלע הוא ה"גובה" בנוסחה $S = \frac{1}{2} \cdot בסיס \cdot גובה$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי הגובה

במשולש ABC מורידים מ-A קטע המאונך ל-BC. כיצד נקרא הקטע?

A D ⊥ BC \Rightarrow A D הוא גובה

שלב 1 — הצלע שמול A

הצלע שמול הקודקוד A היא BC.

דוגמה 2: מפגש הגבהים במשולש ישר-זווית

היכן מפגש הגבהים במשולש ישר-זווית (הזווית הישרה ב-C)?

C A ⊥ CB \Rightarrow מפגש הגבהים = C

שלב 1 — הניצבים

CA מאונך ל-CB (כי הזווית ב-C ישרה).

דוגמה 3: מפגש הגבהים במשולש קהה-זווית

היכן מפגש הגבהים במשולש קהה-זווית?

במשולש קהה-זווית מפגש הגבהים מתקבל מחיתוך הישרים המכילים את הגבהים, מחוץ למשולש.

שלב 1 — גבהים על המשכים

שני גבהים נופלים על המשכי הצלעות (מחוץ למשולש).

דוגמה 4: הגובה ושטח המשולש

שטח המשולש 30 סמ״ר, הצלע שאליה יורד הגובה 10 ס״מ. מצאו את הגובה.

30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h \Rightarrow h = 6

שלב 1 — נוסחת השטח

S = \frac{1}{2} \cdot

בסיס · גובה.

בדיקה מהירה

מהי ההגדרה של גובה במשולש?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש ישר-זווית, היכן נמצאת נקודת מפגש הגבהים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מציאת צלע מתוך שטח וגובה

שטח המשולש 84 סמ״ר, והגובה לאחת הצלעות 12 ס״מ. מצאו את הצלע.

84 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 12 \Rightarrow a = 14

שלב 1 — נוסחת השטח

S = \frac{1}{2} \cdot

צלע · גובה.

דוגמה 6: סיכום מיקום מפגש הגבהים

לכל סוג משולש — היכן מפגש הגבהים?

שימו לב להבדל ממפגש האנכים האמצעיים: במשולש ישר-זווית מפגש הגבהים בקודקוד הישר, בעוד מפגש האנכים האמצעיים על אמצע היתר.

חד-זווית

כל הגבהים בפנים — המפגש בתוך המשולש.

בדיקה מהירה

במשולש קהה-זווית, היכן נמצאת נקודת מפגש הגבהים (מפגש הישרים המכילים את הגבהים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזו טענה מתארת נכון את מיקום מפגש הגבהים בשלושת סוגי המשולשים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין גובה לתיכון

גובה: מאונך לצלע (90°), רגלו בכל מקום על הצלע.

תיכון: מגיע לאמצע הצלע, לא בהכרח מאונך.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שהגובה מגיע לאמצע הצלע.

איך מתקנים?

הגובה מאונך לצלע, ורגלו אינה בהכרח באמצע. התיכון מגיע לאמצע אך אינו בהכרח מאונך.

טעות נפוצה: חושבים שהגובה תמיד נופל בתוך המשולש

במשולש קהה-זווית: חלק מהגבהים על המשכי הצלעות, מחוץ למשולש.

למה זה קורה?

מכלילים מהמקרה החד-זווית.

איך מתקנים?

במשולש קהה-זווית שני גבהים נופלים על המשכי הצלעות, ולכן מדברים על הישרים המכילים את הגבהים.

טעות נפוצה: חושבים שמפגש הגבהים תמיד בפנים

מפגש הגבהים: חד-זווית (בפנים), ישר-זווית (קודקוד ישר), קהה-זווית (בחוץ).

למה זה קורה?

לא מבחינים בין סוגי המשולשים.

איך מתקנים?

חד-זווית — בפנים; ישר-זווית — בקודקוד הזווית הישרה; קהה-זווית — מחוץ למשולש.

טעות נפוצה: ערבוב בין מפגש הגבהים למפגש האנכים האמצעיים

מפגש הגבהים: קודקוד הזווית הישרה.

מפגש האנכים האמצעיים: אמצע היתר.

למה זה קורה?

במשולש ישר-זווית שתי הנקודות 'מיוחדות' וקל להחליף ביניהן.

איך מתקנים?

מפגש הגבהים בקודקוד הזווית הישרה; מפגש האנכים האמצעיים על אמצע היתר. אלו נקודות שונות.

סיכום

מה למדנו?

גובה: קטע מקודקוד המאונך לצלע שמולו (או להמשכה).

מפגש הגבהים: שלושת הגבהים, או הישרים המכילים אותם, נחתכים בנקודה אחת.

מיקום: חד-זווית — בפנים; ישר-זווית — בקודקוד הזווית הישרה; קהה-זווית — בחוץ.

שטח: הגובה הוא ה"גובה" בנוסחה $S = \frac{1}{2} \cdot בסיס \cdot גובה$ .

כל הכבוד! סיימתם את היחידה — עברו לתרגול כדי לבסס את החומר.