משפטי הדמיון של משולשים

מבוא

שני משולשים נקראים דומים אם הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות פרופורציוניות — כלומר היחס בין כל זוג צלעות מתאימות קבוע. יחס קבוע זה נקרא יחס הדמיון ומסומן ב-k. בניגוד לחפיפה, בדמיון אין דרישה שהצלעות תהיינה שוות באורכן — רק שיהיו באותו יחס. למזלנו, אין צורך לבדוק את כל הזוויות ואת כל הצלעות: שלושה משפטי דמיון נותנים תנאים מספיקים מקוצרים.

מטרות השיעור

להגדיר מתי שני משולשים דומים: שוויון זוויות מתאימות ופרופורציוניות צלעות מתאימות.
להכיר את שלושת משפטי הדמיון: צ.ז.צ, ז.ז, צ.צ.צ.
לזהות צלעות וזוויות מתאימות ולכתוב נכון את יחס הדמיון k.
להוכיח דמיון משולשים ולחשב אורכים חסרים בעזרת פרופורציה.

הרעיון המרכזי

נסמן את הדמיון בכתיב $△ A BC \sim △ D EF$ . סדר האותיות חשוב: הוא קובע אילו קודקודים (ולכן אילו זוויות וצלעות) מתאימים זה לזה.

הגדרת הדמיון

$△ A BC \sim △ D EF$ פירושו:

זוויות מתאימות שוות: $∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F$
צלעות מתאימות פרופורציוניות:

\frac{A B}{D E} = \frac{BC}{EF} = \frac{A C}{D F} = k

המספר k הוא יחס הדמיון. כל צלע מתאימה לצלע שמול הזווית השווה לה.

שלושת משפטי הדמיון

צ.ז.צ (SAS-similarity): אם במשולש אחד שתי צלעות פרופורציוניות לשתי צלעות במשולש שני, והזווית הכלואה ביניהן שווה — המשולשים דומים.

ז.ז (AA-similarity): אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש שני — המשולשים דומים. (הזווית השלישית נקבעת ממילא, כי סכום הזוויות במשולש הוא $18 0^{\circ}$ .)

צ.צ.צ (SSS-similarity): אם שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציוניות לשלוש הצלעות של משולש שני — המשולשים דומים.

איך מתאימים צלעות בלי לטעות

מול הזווית הגדולה ביותר נמצאת הצלע הגדולה ביותר, ומול הקטנה — הקטנה. לכן דרך נוחה לבדוק דמיון לפי צ.צ.צ היא לסדר את הצלעות בכל משולש מקטנה לגדולה, ואז להתאים מהקטנה לקטנה ומהגדולה לגדולה ולחשב את היחסים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי דמיון לפי צ.צ.צ

האם משולש שצלעותיו 6, 9, 12 דומה למשולש שצלעותיו 8, 12, 16?

\frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

שלב 1 — מסדרים ומתאימים מקטנה לגדולה

6↔8, 9↔12, 12↔16

בדיקה מהירה

צלעות משולש אחד הן 5, 12, 13. צלעות איזה משולש מבטיחות דמיון לפי משפט צ.צ.צ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת צלע חסרה במשולשים דומים

נתון ABC∼DEF, כאשר AB↔DE ו-AC↔DF. נתון $AB=6, DE=9, AC=8$ . מצאו DF

\frac{6}{9} = \frac{8}{D F} \Rightarrow D F = 12

יחס הדמיון מ-ABC ל-DEF הוא $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ , ואכן $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .

שלב 1 — יחס צלעות מתאימות קבוע

\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}

תשובה מספרית

המשולשים ABC ו-DEF דומים, כך ש-AB מתאים ל-DE ו-AC מתאים ל-DF. נתון $AB=6, DE=9, AC=8$ . מהו אורך DF?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: דמיון לפי ז.ז כשיש קו מקביל

במשולש ABC נקודה D על AB ונקודה E על AC, ו-DE∥BC. הוכיחו ש-ADE∼ABC

∠ A = ∠ A, ∠ A D E = ∠ A BC \Rightarrow △ A D E \sim △ A BC

קו המקביל לצלע חותך מהמשולש משולש קטן הדומה למשולש כולו — תבנית שתחזור פעמים רבות.

שלב 1 — זוויות מתאימות

DE∥BC ⟸ \angle ADE = \angle ABC (

זוויות מתאימות)

בדיקה מהירה

במשולש אחד שתי זוויות שוות לשתי זוויות במשולש שני. לפי איזה משפט דמיון אפשר להסיק שהמשולשים דומים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: דמיון לפי צ.ז.צ

במשולשים ABC ו-DEF נתון $\angle A=\angle D, AB=4, AC=6, DE=6, DF=9$ . הוכיחו דמיון

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{2}{3}, ∠ A = ∠ D \Rightarrow △ A BC \sim △ D EF

שימו לב: הזווית השווה חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות הפרופורציוניות.

שלב 1 — בודקים יחס שתי הצלעות הכולאות את הזווית

\frac{AB}{DE} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3,} \frac{AC}{DF} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

דוגמה 5: חישוב צלע בעזרת קו מקביל

במשולש ABC, D על AB ו-E על AC, DE∥BC. נתון $AD=4, DB=6, AE=5$ . מצאו EC

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} \Rightarrow \frac{4}{10} = \frac{5}{A C} \Rightarrow A C = 12.5, EC = 7.5

שלב 1 — דמיון

DE∥BC ⟸ ADE∼ABC (לפי ז.ז)

תשובה מספרית

במשולש ABC מסומנת נקודה D על הצלע AB ונקודה E על הצלע AC, כך ש-DE מקביל ל-BC. נתון $AD=4, DB=6, AE=5$ . מהו אורך EC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתאימים צלעות בסדר שגוי

אם $∠ A = ∠ D$ , אז הצלע שמול A מתאימה לצלע שמול D — לא בהכרח לפי סדר האותיות שנכתב.

למה זה קורה?

כותבים את יחס הצלעות לפי סדר האותיות, בלי לבדוק אילו צלעות באמת מתאימות.

איך מתקנים?

כל צלע מתאימה לצלע שמול הזווית השווה לה. נוח לסדר את הצלעות בכל משולש מקטנה לגדולה ואז להתאים מהקטנה לקטנה.

טעות נפוצה: משתמשים ב'צ.צ.ז' כאילו הוא משפט דמיון

ב-צ.ז.צ הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות הפרופורציוניות, בדיוק כמו במשפט החפיפה צ.ז.צ.

למה זה קורה?

מבלבלים בין צ.ז.צ (זווית כלואה) לבין מצב של שתי צלעות וזווית שאינה כלואה.

איך מתקנים?

משפט צ.ז.צ דורש שהזווית תהיה כלואה דווקא בין שתי הצלעות הפרופורציוניות. שתי צלעות וזווית שאינה כלואה אינן מבטיחות דמיון.

טעות נפוצה: מבלבלים בין דמיון לחפיפה

משולשים שצלעותיהם 3,4,5 ו-6,8,10 דומים (יחס $\frac{1}{2}$ ), אף שאינם חופפים.

למה זה קורה?

חושבים שכדי שמשולשים יהיו דומים הצלעות צריכות להיות שוות.

איך מתקנים?

בדמיון הצלעות פרופורציוניות (יחס קבוע k), לאו דווקא שוות. חפיפה היא המקרה הפרטי שבו

k=1

טעות נפוצה: חושבים ששוויון זווית אחת מספיק

שני משולשים יכולים לחלוק זווית אחת ובכל זאת להיות שונים לגמרי בצורתם. צריך שתי זוויות שוות.

למה זה קורה?

זוכרים את משפט ז.ז באופן חלקי.

איך מתקנים?

משפט ז.ז דורש שתי זוויות שוות, לא אחת. זווית משותפת אחת בלבד אינה מספיקה לדמיון.

טעות נפוצה: הופכים את כיוון יחס הדמיון באמצע הפתרון

אם $k = \frac{A B}{D E}$ , אז גם שאר היחסים חייבים להיכתב באותו כיוון: $\frac{A C}{D F}$ , ולא $\frac{D F}{A C}$ .

למה זה קורה?

פעם מציבים גדול/קטן ופעם קטן/גדול.

איך מתקנים?

קבעו מראש איזה משולש במונה ואיזה במכנה, ושמרו על אותו כיוון לכל אורך הפתרון.

סיכום

מה למדנו?

הגדרת דמיון: זוויות מתאימות שוות + צלעות מתאימות פרופורציוניות (יחס דמיון k).

שלושת משפטי הדמיון:

צ.ז.צ — שתי צלעות פרופורציוניות + זווית כלואה שווה.
ז.ז — שתי זוויות שוות.
צ.צ.צ — שלוש צלעות פרופורציוניות.

זכרו:

התאימו צלעות לפי הזוויות השוות, לא לפי סדר האותיות.
ב-צ.ז.צ הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות הפרופורציוניות.
קו מקביל לצלע יוצר משולש קטן הדומה למשולש כולו.
קבעו את כיוון היחס מראש ושמרו עליו.

עכשיו אתם יכולים לזהות משולשים דומים, להוכיח דמיון ולחשב אורכים חסרים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי משולשים דומים, על שלושת משפטי הדמיון ועל חישוב אורכים חסרים!

משפטי הדמיון של משולשים

משפטי הדמיון של משולשים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי דמיון לפי צ.צ.צ

האם משולש שצלעותיו 6, 9, 12 דומה למשולש שצלעותיו 8, 12, 16?

דוגמה 2: מציאת צלע חסרה במשולשים דומים

נתון ABC∼DEF, כאשר AB↔DE ו-AC↔DF. נתון AB=6,DE=9,AC=8AB=6, DE=9, AC=8AB=6,DE=9,AC=8. מצאו DF

דוגמה 3: דמיון לפי ז.ז כשיש קו מקביל

במשולש ABC נקודה D על AB ונקודה E על AC, ו-DE∥BC. הוכיחו ש-ADE∼ABC

דוגמה 4: דמיון לפי צ.ז.צ

במשולשים ABC ו-DEF נתון ∠A=∠D,AB=4,AC=6,DE=6,DF=9\angle A=\angle D, AB=4, AC=6, DE=6, DF=9∠A=∠D,AB=4,AC=6,DE=6,DF=9. הוכיחו דמיון

דוגמה 5: חישוב צלע בעזרת קו מקביל

במשולש ABC, D על AB ו-E על AC, DE∥BC. נתון AD=4,DB=6,AE=5AD=4, DB=6, AE=5AD=4,DB=6,AE=5. מצאו EC

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתאימים צלעות בסדר שגוי

טעות נפוצה: משתמשים ב'צ.צ.ז' כאילו הוא משפט דמיון

טעות נפוצה: מבלבלים בין דמיון לחפיפה

טעות נפוצה: חושבים ששוויון זווית אחת מספיק

טעות נפוצה: הופכים את כיוון יחס הדמיון באמצע הפתרון

סיכום

תרגול נוסף

נתון ABC∼DEF, כאשר AB↔DE ו-AC↔DF. נתון $AB=6, DE=9, AC=8$ . מצאו DF

במשולשים ABC ו-DEF נתון $\angle A=\angle D, AB=4, AC=6, DE=6, DF=9$ . הוכיחו דמיון

במשולש ABC, D על AB ו-E על AC, DE∥BC. נתון $AD=4, DB=6, AE=5$ . מצאו EC