יחס ההיקפים ויחס השטחים במשולשים דומים

מבוא

בשיעור הקודם הגדרנו את יחס הדמיון k — היחס הקבוע בין צלעות מתאימות במשולשים דומים. עכשיו נשאל: מה קורה להיקף ולשטח כאשר עוברים ממשולש אחד למשולש הדומה לו? נראה שתי תוצאות חשובות שמבדילות בין אורך לשטח.

מטרות השיעור

להבין שבמשולשים דומים היחס בין ההיקפים שווה ליחס הדמיון k.
להבין שהיחס בין השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון, $k^{2}$ .
לחשב היקף או שטח של משולש מתוך נתוני המשולש הדומה לו.
לעבור מיחס שטחים ליחס אורכים (יחס דמיון או יחס היקפים) בעזרת הוצאת שורש.

הרעיון המרכזי

שני הכללים המרכזיים

נסמן ב-k את יחס הדמיון בין שני משולשים דומים.

1. היקפים — יחס ליניארי: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k$

2. שטחים — ריבוע היחס: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$

מדוע ההיקף מתנהג כמו אורך? ההיקף הוא סכום של צלעות, וכל צלע גדלה פי k, ולכן גם הסכום (ההיקף) גדל פי k. לעומת זאת השטח הוא גודל דו-ממדי (אורך כפול אורך): כשכל אורך גדל פי k, השטח גדל פי $k \cdot k = k^{2}$ .

מעבר בכיוון ההפוך — מהשטח אל האורך

אם נתון יחס השטחים ומבקשים את יחס הדמיון או את יחס ההיקפים, יש להוציא שורש:

k = \frac{S _{1}}{S _{2}}

כך, יחס שטחים 9:16 מתאים ליחס דמיון (ולהיקפים) של $9 : 16 = 3 : 4$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: יחס היקפים

שני משולשים דומים ביחס 2:3 (קטן לגדול). היקף הקטן 12 ס״מ. מצאו את היקף הגדול

\frac{12}{P} = \frac{2}{3} \Rightarrow P = 18

שלב 1 — יחס ההיקפים = יחס הדמיון

\frac{12}{P} = \frac{2}{3}

בדיקה מהירה

שני משולשים דומים, ויחס הדמיון ביניהם (הגדול לקטן) הוא 5:3. מהו היחס בין היקפיהם (ההיקף של הגדול להיקף של הקטן)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: יחס שטחים (ריבוע יחס הדמיון)

צלעות מתאימות 10 ו-25, שטח הגדול 100 סמ״ר. מצאו את שטח הקטן

k^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}, S = \frac{4}{25} \cdot 100 = 16

טעות נפוצה: להכפיל ב- $\frac{2}{5}$ ולקבל 40. בשטחים מכפילים ב- $k^{2}$ !

שלב 1 — יחס דמיון

k = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בשני משולשים דומים, היחס בין השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. יחס הדמיון של הגדול לקטן הוא 3. שטח המשולש הקטן הוא 12 סמ"ר. מהו שטח המשולש הגדול (בסמ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מהשטח אל יחס הדמיון

שני משולשים דומים. שטחיהם 50 סמ״ר ו-72 סמ״ר. מצאו את יחס הדמיון

k^{2} = \frac{50}{72} = \frac{25}{36} \Rightarrow k = \frac{25}{36} = \frac{5}{6}

שלב 1 — יחס השטחים הוא $k^{2}$

k^{2} = \frac{50}{72} = \frac{25}{36}

דוגמה 4: מיחס שטחים אל יחס היקפים

יחס השטחים 9:16, היקף הקטן 21 ס״מ. מצאו את היקף הגדול

k = \frac{9}{16} = \frac{3}{4}, \frac{21}{P} = \frac{3}{4} \Rightarrow P = 28

שלב 1 — מיחס שטחים אל יחס דמיון

k = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. היחס בין שטחיהם (הקטן לגדול) הוא 9:16. היקף המשולש הקטן הוא 24 ס"מ. מהו היקף המשולש הגדול (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: משילוב היקפים ושטחים

היקף הקטן 18 ס״מ, היקף הגדול 24 ס״מ, שטח הקטן 27 סמ״ר. מצאו את שטח הגדול

k = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}, \frac{27}{S} = (\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16} \Rightarrow S = 48

שלב 1 — יחס דמיון מן ההיקפים

k = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} (

קטן לגדול)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שיחס השטחים שווה ליחס הדמיון

טעות: יחס דמיון 2:3 ⟸ יחס שטחים 2:3

נכון: יחס דמיון 2:3 ⟸ יחס שטחים $2^{2} : 3^{2} = 4 : 9$

למה זה קורה?

מיישמים את יחס הצלעות ישירות על השטח.

איך מתקנים?

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: אם הצלעות ביחס k, השטחים ביחס

k^{2}

. ליחס 2:3 שטחים 4:9.

טעות נפוצה: מעלים בריבוע גם את ההיקף

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = k$ — בלי ריבוע. רק $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$ .

למה זה קורה?

אחרי שלומדים ש-

k^{2}

שייך לשטח, מתחילים לרבע גם את ההיקף.

איך מתקנים?

ההיקף הוא אורך (סכום צלעות), ולכן היחס בין היקפים שווה ל-k בלבד — בלי ריבוע.

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש כשנתון יחס שטחים

אם יחס השטחים הוא $\frac{16}{25}$ , אז יחס הדמיון הוא $\frac{16}{25} = \frac{4}{5}$ , ולא $\frac{16}{25}$ .

למה זה קורה?

כשנתון יחס השטחים ומבקשים יחס דמיון או יחס היקפים, משתמשים ביחס השטחים כמו שהוא.

איך מתקנים?

יחס השטחים הוא

k^{2}

. כדי לקבל את יחס הדמיון (וגם את יחס ההיקפים) צריך להוציא שורש.

טעות נפוצה: מבלבלים את כיוון היחס

אם מבקשים את היחס "הגדול לקטן", הצבה כמו $\frac{קטן}{גדול}$ תיתן תשובה הפוכה.

למה זה קורה?

לא שמים לב מי במונה ומי במכנה — הגדול לקטן או הקטן לגדול.

איך מתקנים?

קבעו מראש איזה משולש במונה, והקפידו על אותו כיוון לכל אורך הפתרון.

סיכום

מה למדנו?

במשולשים דומים עם יחס דמיון k:

היקפים: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k$
שטחים: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$

טיפים:

היקף הוא אורך, ולכן יחס k.
שטח הוא דו-ממדי, ולכן יחס $k^{2}$ .
נתון יחס שטחים ומבקשים יחס דמיון או היקפים? הוציאו שורש.
קבעו מראש את כיוון היחס ושמרו עליו.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לעבור בין יחסי הדמיון, ההיקפים והשטחים במשולשים דומים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יחס ההיקפים, יחס השטחים והמעבר ביניהם!