משוואת המעגל הקנוני

מבוא

עד כה עסקנו בישרים. כעת נפגוש את העקום המעוגל הראשון: המעגל. בכיתה י' אנו לומדים אך ורק את המעגל הקנוני — מעגל שמרכזו בראשית הצירים (0, 0). המעגל הקנוני משמש הכנה ישירה לטריגונומטריה (מעגל היחידה), והוא גם דוגמה חשובה לעקום שאינו גרף של פונקציה. נראה שהמשוואה שלו נובעת ישירות מנוסחת המרחק שלמדנו בשיעור הראשון.

מטרות השיעור

להכיר את משוואת המעגל הקנוני: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$
להבין שהמשוואה אומרת "המרחק מהראשית שווה r"
לקבוע אם נקודה נמצאת על המעגל, ולמצוא את הרדיוס ממשוואה
להבין מדוע המעגל אינו גרף של פונקציה

הערה חשובה לגבי היקף החומר

בכיתה י' לומדים רק את המעגל הקנוני שמרכזו בראשית: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . אין במסלול זה משוואה כללית של מעגל (מעגל שמרכזו אינו בראשית). המעגל הקנוני נלמד כהכנה לטריגונומטריה.

הרעיון המרכזי

משוואת המעגל הקנוני

המעגל הקנוני הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מראשית הצירים שווה לרדיוס קבוע r.

לפי נוסחת המרחק מהראשית, המרחק של נקודה (x, y) מהראשית הוא $x^{2} + y^{2}$ . הדרישה שהמרחק יהיה r:

x^{2} + y^{2} = r

בהעלאה בריבוע (שני האגפים אי-שליליים) מקבלים את משוואת המעגל הקנוני:

x^{2} + y^{2} = r^{2}

באגף ימין מופיע ריבוע הרדיוס $r^{2}$ — לא הרדיוס עצמו.

המעגל אינו גרף של פונקציה

ניקח לדוגמה את המעגל $x^{2} + y^{2} = 25$ . נציב x = 0: מקבלים $y^{2} = 25$ , כלומר y = 5 או y = -5. לאותו ערך x מתאימים שני ערכי y — ולכן המעגל אינו גרף של פונקציה. זוהי דוגמה נוספת (בנוסף לישר האנכי x = k) לקבוצת נקודות שאינה מייצגת פונקציה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כתיבת משוואה לפי רדיוס

כתבו את משוואת המעגל הקנוני שרדיוסו 5

x^{2} + y^{2} = 25

באגף ימין מופיע $r^{2} = 25$ , לא 5.

שלב 1 — הנוסחה

x^{2} + y^{2} = r^{2}

דוגמה 2: מציאת רדיוס ממשוואה

מהו הרדיוס של המעגל $x^{2} + y^{2} = 49$ ?

r = 49 = 7

לוקחים את השורש החיובי, כי רדיוס הוא אי-שלילי.

שלב 1 — מזהים את $r^{2}$

r^{2} = 49

דוגמה 3: בדיקה אם נקודה על המעגל

האם $(3, 4)$ על המעגל $x^{2} + y^{2} = 25$ ?

$3^{2} + 4^{2} = 25$ — שווה לאגף ימין, ולכן הנקודה על המעגל.

שלב 1 — מציבים

3^{2} + 4^{2} = 9 + 16

דוגמה 4: מציאת המשוואה לפי נקודה על המעגל

מעגל קנוני עובר דרך $(5, 12)$ . מצאו את משוואתו

x^{2} + y^{2} = 169

שלב 1 — הנקודה מקיימת את המשוואה

r^{2} = 5^{2} + 12^{2}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מהו הרדיוס של המעגל הקנוני שמשוואתו $x^{2} + y^{2} = 49$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הנקודה $(3, 4)$ נמצאת על המעגל $x^{2} + y^{2} = 25$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: ריבוע חסום במעגל קנוני

ריבוע חסום במעגל קנוני, וקודקוד אחד שלו הוא $(3, 4)$ . מצאו את שטח הריבוע

S = \frac{d ^{2}}{2} = \frac{1 0 ^{2}}{2} = 50

כל קודקודי הריבוע על המעגל, ולכן האלכסון (שמחבר שני קודקודים נגדיים דרך המרכז) שווה לקוטר.

שלב 1 — הרדיוס מהקודקוד

r^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25

, לכן

r = 5

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים את הרדיוס במקום ריבוע הרדיוס

טעות: מעגל ברדיוס 5 הוא $x^{2} + y^{2} = 5$

נכון: $x^{2} + y^{2} = 25$

למה זה קורה?

שוכחים שאגף ימין הוא

r^{2}

, לא r.

איך מתקנים?

למעגל ברדיוס r המשוואה היא

x^{2} + y^{2} = r^{2}

. ברדיוס

5 ⟸ x^{2} + y^{2} = 25

טעות נפוצה: חושבים שהמעגל הוא גרף של פונקציה

ב- $x^{2} + y^{2} = 25$ עבור x = 0 מקבלים y = 5 וגם y = -5.

למה זה קורה?

מצפים שלכל x יש y יחיד.

איך מתקנים?

במעגל לרוב ערכי x יש שני ערכי y (עליון ותחתון). לכן המעגל אינו גרף של פונקציה — כמו הישר

x = k

טעות נפוצה: מנסים לכתוב מעגל שמרכזו אינו בראשית

המשוואה $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ תמיד מתארת מעגל שמרכזו ב-(0, 0).

למה זה קורה?

לא שמים לב שבכיתה י' לומדים רק את המעגל הקנוני.

איך מתקנים?

במסלול זה עוסקים אך ורק במעגל הקנוני

x^{2} + y^{2} = r^{2}

שמרכזו בראשית. אין משוואה כללית של מעגל.

טעות נפוצה: בלבול בין הרדיוס לבין $r^{2}$

ב- $x^{2} + y^{2} = 36$ הרדיוס הוא $36 = 6$ , לא 36.

למה זה קורה?

קוראים את אגף ימין כרדיוס.

איך מתקנים?

אגף ימין הוא

r^{2}

. כדי לקבל את הרדיוס מוציאים שורש: למשל

x^{2} + y^{2} = 49 ⟸ r = 7

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: המעגל $x^{2} + y^{2} = 25$ הוא גרף של פונקציה (לכל x יש בדיוק y אחד).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזו טענה נכונה לגבי המשוואה $x^{2} + y^{2} = 36$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

משוואת המעגל הקנוני:

x^{2} + y^{2} = r^{2}

מרכז בראשית (0, 0), רדיוס r (באגף ימין מופיע $r^{2}$ ).
נובעת מנוסחת המרחק: "המרחק מהראשית שווה r".
נקודה על המעגל ⟸ מקיימת את המשוואה.
המעגל אינו גרף של פונקציה (לרוב ערכי x יש שני ערכי y).

זכרו: בכיתה י' — רק מעגל קנוני (מרכז בראשית), אין משוואה כללית של מעגל.

המעגל הקנוני הוא הבסיס לטריגונומטריה שתלמדו בהמשך!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משוואת המעגל הקנוני!

משוואת המעגל הקנוני

משוואת המעגל הקנוני

מבוא

הרעיון המרכזי

המעגל אינו גרף של פונקציה

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כתיבת משוואה לפי רדיוס

כתבו את משוואת המעגל הקנוני שרדיוסו 5

דוגמה 2: מציאת רדיוס ממשוואה

מהו הרדיוס של המעגל x2+y2=49x^{2} + y^{2} = 49x2+y2=49?

דוגמה 3: בדיקה אם נקודה על המעגל

האם (3,4)(3, 4)(3,4) על המעגל x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25x2+y2=25?

דוגמה 4: מציאת המשוואה לפי נקודה על המעגל

מעגל קנוני עובר דרך (5,12)(5, 12)(5,12). מצאו את משוואתו

בדיקה מהירה

דוגמה 5: ריבוע חסום במעגל קנוני

ריבוע חסום במעגל קנוני, וקודקוד אחד שלו הוא (3,4)(3, 4)(3,4). מצאו את שטח הריבוע

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים את הרדיוס במקום ריבוע הרדיוס

טעות נפוצה: חושבים שהמעגל הוא גרף של פונקציה

טעות נפוצה: מנסים לכתוב מעגל שמרכזו אינו בראשית

טעות נפוצה: בלבול בין הרדיוס לבין r2r^{2}r2

בדיקה מהירה

סיכום

תרגול נוסף

מהו הרדיוס של המעגל $x^{2} + y^{2} = 49$ ?

האם $(3, 4)$ על המעגל $x^{2} + y^{2} = 25$ ?

מעגל קנוני עובר דרך $(5, 12)$ . מצאו את משוואתו

ריבוע חסום במעגל קנוני, וקודקוד אחד שלו הוא $(3, 4)$ . מצאו את שטח הריבוע

טעות נפוצה: בלבול בין הרדיוס לבין $r^{2}$