חוצי זוויות במשולש

מבוא

מטרות השיעור

להבין את חוצה הזווית כמקום גאומטרי: אוסף כל הנקודות שמרחקן משני שוקי הזווית שווה.
להבין ששלושת חוצי הזוויות נחתכים בנקודה אחת — מרכז המעגל החסום.
ליישם את משפט חוצה הזווית הפנימית: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .
להשתמש במשפט ההפוך כדי לזהות מתי ישר הוא חוצה זווית.

הרעיון המרכזי

חוצה הזווית — הגדרה, מקום גאומטרי ומשפטים

חוצה זווית: קטע (או קרן) המחלק את הזווית לשתי זוויות שוות.

מקום גאומטרי: חוצה הזווית הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן (האנך) משני שוקי הזווית שווה. הטענה דו-כיוונית:

כל נקודה על חוצה הזווית — מרחקה משני השוקיים שווה.
כל נקודה שוות-מרחק מהשוקיים — נמצאת על חוצה הזווית.

מפגש: שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שמרחקה משלוש הצלעות שווה. זהו מרכז המעגל החסום, ותמיד בתוך המשולש.

משפט חוצה הזווית הפנימית: חוצה הזווית מ-A פוגש את BC ב-D, ומחלק אותה ביחס הצלעות הכולאות: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

המשפט ההפוך: אם ישר היוצא מקודקוד מחלק את הצלע שמולו פנימית ביחס שתי הצלעות האחרות — הוא חוצה הזווית.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חוצה הזווית כמקום גאומטרי

נקודה P נמצאת על חוצה הזווית A. מרחקה משוק אחד הוא 3 ס״מ. מהו מרחקה מהשוק השני?

dist (P, ℓ_{1}) = dist (P, ℓ_{2}) = 3

שלב 1 — התכונה המגדירה

חוצה הזווית הוא מקום הנקודות שוות-המרחק משני שוקי הזווית.

דוגמה 2: יישום משפט חוצה הזווית

במשולש $ABC: AB = 8, AC = 6, BC = 14$ . חוצה הזווית מ-A פוגש את BC ב-D. מצאו את BD ו-DC.

\frac{B D}{D C} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, B D = 8, D C = 6

שלב 1 — כותבים את היחס

BD : DC = AB : AC = 8 : 6 = 4 : 3

דוגמה 3: נתון חלק אחד — מוצאים את השני

במשולש $ABC: AB = 9, AC = 6$ , ו- $DC = 4 (D$ על BC, חוצה זווית מ-A). מצאו את BD.

B D = \frac{A B}{A C} \cdot D C = \frac{9}{6} \cdot 4 = 6

שלב 1 — היחס

BD : DC = AB : AC = 9 : 6 = 3 : 2

דוגמה 4: שימוש במשפט ההפוך

במשולש $ABC: AB = 12, AC = 8$ . נקודה D על BC עם $BD = 9, DC = 6$ . האם AD חוצה זווית?

\frac{B D}{D C} = \frac{3}{2} = \frac{A B}{A C} \Rightarrow A D חוצה זווית

שלב 1 — יחס החלקים

BD : DC = 9 : 6 = 3 : 2

בדיקה מהירה

חוצה זווית הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות המקיימות תכונה מסוימת. מהי התכונה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש ABC, חוצה הזווית מהקודקוד A פוגש את הצלע BC בנקודה D. לפי משפט חוצה הזווית הפנימית, לאיזה יחס שווה היחס BD : DC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: חלוקת צלע נתונה לפי היחס

במשולש $ABC: AB = 10, AC = 15, BC = 20$ . מצאו את BD ו-DC (D נקודת חוצה הזווית מ-A).

\frac{B D}{D C} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}, B D = 8, D C = 12

שלב 1 — היחס

BD : DC = AB : AC = 10 : 15 = 2 : 3

דוגמה 6: מפגש חוצי הזוויות

הסבירו מדוע מפגש שלושת חוצי הזוויות שוות-מרחק משלוש הצלעות.

dist = r מכל הצלעות \Rightarrow מרכז המעגל החסום

שלב 1 — חוצה הזווית מ-A

נקודה עליו שוות-מרחק מהצלעות AB ו-AC.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

במשולש $ABC: AB = 8, AC = 6$ , והצלע $BC = 14$ . חוצה הזווית מ-A פוגש את BC בנקודה D. מהו אורך הקטע DC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש $ABC: AB = 10, AC = 15, BC = 20$ . חוצה הזווית מ-A פוגש את BC בנקודה D. מהו אורך הקטע BD (הצמוד לקודקוד B)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שחוצה הזווית חוצה את הצלע לשני חלקים שווים

טעות: BD = DC תמיד

נכון: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (שווה רק כאשר AB = AC)

למה זה קורה?

בלבול בין חוצה זווית לתיכון.

איך מתקנים?

חוצה הזווית מחלק את הצלע ביחס הצלעות הכולאות

, \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

, ולא בהכרח לשני חלקים שווים.

טעות נפוצה: היפוך ההתאמה ביחס

טעות: $\frac{B D}{D C} = \frac{A C}{A B}$

נכון: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

למה זה קורה?

כותבים

\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}

במקום

\frac{AB}{AC}

איך מתקנים?

הקטע BD צמוד לקודקוד B, ולכן הוא מתאים לצלע AB היוצאת מ-B. שמרו על ההתאמה: B↔AB, C↔AC.

טעות נפוצה: בלבול בין חוצה זווית לאנך אמצעי

חוצה זווית: שוות-מרחק משוקי הזווית.

אנך אמצעי: שוות-מרחק מקצות הקטע.

למה זה קורה?

שניהם 'מקום גאומטרי של מרחק שווה', אך ביחס לעצמים שונים.

איך מתקנים?

חוצה הזווית — מרחק שווה משני שוקי הזווית. האנך האמצעי — מרחק שווה משני קצות הקטע.

טעות נפוצה: שכחת בדיקת היחס במשפט ההפוך

רק אם $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ הישר AD הוא חוצה הזווית — חובה לבדוק שוויון מלא.

למה זה קורה?

מסיקים שישר הוא חוצה זווית בלי לוודא שהיחסים שווים.

איך מתקנים?

המשפט ההפוך דורש שוויון:

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

. אם היחסים שונים — הישר אינו חוצה זווית.

סיכום

מה למדנו?

חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתיים שוות; מקום הנקודות שוות-המרחק משוקי הזווית.

מפגש: שלושת חוצי הזוויות נפגשים במרכז המעגל החסום (שוות-מרחק משלוש הצלעות, תמיד בפנים).

המשפט: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (שמרו על ההתאמה B↔AB, C↔AC).

המשפט ההפוך: אם החלוקה היא ביחס הצלעות — הישר חוצה זווית.

כל הכבוד! עברו לתרגול כדי להתאמן על חוצי זוויות.

חוצי זוויות במשולש

חוצי זוויות במשולש

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חוצה הזווית כמקום גאומטרי

נקודה P נמצאת על חוצה הזווית A. מרחקה משוק אחד הוא 3 ס״מ. מהו מרחקה מהשוק השני?

דוגמה 2: יישום משפט חוצה הזווית

במשולש ABC:AB=8,AC=6,BC=14ABC: AB = 8, AC = 6, BC = 14ABC:AB=8,AC=6,BC=14. חוצה הזווית מ-A פוגש את BC ב-D. מצאו את BD ו-DC.

דוגמה 3: נתון חלק אחד — מוצאים את השני

במשולש ABC:AB=9,AC=6ABC: AB = 9, AC = 6ABC:AB=9,AC=6, ו-DC=4(DDC = 4 (DDC=4(D על BC, חוצה זווית מ-A). מצאו את BD.

דוגמה 4: שימוש במשפט ההפוך

במשולש ABC:AB=12,AC=8ABC: AB = 12, AC = 8ABC:AB=12,AC=8. נקודה D על BC עם BD=9,DC=6BD = 9, DC = 6BD=9,DC=6. האם AD חוצה זווית?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: חלוקת צלע נתונה לפי היחס

במשולש ABC:AB=10,AC=15,BC=20ABC: AB = 10, AC = 15, BC = 20ABC:AB=10,AC=15,BC=20. מצאו את BD ו-DC (D נקודת חוצה הזווית מ-A).

דוגמה 6: מפגש חוצי הזוויות

הסבירו מדוע מפגש שלושת חוצי הזוויות שוות-מרחק משלוש הצלעות.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שחוצה הזווית חוצה את הצלע לשני חלקים שווים

טעות נפוצה: היפוך ההתאמה ביחס

טעות נפוצה: בלבול בין חוצה זווית לאנך אמצעי

טעות נפוצה: שכחת בדיקת היחס במשפט ההפוך

סיכום

במשולש $ABC: AB = 8, AC = 6, BC = 14$ . חוצה הזווית מ-A פוגש את BC ב-D. מצאו את BD ו-DC.

במשולש $ABC: AB = 9, AC = 6$ , ו- $DC = 4 (D$ על BC, חוצה זווית מ-A). מצאו את BD.

במשולש $ABC: AB = 12, AC = 8$ . נקודה D על BC עם $BD = 9, DC = 6$ . האם AD חוצה זווית?

במשולש $ABC: AB = 10, AC = 15, BC = 20$ . מצאו את BD ו-DC (D נקודת חוצה הזווית מ-A).