תיכונים ומרכז הכובד

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר תיכון: קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו.
להבין ולנמק ששלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת — מרכז הכובד G.
ליישם את חוק היחס: מרכז הכובד מחלק כל תיכון ביחס 2:1 (החלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2).
להשתמש בכך שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
להכיר את התכונה המיוחדת: במשולש ישר-זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

הרעיון המרכזי

הגדרות ומשפטי התיכונים

תיכון (median): קטע המחבר קודקוד של משולש עם אמצע הצלע שמולו. בכל משולש שלושה תיכונים.

משפט מפגש התיכונים: שלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת הנקראת מרכז הכובד (מסומן G). הנקודה תמיד בתוך המשולש.

יחס 2:1: מרכז הכובד מחלק כל תיכון כך שהחלק שמהקודקוד אל G גדול פי 2 מהחלק שמ-G אל אמצע הצלע: AG : GM = 2 : 1

כלומר $A G = \frac{2}{3} A M$ ו- $GM = \frac{1}{3} A M$ .

שטחים שווים: התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטח שווה (בסיסים שווים ואותו גובה).

תיכון ליתר: במשולש ישר-זווית, התיכון אל היתר שווה למחצית היתר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי התיכון

במשולש ABC, נקודה M היא אמצע BC. מהו הקטע AM?

BM = MC \Rightarrow A M הוא תיכון

שלב 1 — מהי הצלע שמול A

הצלע שמול הקודקוד A היא BC.

דוגמה 2: יחס 2:1 — מהתיכון אל החלקים

התיכון AM באורך 18 ס״מ. מרכז הכובד G עליו. מצאו את AG ואת GM.

A G = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12, GM = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6

שלב 1 — חוק היחס

G מחלק את התיכון ביחס 2:1 מהקודקוד:

AG : GM = 2 : 1

דוגמה 3: יחס 2:1 — מחלק אחד אל השני

המרחק ממרכז הכובד אל אמצע הצלע הוא $GM = 5$ ס״מ. מצאו את AG ואת אורך התיכון.

A G = 2 \cdot GM = 10, A M = 10 + 5 = 15

שלב 1 — היחס

AG : GM = 2 : 1

, לכן AG גדול פי 2 מ-GM.

דוגמה 4: שני משולשים שווי שטח

שטח המשולש ABC הוא 30 סמ״ר, ו-AM תיכון לצלע BC. מהו שטח ABM?

S_{A BM} = \frac{1}{2} S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15

שלב 1 — בסיסים שווים

M אמצע BC, לכן

BM = MC

בדיקה מהירה

מהי ההגדרה של תיכון במשולש?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית אורך היתר הוא 10 ס"מ. מהו אורך התיכון היורד אל היתר (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: התיכון ליתר במשולש ישר-זווית

במשולש ישר-זווית הניצבים 6 ו-8 ס״מ. מצאו את התיכון אל היתר.

היתר = 6^{2} + 8^{2} = 10, t_{יתר} = \frac{10}{2} = 5

שלב 1 — היתר בפיתגורס

היתר

= \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

ס״מ.

דוגמה 6: מדוע התיכון ליתר שווה למחצית היתר

נמקו: במשולש ישר-זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

CM = R = \frac{1}{2} \cdot היתר

שלב 1 — המעגל החוסם

במשולש ישר-זווית היתר הוא קוטר המעגל החוסם, ומרכזו הוא אמצע היתר M.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

במשולש ABC, התיכון מהקודקוד A אל אמצע הצלע M שמולו הוא $AM = 18$ ס"מ. מרכז הכובד G נמצא על התיכון. מהו אורך הקטע AG (מהקודקוד אל מרכז הכובד, בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש, G הוא מרכז הכובד הנמצא על התיכון AM. ידוע שהמרחק ממרכז הכובד אל אמצע הצלע הוא $GM = 5$ ס"מ. מהו אורך הקטע AG (מהקודקוד אל מרכז הכובד)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: היפוך יחס מרכז הכובד

טעות: $A G = \frac{1}{3} A M$

נכון: $A G = \frac{2}{3} A M, GM = \frac{1}{3} A M$

למה זה קורה?

תלמידים לוקחים את החלק שמהקודקוד אל G כשליש מהתיכון במקום שני שלישים.

איך מתקנים?

החלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2. לכן

AG = \frac{2}{3}

מהתיכון ו-

GM = \frac{1}{3}

ממנו.

טעות נפוצה: בלבול בין תיכון לגובה

תיכון: מגיע לאמצע הצלע (BM = MC).

גובה: מאונך לצלע (זווית 90°).

הם שווים זה לזה רק במשולש שווה-שוקיים, מהקודקוד שבין השוקיים.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שהתיכון מאונך לצלע שאליה הוא יורד.

איך מתקנים?

התיכון מגיע ל'אמצע' הצלע, אך אינו בהכרח מאונך לה. הגובה הוא זה שמאונך לצלע.

טעות נפוצה: החלת התיכון ליתר על משולש כלשהו

טעות: בכל משולש $A M = \frac{1}{2} BC$

נכון: רק במשולש ישר-זווית, ורק עבור התיכון אל היתר: $CM = \frac{1}{2} \cdot היתר$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שכל תיכון שווה למחצית הצלע שאליה הוא יורד.

איך מתקנים?

התכונה 'תיכון = מחצית הצלע' נכונה אך ורק לתיכון אל היתר במשולש ישר-זווית.

טעות נפוצה: חישוב שטח החצי כרבע

טעות: שטח ABM = ¼ · שטח ABC

נכון: $S_{A BM} = \frac{1}{2} S_{A BC}$

למה זה קורה?

בלבול בין חלוקת תיכון לחלוקת שתי תיכונות.

איך מתקנים?

תיכון אחד מחלק את המשולש לשני חצאים שווים — כל חלק הוא חצי מהשטח, לא רבע.

סיכום

מה למדנו?

תיכון: קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו.

מרכז הכובד G: מפגש שלושת התיכונים, תמיד בתוך המשולש.

יחס 2:1: AG : GM = 2 : 1, כלומר $A G = \frac{2}{3} A M$ .

שטחים שווים: תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.

תיכון ליתר: במשולש ישר-זווית $t_{יתר} = \frac{1}{2} \cdot היתר$ .

כל הכבוד! עברו לתרגול כדי להתאמן על תיכונים ומרכז הכובד.

תיכונים ומרכז הכובד

תיכונים ומרכז הכובד

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי התיכון

במשולש ABC, נקודה M היא אמצע BC. מהו הקטע AM?

דוגמה 2: יחס 2:1 — מהתיכון אל החלקים

התיכון AM באורך 18 ס״מ. מרכז הכובד G עליו. מצאו את AG ואת GM.

דוגמה 3: יחס 2:1 — מחלק אחד אל השני

המרחק ממרכז הכובד אל אמצע הצלע הוא GM=5GM = 5GM=5 ס״מ. מצאו את AG ואת אורך התיכון.

דוגמה 4: שני משולשים שווי שטח

שטח המשולש ABC הוא 30 סמ״ר, ו-AM תיכון לצלע BC. מהו שטח ABM?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: התיכון ליתר במשולש ישר-זווית

במשולש ישר-זווית הניצבים 6 ו-8 ס״מ. מצאו את התיכון אל היתר.

דוגמה 6: מדוע התיכון ליתר שווה למחצית היתר

נמקו: במשולש ישר-זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: היפוך יחס מרכז הכובד

טעות נפוצה: בלבול בין תיכון לגובה

טעות נפוצה: החלת התיכון ליתר על משולש כלשהו

טעות נפוצה: חישוב שטח החצי כרבע

סיכום

המרחק ממרכז הכובד אל אמצע הצלע הוא $GM = 5$ ס״מ. מצאו את AG ואת אורך התיכון.