יחס הקווים המיוחדים במשולשים דומים

מבוא

ראינו שהיקפים מתנהגים כמו אורך (יחס k) ושטחים מתנהגים כמו ריבוע (יחס $k^{2}$ ). מה לגבי הקווים המיוחדים של המשולש — הגובה, חוצה הזווית והתיכון? כל אלה הם אורכים, ולכן, כמו ההיקף, היחס ביניהם במשולשים דומים שווה בדיוק ליחס הדמיון k.

מטרות השיעור

לדעת שבמשולשים דומים היחס בין גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון k.
לדעת שאותו דבר נכון לחוצי זוויות מתאימים ולתיכונים מתאימים.
לחשב אורך של קו מיוחד חסר מתוך יחס הדמיון או מתוך נתוני המשולש הדומה.
לשלב עם יחס השטחים: לעבור מיחס שטחים אל יחס קווים מיוחדים בעזרת הוצאת שורש.

הרעיון המרכזי

הכלל המרכזי

נסמן ב-k את יחס הדמיון בין שני משולשים דומים. אזי היחס בין כל זוג קווים מיוחדים מתאימים שווה ל-k:

\frac{h _{1}}{h _{2}} = \frac{t _{1}}{t _{2}} = \frac{f _{1}}{f _{2}} = k

כאשר h גובה, t תיכון ו-f חוצה זווית (היוצאים מקודקודים מתאימים).

מדוע? הגובה, התיכון וחוצה הזווית הם אורכים בתוך המשולש. כשמגדילים את כל המשולש פי k (כל צלע וכל קודקוד), גם כל אורך פנימי גדל פי k. אפשר גם לנמק בדיוק: גובה היוצא מקודקוד מתאים יוצר משולש ישר-זווית קטן בכל אחד מהמשולשים; שני המשולשים הקטנים האלה דומים זה לזה (זווית ישרה + זווית מתאימה שווה — לפי ז.ז), והגבהים הם צלעות מתאימות בהם, ולכן יחסם הוא k.

חשוב להקפיד

מתאימים סוג לסוג: גובה לגובה, תיכון לתיכון, חוצה זווית לחוצה זווית — ומקודקודים מתאימים.
לא מעלים בריבוע: הריבוע $k^{2}$ שמור לשטחים בלבד. כל קו מיוחד הוא אורך ⟸ יחס k.
אל תבלבלו את יחס התיכונים בין המשולשים עם תכונת נקודת מפגש התיכונים שמחלקת כל תיכון ביחס 2:1 — זו תכונה בתוך משולש בודד ואינה קשורה ליחס הדמיון.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: יחס גבהים

יחס דמיון 5:2 (גדול לקטן). הגובה במשולש הגדול 10 ס״מ. מצאו את הגובה המתאים בקטן

\frac{10}{h} = \frac{5}{2} \Rightarrow h = 4

שלב 1 — גובה הוא אורך

יחס הגבהים = יחס הדמיון

= \frac{5}{2}

בדיקה מהירה

בשני משולשים דומים שיחס הדמיון ביניהם k, מהו היחס בין שני גבהים מתאימים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. יחס הדמיון של הגדול לקטן הוא 5:2. הגובה לבסיס במשולש הגדול הוא 10 ס"מ. מהו הגובה המתאים במשולש הקטן (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: יחס תיכונים

יחס דמיון 3:4 (קטן לגדול). תיכון במשולש הקטן 6 ס״מ. מצאו את התיכון המתאים בגדול

\frac{6}{m} = \frac{3}{4} \Rightarrow m = 8

שלב 1 — תיכון הוא אורך

יחס התיכונים = יחס הדמיון

= \frac{3}{4}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: היחס בין תיכונים מתאימים בשני משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חוצה זווית, כשיחס הדמיון בא מן הצלעות

$ABC∼DEF, AB=8, DE=12$ . חוצה זווית ב-ABC הוא 6. מצאו את המתאים ב-DEF

k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}, \frac{6}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 9

שלב 1 — יחס דמיון מן הצלעות

k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

דוגמה 4: מגובה אל יחס שטחים

גבהים מתאימים 4 ו-6. מצאו את יחס השטחים (הראשון לשני)

k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2} = \frac{4}{9}

שלב 1 — מהגבהים אל יחס הדמיון

k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} (

גבהים הם אורכים)

דוגמה 5: מיחס שטחים אל תיכון

יחס שטחים 9:25 (קטן לגדול). תיכון בקטן 12 ס״מ. מצאו את התיכון המתאים בגדול

k = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}, \frac{12}{m} = \frac{3}{5} \Rightarrow m = 20

שלב 1 — מיחס שטחים אל יחס דמיון

k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. היחס בין שטחיהם (הקטן לגדול) הוא 9:25. אורך תיכון במשולש הקטן הוא 12 ס"מ. מהו אורך התיכון המתאים במשולש הגדול (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מעלים בריבוע את יחס הקווים המיוחדים

$\frac{h _{1}}{h _{2}} = k$ — בלי ריבוע. רק $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$ .

למה זה קורה?

מבלבלים את הקווים המיוחדים עם השטח, ומכפילים ב-

k^{2}

במקום ב-k.

איך מתקנים?

גובה, חוצה זווית ותיכון הם אורכים — היחס ביניהם שווה ל-k בלבד. רק השטח מקבל

k^{2}

טעות נפוצה: מתאימים קו מיוחד לסוג אחר

היחס k מתקיים בין קווים מאותו סוג היוצאים מקודקודים מתאימים, לא בין סוגים שונים.

למה זה קורה?

משווים גובה של משולש אחד לתיכון של השני, או לקווים שאינם מקודקודים מתאימים.

איך מתקנים?

התאימו תמיד גובה לגובה, תיכון לתיכון וחוצה זווית לחוצה זווית — והקפידו שיֵצאו מקודקודים מתאימים.

טעות נפוצה: מבלבלים עם יחס נקודת מפגש התיכונים 2:1

היחס 2:1 שייך לחלוקת תיכון בתוך משולש אחד; הוא אינו יחס הדמיון בין שני משולשים.

למה זה קורה?

זוכרים שנקודת המפגש מחלקת תיכון ביחס 2:1 וחושבים שזה קשור ליחס הדמיון.

איך מתקנים?

היחס 2:1 הוא חלוקה פנימית של תיכון בתוך משולש בודד. יחס התיכונים בין שני משולשים דומים הוא k — נתון אחר לגמרי.

טעות נפוצה: מחשבים מחדש את הקו המיוחד מהצלעות

מצאתם $k = \frac{2}{3}$ מן הצלעות? אזי מיד $\frac{h _{1}}{h _{2}} = \frac{t _{1}}{t _{2}} = \frac{f _{1}}{f _{2}} = \frac{2}{3}$ .

למה זה קורה?

לא מבחינים שכאשר ידוע יחס הדמיון, היחס בין הקווים המתאימים נובע מיד.

איך מתקנים?

אם ידוע k (או ניתן לחשבו מצלעות מתאימות), היחס בין כל זוג קווים מיוחדים מתאימים הוא אותו k — אין צורך בחישוב מסובך.

סיכום

מה למדנו?

במשולשים דומים עם יחס דמיון k, היחס בין קווים מיוחדים מתאימים שווה ל-k:

\frac{h _{1}}{h _{2}} = \frac{t _{1}}{t _{2}} = \frac{f _{1}}{f _{2}} = k

(גבהים, תיכונים וחוצי זוויות).

טיפים:

כל קו מיוחד הוא אורך ⟸ יחס k, בלי ריבוע.
התאימו סוג לסוג ומקודקודים מתאימים.
נתון יחס שטחים? הוציאו שורש כדי לקבל את יחס הקווים המיוחדים.
אל תבלבלו עם חלוקת נקודת מפגש התיכונים 2:1 בתוך משולש בודד.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לחשב כל קו מיוחד במשולשים דומים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יחס הגבהים, חוצי הזוויות והתיכונים במשולשים דומים!

יחס הקווים המיוחדים במשולשים דומים

יחס הקווים המיוחדים במשולשים דומים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: יחס גבהים

יחס דמיון 5:2 (גדול לקטן). הגובה במשולש הגדול 10 ס״מ. מצאו את הגובה המתאים בקטן

דוגמה 2: יחס תיכונים

יחס דמיון 3:4 (קטן לגדול). תיכון במשולש הקטן 6 ס״מ. מצאו את התיכון המתאים בגדול

דוגמה 3: חוצה זווית, כשיחס הדמיון בא מן הצלעות

ABC∼DEF,AB=8,DE=12ABC∼DEF, AB=8, DE=12ABC∼DEF,AB=8,DE=12. חוצה זווית ב-ABC הוא 6. מצאו את המתאים ב-DEF

דוגמה 4: מגובה אל יחס שטחים

גבהים מתאימים 4 ו-6. מצאו את יחס השטחים (הראשון לשני)

דוגמה 5: מיחס שטחים אל תיכון

יחס שטחים 9:25 (קטן לגדול). תיכון בקטן 12 ס״מ. מצאו את התיכון המתאים בגדול

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מעלים בריבוע את יחס הקווים המיוחדים

טעות נפוצה: מתאימים קו מיוחד לסוג אחר

טעות נפוצה: מבלבלים עם יחס נקודת מפגש התיכונים 2:1

טעות נפוצה: מחשבים מחדש את הקו המיוחד מהצלעות

סיכום

תרגול נוסף

$ABC∼DEF, AB=8, DE=12$ . חוצה זווית ב-ABC הוא 6. מצאו את המתאים ב-DEF